回归分析的基本思想及其初步应用

1、1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 课堂导学三点剖析各个击破一、求线性回归方程【例 1】研究某灌溉渠道水的流速y 与水深 x 之间的关系，测得一组数据如下：水深 x(m)1.401.501.601.701.801.902.002.10流速 y(m/s)1.701.791.881.952.032.102.162.21(1) 求 y 对 x 的回归直线方程；（ 2）预测水深为 1.95 m 时水的流速是多少？解： (1) 散点图如下图所示 .a?b .列表计算?与回归系数序号xiyixi2yi2i ix y11.401.701.962.8902.38021.501.792.253.204

2、12.68531.601.882.563.53443.00841.701.952.893.80253.31551.802.033.244.12093.65461.902.103.614.41003.99072.002.164.004.66564.32082.102.214.414.88414.64114.0015.8224.9231.511627.993于是 x1141.75 , y115.821.9775 ,88 xi 2 =24.92, yi 2=31.511 6, xi yi =27.993,?27.993 81.75 1.9775 b24.9281.752 0.733,?y - bx

3、=1.977 5-0.733 1.75=0.694 8,ay 对 x 的回归直线方程为 y?a? bx =0.694 8+0.733 x.(2) 在本题中回归系数?的意思是：在此灌溉渠道中，水深每增加0.1 m 水的流b =0.733第 1 页 共 6 页速平均增加a8，可以解释为水的流速中不受水深影响的部分，把 x=1.950.733 m/s, ?=0.694代入得到?=0.694 8+0.7331.952.12 m/s，计算结果表明：当水深为1.95 m可以预报y渠水的流速约为2.12 m/s.类题演练1关于人体的脂肪含量（百分比）和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组数据：年龄 x232

4、73941454950脂肪 y9.517.621.225.927.526.328.2年龄 x53545657586061脂肪 y29.630.231.430.833.535.234.6(1) 作散点图；（2）求 y 与 x 之间的回归线方程；（3）给出 37 岁人的脂肪含量的预测值.解：（ 1）略（ 2）设方程为 y? =bx+a, 则由计算器算得 a=-0.448,b=0.577,所以 y? =0.577 x-0.448.（ 3）当 x=37 时， y? =0.577 37 -0.448=20.90.变式提升从某大学中随机选取8 名女大学生，其身高和体重的数据如下表所示：编号12345678

5、身高 /cm165165157170175165155170体重 /kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172 cm 的女大学生的体重 .解： 作散点图，由于问题是根据身高预报体重，因此要求身高与体重的回归直线方程，取身高为自变量 x，体重为因变量 y，作散点图如右图所示 .x1n1nn i 1xi , yyin i1n?( xi x)( yiy)i10.849,ayb x =-85.712.n?b(xi x) 2i1第 2 页 共 6 页回归直线方程为y? =0.849 x-85.712.所 以 对 于 身 高172cm女 大

6、学 生 ， 由 回 归 方 程 可 以 预 报 体 重 为y?=0.849 172-85.712=60.316(kg).预测身高为 172cm 的女大学生的体重约为 60.316kg.二、非线性回归问题【例 2】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高 x/cm60708090100110体重 y/kg6.137.909.9912.1515.0217.5身高 x/cm120130140150160170体重 y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）试建立 y 与 x 之间的回归方程；（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8

7、倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm体重为 82 kg 的在校男生体重是否正常？解 : 根据上表中数据画出散点图如下图（1）由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y=c1ec2x 的周围，于是令 z=ln y.x60708090100110z1.812.072.302.502.712.86x120130140150160170z3.043.293.443.663.864.01作出散点图如下图所示由表中数据可得z 与 x 之间的回归直线方程：z0.693+0.020 x .?=0.693+0.020x, 则有? =e（2）当 x=175 时，预测平均体重 y? =e0.693+0.020

8、 175 66.22,由于 66.22 1.2 79.47 82,所以这个男生偏胖 .类题演练 2电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电 . 由经验知道，此后电压U 随时间 t 变化第 3 页 共 6 页的规律用公b 0)表示 . 现测得时间 t(s)时的电压 U（ V）如下所示：u=Ae t (bt:012345678910U:100755540302015101055试求电压U对时间 t 的回归方程 .（提示：对公两边取自然对数，把问题化为线性回归分析问题）.解析： 根据提示公式，两边取对数得lnu=ln A+bt令 y=lnu,a=ln A, 则 y=a+bt .由前两组数据得a

9、=ln100 ， b=ln3 .3 t .4y=ln100+ln4根据上述公式样本点可转换为t012345678910y4.64.34.03.93.42.92.72.32.31.61.6其散点图为由散点图可知y 与 t 线性相关，可用?表示,y bta?a利用科学计算器，可得 b=-0.3, ?=4.6, y? =-0.3 t +4.6,即 ln u?=-0.3 t +4.6, u?=100e-0.3 t .三、回归分析【例 3】某农场对单位面积化肥用量 x(kg) 和水稻相应产量 y（ kg）的关系作了统计，得到数据如下：x:15202530354045y:33034536540544545

10、0455如果 x 与 y 之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当单位面积化肥用量为32 kg 时水稻的产量大约是多少（精确到0.01 kg ） .解: 用列表的方法计算a 与回归系数 b.序号xyx2xy115330225495022034540069003253656259125第 4 页 共 6 页430405900121505354451225155756404501600180007454552025204752102795700087175x 1 21030 ,7y 12795 399.3,7? 87175- 730399.3b70007 4.746,302a?=399.3

11、- 4.746 30=256.92,y 对 x 的回归直线方程为：?bxx，当 x时， ?ya=256.92+4.746=3232408.79y =256.92+4 .746答：回归直线方程为y? =256.92+4.747 x，当单位面积化肥用量为32 kg 时，水稻的产量大约为 408.79 kg.类题演练3为了了解某地母亲身高X 与女儿身高 Y 的相关关系，现随机抽取了10 对母女测得相应的身高如下表所示：母亲身高 x cm159160160163159女儿身高 y cm158159160161161母亲身高 x cm154159158159157女儿身高 y cm155162157162156（ 1）画出散点图 ;（ 2）对 X与 Y 进行回归分析 ;（ 3）预测母亲身高为 170 c