抛物线的简单几何性质课件

1、2.4.2 抛物线的简单几何性质（1,定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线,抛物线的定义及标准方程,y2=-2px (p0,x2=2py (p0,y2=2px (p0,x2=-2py (p0,一、温故知新,由抛物线y2 =2px（p0,所以抛物线的范围为,二、探索新知,如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质,抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,即点(x,-y) 也在抛物线上,故 抛物线y2 = 2px(p0)关于x轴对称,则 (-y)2 = 2px,若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2

2、= 2px,定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点,y2 = 2px (p0)中， 令y=0,则x=0,即：抛物线y2 = 2px (p0)的顶点（0，0,注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率,由定义知， 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1,下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质,二）归纳：抛物线的几何性质,y2 = 2px （p0,y2 = -2px （p0,x2 = 2py （p0,x2 = -2py （p0,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,0,0,x轴,y轴,1,特点,1

3、.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线,2.抛物线只有一条对称轴,没有 对称中心,3.抛物线只有一个顶点、 一个焦点、一条准线,4.抛物线的离心率是确定的,为1,思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响,P越大,开口越开阔,补充（1）通径,通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径,PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,P越大,开口越开阔,2）焦半径,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径,焦半径公式,标准方程中2p的几何意义,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图,因为抛

4、物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，,解,所以设方程为,因此所求抛物线标准方程为,例：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），求它的标准方程,三、典例精析,坐标轴,当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m 0) (x2=2my (m0),可避免讨论,练习一,1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是,2、已知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则P=,4,四、归纳总结,抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线,抛物线只有一条对称轴,没有对称中心,抛物线的

5、离心率是确定的，等于,抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线,抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大,1、范围,2、对称性,3、顶点,4、离心率,5、通径,2.4.2 抛物线的简单几何性质（2,一、直线与抛物线位置关系种类,1、相离；2、相切；3、相交（一个交点， 两个交点,与双曲线的情况一样,x,y,O,二、判断方法探讨,1、直线与抛物线相离，无交点,例：判断直线 y = x +2与 抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相离,x,y,O,2、直线与抛物线相切，交与一点,例：判断直线 y = x +1与 抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结

6、果：得到一元二次方程，需计算判别式。相切,二、判断方法探讨,3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与一点,例：判断直线 y = 6与抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标,二、判断方法探讨,x,y,O,例：判断直线 y = x -1与 抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相交,4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点,二、判断方法探讨,三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的 对称轴平行（重合,相交（一个交点,计 算 判 别 式,几何画板

7、演示,解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1,解法二:由题意可知,分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷,变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m， 交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切,证明：如图,所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线l相切,设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C,则AFAD，BFBC,AB AFBF ADBC =2EH,X=3,点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解,2.4.2 抛物线的简单几何性质（3,x,y,解：因为直线AB过定点F且不与x轴平 行