矩阵的运算ppt课件

1、2.2 矩阵的运算,上页,下页,返回,首页,四、矩阵的转置,五、矩阵的行列式,一、矩阵的加法,二、矩阵的数乘,三、矩阵的乘法,矩阵的乘法的定义,矩阵的转置及其性质,矩阵加法与矩阵数乘的性质,矩阵的乘法的性质,结束,铃,一、矩阵的加法,下页,1.定义2.3 设A与B为两个mn矩阵,A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与矩阵B的和，记为AB。即,例1设,A+B,3+1 5+3 7+2 2+0,2+2 0+1 4+5 3+7,0+0 1+6 2+4 3+8,4 8 9 2,4 1 9 10,0 7 6 11,下页,矩阵的加法：设A(aij)mn与B(bij)mn，则A+B= (aij+bi

2、j)mn,2. 运算规律,注意,只有当两个矩阵是同型矩阵时,设 A, B, C 为同型矩阵, 则,1) A + B = B + A ( 加法交换律),2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合律,加法运算,二者才能进行,3. 负矩阵与矩阵减法,若记 - A = ( -aij),则称 -A 为矩阵 A 的负矩阵,显然有 A + (-A) = O,定义矩阵的差为,A - B = A + (-B),其中 O 是与 A 同型的零矩阵,例如,C 的负矩阵为,定义4.4 设A(aij)为mn矩阵,则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩阵A的积，记为kA。

3、即,下页,二、数与矩阵相乘（数乘,矩阵的数乘： 设A(aij)mn ，则kA=(kaij)mn,例2设,3A,33 35 37 32,32 30 34 33,30 31 32 33,9 15 21 6,6 0 12 9,0 3 6 9,下页,行列式的某行（或列）有公因子即可提出,但矩阵的每一个元素都有公因子时才可以提出,思考：数与行列式相乘和数与矩阵相乘有什么 区别,答,数与行列式相乘，是将数乘到行列式中的某一行,或列,而数与矩阵相乘，是将数乘矩阵中的每一个,元素,即,2. 数乘矩阵满足的运算律 设 A, B 为同型矩阵, , 为常数，则,1) () A= ( A); 结合律 (2) ( +

4、)A = A + A. 分配律 (3) (A + B) = A + B. 分配律,矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算,解：3A-2B,2 6 4 0,4 2 10 14,0 12 8 16,9 15 21 6,6 0 12 9,0 3 6 9,7 9 17 6,2 -2 2 -5,0 -9 -2 -7,9-2 15-6 21-4 6-0,6-4 0-2 12-10 9-14,0-0 3-12 6-8 9-16,下页,下页,练习,定义2.5 设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵,构成的mn矩阵C 称为矩阵 A 与矩阵 B 的积，记为CAB,下页,则由元素 cijai1b1jai2b2j ai

5、sbsj (i1, 2, , m；j1, 2, , n,三、矩阵的乘法,解,6,7,8,下页,解,6,7,8,3,0,3,下页,解,6,7,8,3,0,9,7,3,5,下页,4,9,8,3,解,6,7,8,3,0,9,7,3,5,下页,解,32,16,16,8,0,0,0,0,下页,AB,解,可见，矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA 。 两个非零矩阵相乘，可能是零矩阵，从而AB=O推不出A=O或B=O,下页,练习,解,3,1,1,0,3,1,1,0,显然AB=BA。 如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换,下页,解：设,a1,b1,c1,a2,b2,c2,0,0,0,0

6、,a,b,0,a1,b1,0,a2,b2,那么,下页,解：设,AB,那么,令AB=BA，则有 a1=a2=b2=0，b1=c2=a，c1=b。 于是与A可交换的矩阵为,其中a，b，c为任意数,下页,显然AC=BC，但AB。矩阵乘法不满足消去律,下页,1) (AB)C=A(BC)； (2) (A+B)C=AC+BC； (3) C(A+B)=CA+CB； (4) k(AB)=(kA)B=A(kB,应注意的问题,1) ABBA,3) AB=O,A=O或B=O,2) AC=BC,A=B,下页,例11证明：如果CA=AC， CB=BC，则有 (A+B)C=C(A+B)， (AB)C=C(AB)。 证：因

7、为CA=AC，CB=BC，所以有,A+B)C,AC+BC,CA+CB,C(A+B,AB)C,A(BC,A(CB,(AC)B,(CA)B,C(AB,矩阵乘法的性质,四、方阵的幂,如果 A 是 n 阶矩阵, 那么AA 有意义,也有意义,定义,k个相乘称为 的 k 次幂，记为 k,定义 设 A 是 n 阶矩阵, k 是正整数,规定,1 = A,2,A,k+1,k,即,因此有下述定义,2) 运算规律 设 A 为方阵, k, l 为正整数, 则,对n阶方阵 A 与 B一般来说,由于矩阵乘法一般不满足交换律,AkAl,注意,的乘法公式不一定成立,所以初等数学中,AB)k AkBk,A+B)2 A2 +2A

8、B+B2,A+B)(A-B) A2 -B2,Ak)l,Ak+l,Akl,定义2.6 将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即如果,例如，设x=(x1 x2 xn)，y=(y1 y2 yn)，则,y1 y2 yn,xTy,下页,五、矩阵的转置,转置矩阵有下列性质： (1)(AT)T=A； (2)(A+B)T=AT+BT； (3)(kA)T=kAT,下页,定义2.6 将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即如果,五、矩阵的转置,4)(AB)T=BTAT,例 设A与B是两个n阶矩阵。证明：AB是对称矩阵,的充分必要条件是

9、A与B可交换,证,因为A、B是对称矩阵，所以,1、若AB是对称矩阵，则有,于是有,所以A与B可交换,2、若A、B是可交换，则有,于是有,所以AB是对称矩阵,证毕,一个由n阶矩阵A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|，即,矩阵的行列式具有的运算律： (1)|AB|=|A|B|； (2)| AT | |A|； (3)| lA|ln |A,下页,六、矩阵的行列式,例12设A=(aij)为三阶矩阵，若已知|A|=-2，求|A|A,A|A,解,A|A,(-2)3,(-2)3|A,(-2)3(-2,16,-2|A,提问： 设矩阵A为三阶矩阵，且|A|=m，问|-mA|=? 答：-m4,结束,课堂练习,1、设A、B为n阶矩阵，且A为对称