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文档简介

1、第二章 复函数,1,1. 极限与连续性,单值函数,对于 g 中的每个 z ，有唯一的 w 与其对应,多值函数,至少存在一个 z0 属于 g，与 z0 对应的 w 有,两个或两个以上,复变函数极限的定义,当,时,当,时,当,时,设,则,当且仅当,证明,如果,则,使得当,时,命题,所以,反之，若,则,当,时,所以, 当,时,连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数,连续函数的复合函数为连续函数,例,argz0,2. 导数解析函数,定义,定义,在区域内解析,在一点解析,在闭区域上解析,如果一个函数在一个点可导，则它在这个点连续,证明,设 f(z) 在点 a 可导，则,注解1 “可微”有时也

2、可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等； 注解2 解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念； 注解3 函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析； 注解4 闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析,四则运算法则,复合函数求导法则,注：利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同,反函数求导法则,证明,因为,所以,cauchy-riemann 方程,问题,设,可微,则,首先设 h 为实数,得,令,得,再

3、令,t 为实数,得,令,得,由,得,cauchy-riemann方程,例,在,处满足上述定理中的条件，但 f (z)在,不可微,证明,c-r条件,证明,设,在点,处有导数,其中a 和 b为实数,当,时,其中,满足条件,注,2.初等函数,实指数函数的性质,1.指数函数,指数函数的定义域的扩充,由于要求解析，所以利用柯西-黎曼条件，有,所以,因此,定义,称作复指数函数,记作,复指数函数的性质,注,euler公式,问题,指数函数的几何性态,三角函数,由于euler公式，对任何实数 y，我们有,所以有,定义,三角函数的性质,2）cosz是偶函数，sinz是奇函数,证明,3）cosz 和 sinz 是以

4、 2 为周期的周期函数,证明,证明,证明,定义,上述四个函数在各自的定义域内解析，且,定义,双曲正弦,双曲余弦,双曲正切,初等多值函数,1. 幅角函数,单值分支,连续单值分支,上沿,下沿,思考题,定义,设,是一个多值函数,是,的任,意一个邻域,是,内任一绕,一周的简单闭曲线,在,上取一点,我们从与,对应的多个值中取出一个与其对应,设为,让点,从,出发，沿,绕,一周，回到,对应,的值从,连续变化为,如果,则称,为,的一个支点,对数函数,定义,注意：由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为2的周期函数，所以对数函数必然是多值函数,注意,对数函数的基本性质,注,问题,对数函数的主值,相应于argz的主值，我们定义lnz的主值为,连续单值分支,对数函数

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