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1、第十九章含参量积分,1 含参量正常积分,连续性定理 可微性定理 可积性定理 例题,上的连续函数,则积分,确定了一个定义在a, b上的函数,记作,x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分,一般地，设 f (x, y ) 为区域,上的二元函数, c ( x ), d ( x ) 在 a, b 连续，定义,含参量的积分,下面讨论含参量积分的连续性,可微性和可积性,定理19.1 (连续性,上连续, 则函数,在a, b上连续,若,在矩形区域,分析,对任何 x a, b, 要证,连续性定理,就有,即,积分号下取极限,证,设 x, x+x a, b,在闭区域 R 上连续, 所以一致连续,由于,即,只要,就有

2、,就有,这说明,所以,同理可证,续,则含参变量的积分,定理19.1 表明,即在定理的条件下，极限运算与积分运算的顺序,是可交换的，或说可在积分号下取极限,若,上连续, 则,在矩形区域,在a, b上连续,定理19.2（连续性） 如果函数 在区域,上连续，又函数 与 在区间 上连续,则函数,在 a, b 上连续,证,对积分用换元积分法，令,于是,从而,因为,在矩形 a, b 0, 1 上连续，由定理 19.1得,在 a, b 上连续,例1,求,解,记,因为,都是,的连续函数,所以,在,连续，从而,定理19.3 (可微性,都在,可微性定理,积分号下求导数,分析,要证,即,使得当,时，有,对任意的,由

3、拉格朗日中值定理，存在,使得,证,所以,因此,从而一致连续，即,只要,有,因此,故 I ( x ) 在 x 可导，且,由 x 的任意性，及定理 19.1知I ( x ) 在 a, b,有连续的导函数,在定理的条件下,求导和求积分可交换次序,也说可在积分号下求导数,例2,解,考虑含参变量 t 的积分所确定的函数,显然,于是由定理19.3,故,因此得,定理19.4（可微性,如果函数,在矩形,上连续,在 a, b 上可微，且,证,把 F ( x )看作复合函数,由复合函数求导法则及变上限定积分的求导法则，有,例,解,例,验证当 | x | 充分小时, 函数,的 n 阶导数存在, 且,证: 令,在原点的某个闭矩形邻域内连续,由定理19.4 可得,即,同理,当 x = 0 时，有,定理19.5 (可积性,上连续, 则函数,在a, b上可积,若,在矩形区域,在c, d上可积,可积性定理,记,统称为累次积分或二次积分,问：累次积分与积分顺序有关吗？即是否有,定理19.6,上连续, 则,若,在矩形区域,证,记,其中,积分交换顺序,于是,所以,从而,k 为常数,当 u = a 时,于是，k = 0,即得,取 u = b , 就得,例4,解,由被积函数的特点想到积分,内容小结,上连续, 则函数,在a, b上连续、可积,若,在矩形区域,在c, d上连续

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