小学六年级奥林匹克数学基础教程16找规律

1、名校名 推荐小学数学奥数基础教程找规律同学 从三年 开始，就 接触 多“找 律”的 目，例如 形、数字或数表的 化 律， 数列的 化 律， 周期 化 律等等。 一 的内容是通 某一 的 律，推 出 的 算公式。例 1 求 99 形的内角和。分析与解： 三角形的内角和等于 180，可是 99 形的内角和怎 求呢？我 把 化一下，先求四 形、五 形、六 形的内角和，找一找其中的 律。如上 所示， 将四 形 ABCD分成两个三角形， 每个三角形的内角和等于 180，所以四 形的内角和等于 180 2= 360 ；同理，将五 形 ABCDE分成三个三角形，得到五 形的内角和等于 180 3540；将六

2、 形 ABCDEF分成四个三角形，得到六 形的内角和等于 180 4 720。通 上面的 形及分析可以 ，多 形被分成的三角形数，等于 数减2。由此得到多 形的内角和公式：n 形的内角和 =180（ n-2 ）（ n 3）。有了 个公式，再求99 形的内角和就太容易了。99 形的内角和 =180（ 99-2 ） 17460。例 2 四 形内有 10 个点，以四 形的 4 个 点和 10 个点 三角形的 点，最多能剪出多少个小三角形？分析与解： 在 10 个点中任取一点A， A 与四 形的四个 点，构成4 个三角形。再在剩下的9 个点中任取一点B。如果 B 在某个三角形中，那么 B 与 B所在的

3、三角形的三个 点，此 三角形 数增加2 个（ 左下 ）。如果B 在某两个三角形的公共 上，那么 B 与 B 所在 相 的 点，此 三角形 数也是增加 2 个（ 右下 ）。1名校名 推荐 似地，每增加一个点增加2 个三角形。所以，共可剪出三角形4 2 9= 22 （个）。如果将例 2 的“ 10 个点” 改 n 个点，其它条件不 ， 那么由以上的分析可知，最多能剪出三角形4 2（ n-1 ） =2n 2=2（ n 1）（个）。同学 都知道 柱体，如果将 柱体的底面 成三角形，那么便得到了三棱柱（左下 ）；同理可以得到四棱柱（下中 ），五棱柱（右下 ）。如果底面是正三角形、 正四 形、 正五 形那

4、么相 的柱体就是正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱例 3 n 棱柱有多少条棱？如果将不相交的两条棱称 一 ，那么n 棱柱共有多少 不相交的棱？分析与解： n 棱柱的底面和 面都是n 形，每个n 形有 n 个 点，所以n棱柱共有2n 个 点。 察三棱柱、四棱柱、五棱柱的 形，可以看出，每个 点都与三条棱相 ，而每条棱 接2 个 点，所以n 棱柱共有棱2n 3 2=3n（条）。 一步 察可以 ，n 棱柱中每条棱都与4 条棱相交，与其余的3n4-1 =（3n 5）条棱不相交。共有3n 条棱，所以不相交的棱有3n （ 3n- 5 ）（条），因 不相交的棱是成 出 的，各 算一遍就重复了一遍，所以不相交的棱共

5、有3n（ 3n-5 ） 2（ ）。例 4 用四条直 最多能将一个 分成几 ？用100 条直 呢？分析与解： 4 条直 ，我 可以 着画，100 条直 就不可能再画了，所以必 找到 律。如下 所示，一个 是1 ； 1 条直 将 分 2 ，即增加了1 ； 2 条直 ，当2 条直 不相交 ，增加了1 ，当 2 条直 相交 ，增加了2 。由此看出，要想分成的 尽量多， 当使后画的直 尽量与前面已画的直 相交。2名校名 推荐再画第 3条直 ， 当与前面2 条直 都相交， 又增加了3 （ 左下 ）；画第4条直 ， 当与前面3 条直 都相交， 又增加了4 （ 右下 ）。所以4条直 最多将一个 分成1 1 2

6、3 4=11（ ）。由上面的分析可以看出，画第 n 条直 当与前面已画的（ n1）条直 都相交，此 将增加 n 。因 一开始的 算 1 ，所以 n 条直 最多将 分成1（ 1 2 3 n）=1 n（ n+1） 2（ ）。当 n=100 ，可分成1 100（ 100 1） 2=5051（ ）。例 5 用 3 个三角形最多可以把平面分成几部分？10 个三角形呢？分析与解： 平面本身是1 部分。一个三角形将平面分成三角形内、外2 部分，即增加了1 部分。两个三角形不相交 将平面分成3 部分，相交 ，交点越多分成的部分越多（ 下 ）。由上 看出，新增加的部分数与增加的交点数相同。所以，再画第3 个三角

7、形 ， 使每条 的交点尽量多。 于每个三角形，因 1 条直 最多与三角形的两条 相交，所以第 3 个三角形的每条 最多与前面 2 个三角形的各两条 相交，共可 生 3（ 2 2）= 12（个）交点，即增加 12 部分。因此， 3 个三角形最多可以把平面分成1 16 12= 20 （部分）。3名校名 推荐由上面的分析，当画第 n（n 2）个三角形 ，每条 最多与前面已画的（ n 1）个三角形的各两条 相交，共可 生交点3（ n l ） 2 =6（n 1）（个），能新增加 6（ n 1）部分。因 1 个三角形 有 2 部分，所以 n 个三角形最多将平面分成的部分数是2 6 1 2（ n 1）当 n

8、=10 ，可分成2 3 10（ 10 1） =272（部分）。练习 161. 求 12 形的内角和。2. 五 形内有 8 个点。以五 形的 5 个 点和 8 个点 三角形的 点，最多能剪出多少个小三角形？3. 已知 n 棱柱有 14 个 点，那么，它有多少条棱？4.n 条直 最多有多少个交点？5.6 条直 与 2 个 最多形成多少个交点？6. 两个四 形最多把平面分成几部分？答案与提示 练习 161.1800 。2.19 个。提示：与例2 似可得5+2（ 8-1 ） =19（个）。3.21 条棱。提示：n 棱柱有 2n 个 点， 3n 条棱。4.n （ n-1 ） 2。解： 1+2+3+ +（ n-1 ） =n（n-1 ） 2。5.41 个。4名校名 推荐解： 6 条直 有交点6（ 6-1 ） 2=15（个），每条直 与两个 各有2 个交点，两个 之 有2 个交点，共有交点15+6 4+2=41（个）。6.10 部分。提示： 右 。与例 5 似，当画第 n（ n 2）个四 形 ，每条