杨辉三角与二次项系数的性质

1、1.3.2 “”与二项式系数的性质,新课引入,二项式系数指的是那些,下面我们来研究二项式系数有哪些性质,a+b)1,a+b)3,a+b)4,a+b)5,a+b)2,a+b)6,归纳推理由特殊到一般,议一议,1）请看系数有没有明显的规律,2）上下两行有什么关系吗,3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗,每行两端都是1 cn0= cnn=1 从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 cn+1m= cnm + cnm-1,二项式系数表,杨辉三角,杨辉三角,九章算术,杨辉,详解九章算法中记载的表,杨辉三角,类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已

2、经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的,对称性： 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,杨辉三角,二项式系数的性质,增减性与最大值： 先增后减，中间项取得最大,二项式系数的函数观点,展开式的二项式系数依次是,从函数角度看， 可看

3、成是以r为自变量的函数 ,其定义域是,当n=6时，其图象是7个孤立点,定义域0,1,2, ,n,二项式系数的性质1,1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式 得到,图象的对称轴,2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n=_,1、在(ab)展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是(,a 第项 b 第项 c 第项 d 第项,b,6,知识对接测查1,先增后减， 中间项取得最大值,二项式系数的性质2,2）增减性与最大值,第几项的二项式系数最大,先增后减， 中间项取得最大值,二项式系数的性质2,2）增减性与最大值,当n为偶数时： 二

4、项展开式共有n+1项（奇数项），故中间一项的二项式系数最大,当n为奇数时： 二项展开式共有n+1项（偶数项），故中间两项的二项式系数并列最大,1.在(1+x)4的展开式中，二项式系数最大的项是 ； 二项式系数最大的项是第 项. 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 ，,在二项式(x-1)11的展开式中, 求系数最小的项的系数,最大的系数呢,知识对接测查2,3,二项式系数的性质3,3）各二项式系数的和,在二项式定理中，令 ，则,这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于,同时由于 ，上式还可以写成,这是组合总数公式,赋值法,启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法赋值法,例1、证明：在(ab)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即证,n-1,证明,令a=1,b=-1得,特例法 赋值法,知识对接测查3,赋值法,所有项的系数和,奇数项系数之和,偶数项系数之和,系数绝对值之和,小结：求奇数项系数之和与偶数项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解,赋值法,一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质,1,2,3）当 n 为偶数时,4,当 n 为奇数时,分析:本题的左边是一个数列