庞加莱回归定理

1、庞加莱回归定理在数学上， 庞加莱回归定理叙述了某个系统在充分长的时间后，将回到一个非常接近初始状态的状态。 庞加莱时间 就是直到回归时已过去的时间。 该理论可应用于能量封闭在其中 的系统。通常与遍历理论、动态系统和统计力学有关。该定理由亨利 庞加莱在 1890 年发表。证明的讨论定性的说，证明依靠两个前提：1. 封闭的动态系统的相轨迹不相交。2. 假设动态下的有限元素的相体积不变。设想在相空间中任意一点的一个任意小的邻域， 沿着它的在系统动态下的路径 （通常称 作“相管道” ）。当它运动时这个体积“扫过”相空间中的点。因为相轨迹不相交，它永远不 会和已经“扫过”的区域相交。因此，可达到的总的体

2、积总是增加的，而根据假设总体积是 有限的， 在有限的时间里， 所有的体积都会被占尽。 在那时对于相管道唯一继续下去的办法 是连接到它自己的出发点，这就是答案。注意在相管道内的分立轨迹不需要连接它们各自的出发点， 最有可能的是它们在管道中 混淆在一起。 这就是为什么回归只是近似到管道的半径。 为得到更高的回归精度， 我们需要 将初始体积减小，这意味着更长的回归时间。注意没有什么可以阻止系统在所有相空间用尽之前返回它的出发点。 一个普通的例子是 谐振腔。覆盖了所有可能的相体积的系统称为遍历的。回归理论和熵回归理论显得和热力学第二定律矛盾， 它是说大的动态系统不可逆地向更高的熵的状态 发展， 所以如

3、果从一个低熵的状态出发， 系统永远不会返回到它。 有许多可行的方法来解决 这个矛盾。 最典型的意见是对于像盒子中的理想气体那样的热力学系统， 回归时间对于任何 实际的目的来说都太长了以至于是无穷的（玻耳兹曼的说法） 。然而这个解释并不完全令人 满意，因为， 事实上， 没有任何系统中的特征时间尺度， 回归时间与之相比可以称为非常大。 没有参照的时间尺度， “非常大”的概念就没有意义了。一个可能的调和熵和回归的方法如下。 庞加莱的理论依赖于相轨迹不相交的事实。 但如 果在系统中有环境感生噪声这个假设就被打破了。 粗略地说，环境感应引入了一种时间尺度，即系统能够被视为是孤立的时间段长度。 如果系统是

4、无序的， 这个孤立的时间尺度随着噪声 水平的下降仅仅按指数增长。 因此， 庞加莱回归时间尺度就能够和孤立时间尺度（而不是和诸如人的预期寿命这样外在的时间尺度）相比较了。几乎是孤立的（孤立时间 ）大系统 （回归时间 ）的界限（ limit ）是模糊的（ ill-defined ），因此孤立时间尺度增长得“非常 慢”，而回归时间尺度增长得 “非常快”，形象地说， 我们不可能拥有大的孤立系统。 就是说， “大的孤立系统”是两个理想的产物，而这取决于现实中两个理想的程度，如果系统很大， 它对于证明回归理论的目的来说不可能是孤立的。理论的数学公式设（X,工,是测度空间而 f:X TX 是保测变换。对于任

5、何那 些 对 于 所 有 n0 使 得的E中的x有0测度。也就是说，几乎所有E的点都回到了 E。实际上，在无限长的时间后几乎所有的点都会返回；即说明：这里的测度空间应理解为概率空间这一特殊形式。X为描述系统运动的相空间，也就是概率空间的基本空间；为X的所有子相空间的集合；是表示某一子相空间的概率；E为一个子相空间；x表示在某一时刻系统在 E中占据的相点，x的运动可以用保测变换 f 来描述，fn(x)为n个时间间隔之后系统相点的位置。上面式子的意思是，对于任何E,都存在一个N，使得nN时，在E中的任何点x,fn(x) E 的概率为0;即当n足够大时，从 E中的任何点出发，最终不会运动到E之外。换

6、句话说，对于任何E,系统相点从中出发，最终都会回到E。量子力学的形式对于具有离散能量特征值的量子力学系统，类似的定理仍然成立。对于任何0以及ToO,存在一个大于To的时间T,使得| (T) (0)1 0,这里I (T指T时刻系统的 态矢量。主要的证明过程如下。系统如下式按时间演化(t)Cn exp iEnt n)n 0式中En是能量特征值(我们用自然单位，所以?= 0),是能量特征状态。时刻T和0的态矢量差的平方写为:因为(T)：21COS EnTCn 1 COS EnTn N 1Cn12Cn是初始态的平方形式，收敛于 1，则N足够大时,2Cn 1 COS EnT 可做n N 1到任意小。因此我们可以将加和中n=N以上的部分截去。有(T)：(); I2Cn 1 cos EnT对于任意0,存在整数 kn使得EnT 2 kn,这意味着存在时间间隔