微分方程习题及解答

1、第十二章微分方程 12.1微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程、单项选择题1. 下列所给方程中，不是微分方程的是（）(A) xy 2y ;(B) x2 y2 C2 ;(C) y y 0;(D) (7x 6y)dx(xy)dy0 .答(B).2.微分方程5y4yxy 2y（3）0的阶数是（)(A) 1 ；(B)2 ；(C) 3 ;(D)4 ；答(C)3.下列所给的函数，是微分方程y y o的通解的是（)(A) y C1 cosx ；(B) y C2 sin x ；(C) y cosx Csinx ；(D) y C1 cosx C2sinx答(D).4.下列微分方程中,可分离变量的

2、方程疋 （)(A) y ex y ;(B) xy y x ;(C) y xy 1 0 ；(D) (x y)dx (xy)dy 0.答(A).5.卜列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是()-(A) y exy ;(B) xy y x2 ;(C) y xy x 0 ;(D) (x y)dx(xy)dy0 .答(D).、填空题1 函数y 5x2是否是微分方程xy 2y的解?.答：是.2 微分方程冷啦0, yx3 4的解是. 答：x2 y2 25.y x3 .微分方程3x1 2 5x 5y 0的通解是4 .微分方程xy yl ny 0的通解是5. 微分方程Cy、.厂孑的通解是.6. 微分方程xy y

3、 y(l ny In x)的通解是答:答:Cxy e答：arcsiny arcsinx C .Cx e2 y xy a(y y);解：(y2 谭 x3 0.解：三、解答题1 .求下列微分方程的通解.(1) sec xtanydx sec x ytanxdy 0 ；解：乜10xy ； dx解：2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:y si nx yl ny ,yx_2解：(4)黑 10xy.解:3* 设连续函数f(x)答: f (x) ex ln2 .1.下列所给方程中，是一阶微分方程的是().(A) ?-3(ln x) y2 ;(B)字2y(x51)2dxxdxx 1(C)字dx(x y

4、)2;(D) (xy)dx(xy)dy 0.答(B)2.微分方程(x y2)dx 2xydy0的方程类型是().(A) 齐次微分方程;(B) 一阶线性微分方程;(C)可分离变量的微分方程;(D)全微分方程.答(D).3.方程 xy 、x2).(A)齐次方程;(B) 一阶线性方程;(C)伯努利方程;(D)可分离变量方程答(A).、填空题1.微分方程dy ye x的通解为答:xxCe xe2 .微分方程(x2 y)dx xdy 0的通解为答:xy C .3.方程(x y)(dx dy) dx dy的通解为答:y In(x y) C .三、简答题1.求下列微分方程的通解:(2) x yln* ; d

5、x x(1) y ycosx e sinx;解:解:xyy x2 3xytanx sin 2x ;解:解:解:解:(y2(a22xy y2 )dx(x y)2dy 0 .2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.(1)dx 3y 5 2 ；ey解:Tdx解:解:3*.求伯努利方程3xy xy2的通解.dx解:、单项选择题1.方程y(xey 2y)dy 0 ; 12.3可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程sin x的通解是（).12(A) y cosxC1xC2xC3 ；(B)y cosx G ；1 2(C) y sin xC1xC2x2C3；(D)y 2 si n2x.答(A)2.微分方程y

6、 y xy满足条件y x 21，y x 2 1的解是（).2(A) y (x 1)；(C) y 2(x 1)2答（C）.3.对方程y yy2，以下做法正确的是（）(A)令 y p(x),y p代入求解;(B)令y p(y), y p p代入求解;（C）按可分离变量的方程求解;（D）按伯努利方程求解.答(B).4.下列函数组线性相关的是（).(A) e2x, 3e2x;2 x3x(B) e , e ;(C) sin x, cosx;2x2x(D) e , xe答(A).5.下列方程中，二阶线性微分方程是)(A) y 2y(y)30;(B) y 2yy xy ex ;(C) yx2y2 2y 3x

7、 ;(D) y 2xyx2y 2ex .答(D).6. %, y2是ypy qy 0的两个解,则其通解是（)(A) y Cyy2;(B) yCyC2 y2 ；(C) y Cycm，其中y1与y2线性相关;(D) y Cy“2，其中与2线性无关.答(D).7.下列函数组线性相关的是（）.2 x2 x(A) e , 3e ;(B)2x e3x,e ;(C) sinx, cosx ;(D)2x e2x,xe答(A).、填空题1 .微分方程y x sin x的通解为答:sinx Gx C2.2 .微分方程y y x的通解为答：y Gex x C2. 2三、简答题1 .求下列微分方程的通解. y 1 (

8、y)2; y -(y)2.2解：解：2.求方程y x(y)2 0满足条件y! 2 , y!1的特解.解： 12.4 二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1.下列函数中，不是微分方程y y 0的解的是().(A)y sin x ；(B) ycosx ；(C)y ex ；(D)ysin x cosx .答(C)2.F列微分方程中，通解是y Ge xC2e3x的方程是().(A)y 2y 3y 0 ;(B)y2y 5y 0 ;(C)y y 2y 0 ；(D)y2y y 0 .答(A).3.下列微分方程中，通解是y C1ex C2xex的方程是().(A)y 2y y 0;(B)y2y y 0;(

9、C)y 2y y 0 ;(D)y2y 4y 0 .答(B).4.下列微分方程中，通解是y ex(Gcos2x C2sin2x)的方程是().(A) y 2y 4y 0 ;(B) y 2y 4y 0(C) y 2y5y(D) y 2y 5y 0.答(D).5.若方程ypyqy 0的系数满足1 p q 0，则方程的一个解是).(A) x ;(B) ex;(C) ex ;(D) sinx .答(B).6*.设y f(x)是方程y 2y2y0 的一个解，若 f (Xo) 0, f (Xo)则f (x)在x x处().(A) X0的某邻域内单调减少;(B) X。的某邻域内单调增加;(C)取极大值;(D)

10、取极小值.答(C).、填空题1 .微分方程的通解为y 4y0的通解为2 .微分方程y2y 0的通解为3 .微分方程y4y4y 0的通解为.答：y G C2e4x .答:yC1exC?e 2x.答:yC1e2x:C2xe2x.4 .微分方程y4y0的通解为答：y C1 cos2x C2 sin 2x .5.方程y 6y13y0的通解为答:3x e(C1 cos2x C2 sin2x).三、简答题1.求下列微分方程的通解:(1) y y 2y 0 ；d2x4肩dx20 -dt25x 0 .解:解:2.求下列方程满足初始条件的特解.(1) y 4y 3y 0, y103x0 6; y 25y0,y0

11、5, y x 02.解：解： 12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程、单项选择题1. 微分方程 y y x2 的一个特解应具有形式 ()(A) Ax2 ；2(C) Ax2 Bx C ；(B) Ax2 Bx ；2(D) x(Ax2 Bx C)答(C).2. 微分方程 y y x2 的一个特解应具有形式 ( )(A) Ax2 ；(B) Ax2 Bx ；2(C) Ax2 Bx C ；2(D) x(Ax2 Bx C)答(C)3. 微分方程 y 5y 6yxe 2x 的一个特解应具有形式 ()(A) Axe 2x ；(B) (Ax B)e 2x；2 2x(C) (Ax2 Bx C)e 2x ；2x(D)

12、 x(Ax B)e 2x 答 (B)4. 微分方程 y y 2yx2ex 的一个特解应具有形式 ()(A) Ax2ex ；(B) (Ax2 Bx)ex ；(C) x(Ax2 Bx C)ex ；(D) (Ax2 Bx C)ex 答(C).5. 微分方程 y 2y 3yexsin x的一个特解应具有形式( ) (A) ex(Acosx Bsin x) ；(B) Aexsinx；x(C) xe (Asinx B cosx) ；x(D) Axe sin x答 (A)、填空题微分方程y4yx3 x的一个特解形式为答: y* 泊2.微分方程y2yx的一个特解形式为答：y* x(Ax B).3.微分方程y5y6y xex的一个特解形式为答：y* (Ax B)ex .4.微分方程y5y6y xe3x的一个特解形式为.答：y* x(Ax B)e3x .5 .微分方程ysin x的一个特解形式为答：y* Asin x .6.微分方程y sin x的一个特解形式为答：y