微分方程复习要点课堂

1、1,一阶微分方程,2,可降阶的二阶微分方程,3,二阶线性微分方程的解的结构,4,二阶常系数线性微分方程,一、第七章要点,1,1,一阶微分方程,1,可分离变量的微分方程,解法,x,x,f,y,y,g,d,d,1,类型,y,g,x,f,y,2,一阶线性微分方程,类型,x,Q,y,x,P,y,解法,C,x,x,Q,y,x,x,P,x,x,P,d,e,e,d,d,2,3,齐次方程,此为变量可分离的微分方程,类型,x,y,y,x,f,y,解法,令,则,原方程变为,x,y,u,x,u,x,u,x,y,d,d,d,d,u,u,x,u,x,d,d,3,4,伯努利方程,为一阶线性微分方程,类型,1,0,y,x,

2、Q,y,x,P,y,解法,令,则原方程变为,1,y,z,1,1,d,d,x,Q,z,x,P,x,z,4,2,可降阶的二阶微分方程,方法,作,次积分,n,新方程是一个一阶微分方程,1,类型,x,f,y,n,2,类型,y,x,f,y,方法,令,则原方程转变为,p,y,p,x,f,p,5,新方程是一个一阶微分方程,3,类型,y,y,f,y,方法,令,则原方程转变为,p,y,d,d,p,y,f,y,p,p,6,3,二阶线性微分方程的解的结构,设二阶线性微分方程,而称方程,为方程所对应的齐次线性方程有,x,f,y,x,Q,y,x,P,y,0,y,x,Q,y,x,P,y,1,若,是方程的线性无关解，则方程

3、有通解,2,1,y,y,2,2,1,1,y,C,y,C,y,7,的一个特解,2,2,1,1,y,y,C,y,C,y,2,若,是方程的特解，则方程有通解,y,3,若,是方程,的特解,x,f,y,x,Q,y,x,P,y,i,i,y,则,为方程,2,1,y,y,2,1,x,f,x,f,y,x,Q,y,x,P,y,8,4,二阶常系数线性微分方程,1,二阶常系齐次数线性微分方程,设方程,相应的特征方程为,0,qy,y,p,y,0,2,q,pr,r,则：若方程有两个不同的实根,则方程的通解为,2,1,r,r,x,r,x,r,C,C,y,2,1,e,e,2,1,9,若方程有两个相同的实根,则方程的通解为,2

4、,1,r,r,x,r,C,x,C,y,1,e,2,1,若方程有一对共轭复根,则方程的通,i,2,1,r,sin,cos,e,2,1,x,C,x,C,y,x,解为,10,2,二阶常系数非齐次线性微分方程,设方程为,则方程有特解,e,x,P,qy,y,p,y,m,x,e,x,Q,x,y,m,k,x,其中,是一个与,同次的多项式，而,x,Q,m,x,P,m,2,1,0,k,若,不是特征方程的根,若,是特征方程的单根,若,是特征方程的二重根,11,设方程,则方程有特解,sin,cos,e,x,x,P,x,x,P,qy,y,p,y,m,l,x,sin,cos,e,2,1,x,x,R,x,x,R,x,y,

5、n,n,x,k,其中,是,次的多项式,而,2,1,x,R,x,R,n,n,n,max,l,m,n,按,是否为特征方程的根而分别取,1,或,0,k,i,12,二、例,题,选,讲,解,此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量,因,得,例,1,求解方程,0,d,4,d,2,y,x,x,x,y,2,4,d,d,x,x,x,y,y,x,x,x,x,x,x,d,4,1,1,4,1,4,d,2,13,两边积分，得,即得原方程的通解,C,x,x,y,ln,4,ln,ln,4,1,ln,x,C,x,y,4,4,14,解,原方程变形后为齐次方程,例,2,求解方程,0,tan,y,x,y,x,y,x,3,2,x,y

6、,x,y,x,y,y,tan,作变换,则有,x,y,u,u,u,x,u,x,u,tan,d,d,15,移项，得,两边积分，得,x,x,u,u,u,d,1,d,sin,cos,C,x,u,ln,ln,sin,ln,将,代入，有,x,y,u,x,C,x,y,sin,16,即满足初始条件的解为,由初始条件,得,即原方程的解为,3,2,x,y,1,C,x,x,y,1,sin,x,x,y,1,arcsin,17,解,原方程变形为,即,例,3,求微分方程,的通解,0,d,d,3,2,4,x,xy,y,x,y,1,3,3,d,d,x,y,x,y,y,x,3,2,2,2,6,d,d,y,x,y,y,x,此是关

7、于函数,的一阶线性非齐次线性微分方程,2,y,f,x,由求解公式得,18,6,4,3,6,d,1,2,Cy,y,C,y,y,y,C,y,y,x,y,y,y,y,d,e,2,e,d,6,3,d,6,2,19,分离变量，得,两边积分，得,例,4,求解微分方程,3,2,2,3,2,y,y,x,xy,y,解法,1,此方程为齐次方程，作代换,则有,ux,y,2,3,d,d,2,u,u,x,u,x,u,x,x,u,u,u,u,d,3,d,1,2,3,2,2,20,故方程的通解为,即,由于,C,x,u,u,u,u,ln,ln,3,d,1,2,3,2,2,u,u,u,u,u,u,u,u,d,1,2,d,1,2

8、,3,2,2,2,1,2,1,ln,2,1,ln,2,C,u,u,3,2,2,1,x,C,u,u,C,y,x,y,2,2,2,21,解法,2,方程变形为,故方程的通解为,代回原变量，得,4,2,2,Cy,y,x,1,3,2,d,d,yx,x,y,y,x,此方程为贝努利方程，此时令,则有,2,x,z,y,z,y,y,z,6,4,d,d,4,2,Cy,y,z,22,例,5,求解下列方程,即,方程的解为,1,ln,ln,ln,C,x,p,1,2,0,y,y,x,y,y,y,3,解,1,此方程不含变量,故令变换,则方程为,y,y,p,0,p,p,x,x,x,p,p,d,1,d,1,23,即,所以，方程

9、的通解为,x,C,x,y,1,d,d,2,1,ln,C,x,C,y,24,方程变形为,即有,0,1,d,d,2,p,y,p,p,2,此方程中不含变量,作变换,则,x,y,p,y,p,p,x,y,d,d,d,d,2,2,p,p,y,p,p,3,d,d,25,解得,即,分离变量后，再两边积分得,从而得方程的通解,x,C,C,y,e,sin,2,1,由,得方程的解为,由,0,p,C,y,0,1,d,d,2,p,y,p,1,arctan,C,y,p,tan,1,C,y,y,2,1,ln,sin,ln,C,x,C,y,26,例,6,求下列方程的通解,解,1,特征方程为,x,x,C,C,y,2,5,2,1

10、,e,解得,由此得到方程的通解,2,5,2,1,r,r,0,25,20,4,2,r,r,1,2,0,25,20,4,y,y,y,x,x,y,y,2,e,2,3,x,x,y,y,cos,4,27,则,x,C,C,y,2,2,1,e,2,特征方程为,因而齐次方程的通解为,0,2,2,r,r,由于,为单根，故可设方程的特解为,2,x,b,ax,x,y,2,e,x,b,x,b,a,ax,y,2,2,e,2,2,2,x,b,a,x,b,a,ax,y,2,2,e,4,2,4,8,4,28,代入方程后，比较系数得,所以,因而方程的通解为,2,1,4,1,b,a,x,x,y,2,e,2,4,1,x,x,x,C

11、,C,y,2,2,2,1,e,2,4,1,e,29,代入到原方程，得,x,d,cx,x,b,ax,y,sin,cos,3,特征方程为,解得,所以齐次方,0,4,2,r,i,2,2,1,r,程的通解为,x,C,x,C,y,2,sin,2,cos,2,1,注意到,不是特征方程的根，故方程的特解可,i,i,设为,x,x,x,a,d,cx,x,c,b,ax,cos,sin,2,3,3,cos,2,2,3,30,1,一阶微分方程,2,可降阶的二阶微分方程,3,二阶线性微分方程的解的结构,4,二阶常系数线性微分方程,一、第七章要点,31,1,一阶微分方程,1,可分离变量的微分方程,解法,x,x,f,y,y

12、,g,d,d,1,类型,y,g,x,f,y,2,一阶线性微分方程,类型,x,Q,y,x,P,y,解法,C,x,x,Q,y,x,x,P,x,x,P,d,e,e,d,d,32,3,齐次方程,此为变量可分离的微分方程,类型,x,y,y,x,f,y,解法,令,则,原方程变为,x,y,u,x,u,x,u,x,y,d,d,d,d,u,u,x,u,x,d,d,33,4,伯努利方程,为一阶线性微分方程,类型,1,0,y,x,Q,y,x,P,y,解法,令,则原方程变为,1,y,z,1,1,d,d,x,Q,z,x,P,x,z,34,2,可降阶的二阶微分方程,方法,作,次积分,n,新方程是一个一阶微分方程,1,类型

13、,x,f,y,n,2,类型,y,x,f,y,方法,令,则原方程转变为,p,y,p,x,f,p,35,新方程是一个一阶微分方程,3,类型,y,y,f,y,方法,令,则原方程转变为,p,y,d,d,p,y,f,y,p,p,36,3,二阶线性微分方程的解的结构,设二阶线性微分方程,而称方程,为方程所对应的齐次线性方程有,x,f,y,x,Q,y,x,P,y,0,y,x,Q,y,x,P,y,1,若,是方程的线性无关解，则方程有通解,2,1,y,y,2,2,1,1,y,C,y,C,y,37,的一个特解,2,2,1,1,y,y,C,y,C,y,2,若,是方程的特解，则方程有通解,y,3,若,是方程,的特解,

14、x,f,y,x,Q,y,x,P,y,i,i,y,则,为方程,2,1,y,y,2,1,x,f,x,f,y,x,Q,y,x,P,y,38,4,二阶常系数线性微分方程,1,二阶常系齐次数线性微分方程,设方程,相应的特征方程为,0,qy,y,p,y,0,2,q,pr,r,则：若方程有两个不同的实根,则方程的通解为,2,1,r,r,x,r,x,r,C,C,y,2,1,e,e,2,1,39,若方程有两个相同的实根,则方程的通解为,2,1,r,r,x,r,C,x,C,y,1,e,2,1,若方程有一对共轭复根,则方程的通,i,2,1,r,sin,cos,e,2,1,x,C,x,C,y,x,解为,40,2,二阶

15、常系数非齐次线性微分方程,设方程为,则方程有特解,e,x,P,qy,y,p,y,m,x,e,x,Q,x,y,m,k,x,其中,是一个与,同次的多项式，而,x,Q,m,x,P,m,2,1,0,k,若,不是特征方程的根,若,是特征方程的单根,若,是特征方程的二重根,41,设方程,则方程有特解,sin,cos,e,x,x,P,x,x,P,qy,y,p,y,m,l,x,sin,cos,e,2,1,x,x,R,x,x,R,x,y,n,n,x,k,其中,是,次的多项式,而,2,1,x,R,x,R,n,n,n,max,l,m,n,按,是否为特征方程的根而分别取,1,或,0,k,i,42,二、例,题,选,讲,

16、解,此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量,因,得,例,1,求解方程,0,d,4,d,2,y,x,x,x,y,2,4,d,d,x,x,x,y,y,x,x,x,x,x,x,d,4,1,1,4,1,4,d,2,43,两边积分，得,即得原方程的通解,C,x,x,y,ln,4,ln,ln,4,1,ln,x,C,x,y,4,4,44,解,原方程变形后为齐次方程,例,2,求解方程,0,tan,y,x,y,x,y,x,3,2,x,y,x,y,x,y,y,tan,作变换,则有,x,y,u,u,u,x,u,x,u,tan,d,d,45,移项，得,两边积分，得,x,x,u,u,u,d,1,d,sin,cos,C

17、,x,u,ln,ln,sin,ln,将,代入，有,x,y,u,x,C,x,y,sin,46,即满足初始条件的解为,由初始条件,得,即原方程的解为,3,2,x,y,1,C,x,x,y,1,sin,x,x,y,1,arcsin,47,解,原方程变形为,即,例,3,求微分方程,的通解,0,d,d,3,2,4,x,xy,y,x,y,1,3,3,d,d,x,y,x,y,y,x,3,2,2,2,6,d,d,y,x,y,y,x,此是关于函数,的一阶线性非齐次线性微分方程,2,y,f,x,由求解公式得,48,6,4,3,6,d,1,2,Cy,y,C,y,y,y,C,y,y,x,y,y,y,y,d,e,2,e,

18、d,6,3,d,6,2,49,分离变量，得,两边积分，得,例,4,求解微分方程,3,2,2,3,2,y,y,x,xy,y,解法,1,此方程为齐次方程，作代换,则有,ux,y,2,3,d,d,2,u,u,x,u,x,u,x,x,u,u,u,u,d,3,d,1,2,3,2,2,50,故方程的通解为,即,由于,C,x,u,u,u,u,ln,ln,3,d,1,2,3,2,2,u,u,u,u,u,u,u,u,d,1,2,d,1,2,3,2,2,2,1,2,1,ln,2,1,ln,2,C,u,u,3,2,2,1,x,C,u,u,C,y,x,y,2,2,2,51,解法,2,方程变形为,故方程的通解为,代回原

19、变量，得,4,2,2,Cy,y,x,1,3,2,d,d,yx,x,y,y,x,此方程为贝努利方程，此时令,则有,2,x,z,y,z,y,y,z,6,4,d,d,4,2,Cy,y,z,52,例,5,求解下列方程,即,方程的解为,1,ln,ln,ln,C,x,p,1,2,0,y,y,x,y,y,y,3,解,1,此方程不含变量,故令变换,则方程为,y,y,p,0,p,p,x,x,x,p,p,d,1,d,1,53,即,所以，方程的通解为,x,C,x,y,1,d,d,2,1,ln,C,x,C,y,54,方程变形为,即有,0,1,d,d,2,p,y,p,p,2,此方程中不含变量,作变换,则,x,y,p,y,p,p,x,y,d,d,d,d,2,2,p,p,y,p,p,3,d,d,55,解得,即,分离变量后，再两边积分得,从而得方程的通解,x,C,C,