静力学pt课件

1、1,静力学 STATICS,第一章 质点的平衡 第二章 刚体的平衡 第三章 刚体系与结构的平衡 第四章 质点系的平衡,2,第一章 质点的平衡,平 衡(equilibrium)：在惯性参考系中处于静止状态,要研究的问题： 如何建立力学模型 如何进行受力分析 如何寻找平衡规律,3,1-0 力学模型与力系,质点(particle)：具有质量而其形状、大小可以不计的物体,当物体平衡时，若求绳索的拉力，物体可视为质点。 当研究卫星的轨道动力学时，卫星可视为质点,研究对象的力学模型,4,1-0 力学模型与力系,当研究航天器轨道问题时质点 当研究航天器姿态问题时刚体、质点系、刚体系,刚 体(rigid bo

2、dy)：特殊的质点系，其上任意两点间的距离 保持不变,质点系(particle system)：具有一定联系的若干个质点的集合,5,1-0 力学模型与力系,力的作用效应(effects of action of the force): 内效应(internal effect): 物体的变形。 外效应(external effect): 物体的运动状态的改变,注意： 力作用于可变形的物体时，既有内效应，也会有外效应。 力作用于刚体时，不会有内效应，只可能有外效应,勇气号”火星探测器 着陆装置,6,等效力系(equivalent force system): 对同一刚体产生相同作用效应的力系,1-

3、0 力学模型与力系,力 系(force system): 作用在物体上的一组力,合力(resultant force) : 与某力系等效的力,平衡力系(force system in equilibrium): 对刚体不产生任何作用效应的力系,7,1-0 力学模型与力系,若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面共点力系(concurrent coplanar force system)。 若共点力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空间共点力系(concurrent noncoplanar force system),共点力系(concurrent force system):力作用

4、线汇交于一点的力系,8,1-1 共点力系的合成,一、几何法（矢量法,力 多 边 形,设 为作用在A点的力系，求其合力,结论：合力为力多边形的封闭边,设 为作用在A点的共点力系,9,1-1 共点力系的合成,二、解析法(投影法,其中： 是合力矢量 与三个坐标轴的夹角,10,1-2 共点力系的平衡条件,一、几何平衡条件,结论：力多边形自行封闭,特点：利用几何法（矢量法），便于定性分析平衡问题,11,1-2 共点力系的平衡条件,二、解析平衡条件,有三个独立的平衡方程,有两个独立的平衡方程,结论：满足平衡方程,特点：利用解析法，便于定量分析平衡问题,空间力系,平面力系,12,1-2 共点力系的平衡条件,

5、思考题： 空间汇交力系的平衡方程的投影轴必须垂直吗,问题： 根据该思考题，你能提出什么问题,13,主要参考书,朱照宣等编写的理论力学（上下册）北京大学出版社 贾书惠主编的理论力学高等教育出版社 梅凤翔主编的工程力学（上下册）高等教育出版社 刘延柱主编的理论力学高等教育出版社 R.C.Hibbeler, Engineering Mechanics, 高等教育出版社 谢传锋主编的理论力学自我检测北航出版社,14,上节课的主要内容,基本概念 平衡、质点（系）、刚体、力系、等效力系、合力、平衡力系、共点力系 基本方法 共点力系的合成（几何法、解析法） 共点力系的平衡条件（几何法、解析法） 要研究的问题

6、 如何进行受力分析 如何将基本概念与方法应用于实际问题,15,1-3 平衡问题的解法,自由体(free body)：可以在空间任意运动的物体,非自由体(constrained body)：运动受到某些限制的物体,16,非自由体实例,17,1-3 平衡问题的解法,一、约束与约束力,约 束(constraint)：限制物体运动的条件,约束体(constraint body)：约束非自由体运动的物体,列车是非自由体 铁轨是约束体,约束力(constraint force)：约束体作用在非自由体上的力,铁轨作用在车轮上的力为约束力,18,1-3 平衡问题的解法,约束力的方向与限制物体运动的方向相反,一

7、）柔索绳索、 链条、皮带等,假设条件：不计质量 。 约束力特点：力沿柔索方向，受拉,限制该方向的运动,限制运动的条件,19,1-3 平衡问题的解法,二）光滑面约束,约束力沿公法线方向指向被约束的物体,假设条件：不计摩擦,20,1-3 平衡问题的解法,在不计摩擦的条件下，齿轮间的约束也属于光滑面约束,21,1-3 平衡问题的解法,1、固定铰链支座,固定铰链简图,三）光滑圆柱铰链,22,1-3 平衡问题的解法,首都机场候机楼顶棚拱架支座,23,1-3 平衡问题的解法,2、连接铰链,注意：分清受力体与施力体,24,1-3 平衡问题的解法,思考题： 机器人的哪些关节是链接铰？ 人体的哪些关节可简化成链

8、接铰,25,1-3 平衡问题的解法,3、活动铰链支座,4、径向轴承,26,1-3 平衡问题的解法,固定铰链支座与可动铰链支座的应用,27,1-3 平衡问题的解法,四）光滑球铰链,人造髋关节,28,1-3 平衡问题的解法,五）二力构件/二力杆,二力平衡原理：作用于刚体上的两个力为平衡力系的充分必要条件是：此二力等值、反向、共线,若刚体上只有两点受力且不计其质量，则该刚体称为二力构件或二力杆。作用力沿两点连线、大小相等、方向相反,29,1-3 平衡问题的解法,二、受力图,根据约束的类型画出研究对象的受力图,例：结构如图所示，不计构件自重，画出AB杆的受力图,CD杆为二力杆,30,1-3 平衡问题的

9、解法,例：画出AB杆的受力图,31,1-3 平衡问题的解法,例：画出滑轮、CD杆、AB杆和整体受力图,1、研究滑轮,2、研究CD杆,32,1-3 平衡问题的解法,3、研究AB杆,4、研究整体,研究整体时，不画物体间的内力,33,例：已知物体的重量为P，求（a）平衡时铅垂力F， （b）维持平衡时F 的最小值及其方向（不计构件自重,34,例：结构如图所示，杆重不计，已知 力P，求BC杆的内力和绳BD的拉力,解：研究铰链B,空间力系,35,问题研究,用所学过的知识与方法研究缆车的力学问题,能研究缆车的哪些力学问题？ 若研究这些问题，假设条件是什么？ 建立力学模型。 给出理论分析与计算。 目前不能解决

10、的问题是什么,36,问题研究,建立安装在门上的一组合叶的力学模型。 1、分析合叶的受力情况并画出门的受力图。 2、为了使门能正常的开关，安装合叶时应注意哪些问题,37,本章主要内容,基本定义 平衡、质点（系）、刚体、自由体、非自由体 力系、等效力系、合力、共点力系 基本方法 共点力系的合成及其平衡条件（矢量法、解析法） 约束与约束力 柔索、光滑面、光滑柱（球）铰链、二力构件 受力分析 根据约束的类型和特点画受力图,38,第二章 刚体的平衡,39,问题的引出,研究内容：刚体在各种力系作用下平衡的一般规律,桥梁受有：自身重力、铁轨压力、桥墩作用力、风载等,机身受有：自身重力、旋翼轴的作用力、空气动

11、力等,40,问题的引出,问题: 如何用数学工具描述非共点力系对刚体的作用效应,根据牛顿第二定律有,41,2-1 力偶系,力偶(couple)：F,F, F = - F 不共线,力偶系(couple system)：作用于刚体上 的一组力偶,一、力对点之矩 ( moment of a force about a point,1、力对点之矩的数学描述,1）矢量表示式,问题：已知力 F（矢量）以及该力对 O 点的 矩 M O （矢量），能否确定力F 的作用线,42,2-1 力偶系,问题：若已知某个力对A、B两点之矩的矢量方向，能否确定该力的作用线？ A：一定能， B：一定不能， C：不一定能,问题：

12、补充什么条件，问题的答案将是肯定的,思考题：已知某个力对A、B两点之矩MA、MB的方向和其中一个力偶的大小，能否确定该力的大小、方向和作用线,43,2-1 力偶系,2）解析表示式,力对点之矩在轴上的投影,44,2-1 力偶系,2、合力矩定理,则有,若作用在刚体上的力系存在合力,45,2-1 力偶系,二、力对轴之矩( moment of a force about an axis,46,2-1 力偶系,力对轴之矩计算公式,问题：力对轴之矩与力对点之矩有什么关系,47,2-1 力偶系,力对轴之矩,力对点之矩在各坐标轴上的投影,结论：力对轴之矩等于力对轴上任意一点之矩在该轴上的投影,48,2-1 力

13、偶系,例：在棱长为 b 的正方体上作用有一力F，求该力对 x、y、z 轴之矩以及对OA轴之矩,解,49,2-1 力偶系,三、力偶矩 ( moment of a couple,注：力偶矩矢量垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与取矩点无关,50,2-1 力偶系,四、力偶的等效条件和性质,1、力偶的等效条件(定理,两个力偶等效的条件是它们的力偶矩相等,51,2-1 力偶系,2、力偶的性质,性质一 力偶不能与一个力等效,性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平面),而不改变对刚体的作用效应,52,2-1 力偶系,性质三 只要力偶矩矢量的方向和大小不变（F，d 可变）， 则力偶对刚体的作用效

14、应就不变,53,2-1 力偶系,五、力偶系的合成,设作用于刚体上的两个力偶,结论：两个力偶的合成仍然为力偶，且,54,2-2 力偶系的平衡,平衡的充分必要条件,空间力偶系 的平衡条件,平面力偶系 的平衡条件,作用于刚体上的力偶系合成为一力偶,55,2-2 力偶系的平衡,例：结构如图所示，已知主动力偶 M，哪种情况铰链的约束力较小（不计构件自重,1、研究OA杆,2、研究AB杆,56,2-2 力偶系的平衡,思考题：结构如图所示，已知各杆均作用一个主动力偶 M， 确定各个铰链约束力的方向（不计构件自重,57,2-2 力偶系的平衡,研究BD,研究AC,例:求当系统平衡时,力偶 应满足的关系,D,58,

15、2-3 空间一般力系简化,空间一般力系(general noncoplanar force system )： 力作用线在空间任意分布的力系,问题,59,2-3 空间一般力系简化,一、力的移动,1、力沿作用线移动,加减平衡力系原理： 在刚体上增加或减去 一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应,若,则,60,2-3 空间一般力系简化,定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后，作用效应不变,作用于刚体上力的三要素：大小、方向、作用线,61,2-3 空间一般力系简化,2、力的平移,力的平 移定理,62,2-3 空间一般力系简化,二、空间任意力系向一点简化,主矢,主矩,FR 一个作用在O点上的

16、力, MO 一个作用在刚体上的力偶,与简化点无关,与简化点有关,63,2-3 空间一般力系简化,三、空间任意力系简化的最后结果,平衡,合力,合力偶,2,1,3,4,64,2-3 空间一般力系简化,1,A,B,65,2-3 空间一般力系简化,66,2-3 空间一般力系简化,确定图示力系的简化结果,67,2-3 空间一般力系简化,例：求力系Fi向O点简化的结果,解：1,2,3、 根据主矢和主矩的计算结果 判断该力系的简化结果,68,问题研究,编制一个通用程序，可将空间任一力系向A点简化。 输入量 力系中各力的大小、方向、作用点、力系的简化点A。 输出结果 力系的主矢（大小和方向或用分量表示） 力系

17、对A点的主矩（大小和方向或用分量表示） 力系简化的最简结果 给出编程所用的基本理论和使用说明,69,2-4 各类力系平衡条件,二力平衡原理,作用于刚体上的二力为平衡力系的充分必要条件是此二力等值、反向、共线,三力平衡定理,作用于刚体上的三个力若为平衡力系，则这三个力共面；或汇交于一点，或平行,一、基本原理和定理,注：只证明汇交的情况，平行的情况自己证明,70,2-4 各类力系平衡条件,证明：设三个力不平行且平衡, 则：三力共面且作用线交于一点,若三力平衡，有,由此得： 共面,因为 不平行，相交于D点,合成为力,由二力平衡原理得：三力作用线共面且交于一点,71,例：结构如图所示，已知主动力F，

18、确定铰链O、B约束力的方向（不计构件自重,2-4 各类力系平衡条件,1、研究OA杆,2、研究AB杆,72,2-4 各类力系平衡条件,二、空间任意力系的平衡条件,平衡,空间任意力系简化,空间任意力系平衡的充分必要条件,73,2-4 各类力系平衡条件,三、其它力系的平衡条件,空间问题,平面问题,空间问题,平面问题,汇交力系平衡的充分必要条件,力偶系平衡的充分必要条件,74,2-4 各类力系平衡条件,平行力系平衡的充分必要条件,75,2-4 各类力系平衡条件,平面任意力系平衡的充分必要条件,一矩式,76,2-4 各类力系平衡条件,平面任意力系平衡方程二矩式、三矩式的讨论,平面任意力系简化,平面任意力

19、系固定端约束力的简化,77,2-4 各类力系平衡条件,例：结构如图，已知W，a，求杆A、B处的约束力,解：1、画受力图,2、建立平衡方程,讨论： 二矩式和三 矩式的应用,78,2-4 各类力系平衡条件,例：已知AB梁长为l，其上受有均布载荷q，求A处的约束力,解：研究AB梁，画受力图,79,2-4 各类力系平衡条件,例：重为W 的均质正方形板水平支承在铅垂墙壁上，求绳1、2的拉力, BC杆的内力和球铰链A的约束力,解：取板为研究对象、 画受力图,方法一：基本方程,80,2-4 各类力系平衡条件,方法二：六矩式方程,在同一平面内 最多取两个平行的取矩轴,在空间内 最多取三个平行的取矩轴,D,81

20、,2-4 各类力系平衡条件,思考题：下列方程中的投影轴和取矩轴不是同一根轴， 该方程组能否作为空间任意力系的平衡方程,问题：上述方程中x,y,z 是否必须正交？x,y,z轴是否必须正交,82,2-5 考虑摩擦时物体的平衡,摩擦在现实中的应用,83,2-5 考虑摩擦时物体的平衡,84,2-5 考虑摩擦时物体的平衡,一、滑动摩擦,1、静滑动摩擦,2、动滑动摩擦,其中： 静滑动摩擦因数 (coefficient of static friction,其中： 动滑动摩擦因数 (coefficient of kinetic friction,F：摩擦力， ：法向约束力,注意：当摩擦力未达到最大值时，其大

21、小由平衡方程确定,85,影响摩擦系数的因素,湿度、温度、 摩擦表面的材料,86,影响摩擦系数的因素,刹 车 盘,87,影响摩擦系数的因素,88,2-5 考虑摩擦时物体的平衡,二、摩擦角与自锁现象,称为摩擦角 (angle of friction,全反力,89,2-5 考虑摩擦时物体的平衡,问题：已知静滑动摩擦因数为 f,斜面倾角为多大时,滑块将要滑动,90,2-5 考虑摩擦时物体的平衡,斜面摩擦自锁的应用,91,2-5 考虑摩擦时物体的平衡,92,2-5 考虑摩擦时物体的平衡,问题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑动，地面与梯子间的静滑动摩擦因数 fs 至少为多大。 (不计梯子自重, 人重为W,解：

22、研究梯子，画受力图,93,2-5 考虑摩擦时物体的平衡,问题：长轴为 a，短轴为 b ，重为W的均质椭圆，一端铅垂吊起，另一端放在倾角为 的固定斜面上，圆盘长轴与水平线的夹角为 ，若圆盘处于平衡，圆盘与斜面的静滑动摩擦因数最小为多大,不滑动的条件,解：研究椭圆盘，受力分析,94,2-5 考虑摩擦时物体的平衡,例：重为W长为L的均质梯子靠在光滑的墙壁上(夹角为 ）, 它与地面的静滑动摩擦因数为 f , 梯子上作用一水平力F，BD = a，求维持平衡时的F,解：取梯子为研究对象, 画受力图,95,2-5 考虑摩擦时物体的平衡,维持平衡的条件,求解静滑动摩擦问题应注意： 静滑动摩擦力（大小、方向）由

23、平衡条件（方程）确定。 只有达到临界状态时，静滑动摩擦力的大小才等于支撑力与摩擦因数的乘积,96,2-5 考虑摩擦时物体的平衡,三、滚动摩阻,97,2-5 考虑摩擦时物体的平衡,滚动摩阻系数（mm）（coefficient of rolling resistance,滚动摩阻力偶矩的方向与轮子滚动（趋势）的方向相反,注意：当滚阻力偶未达到最大值时，其大小由平衡方程确定,98,2-5 考虑摩擦时物体的平衡,例： 圆盘为W，半径为R，水平拉力为F，静滑动摩擦因数为f 滚动摩擦阻力系数为 ，求维持平衡时最大拉力Fmax,解：研究圆盘，画受力图,不滑动条件,不滚动条件,99,思考题,思考题1：重为W的

24、滑块在水平推力W的作用下可在粗糙的水平地面上保持平衡，试确定全反力的大小、方向和作用点,100,思考题,思考题2：已知斧头与树根间的静滑动摩擦因数为f，若斧头不被卡住，求斧头的最小楔角,101,思考题,思考题3：刚性弯杆AB由正方体的三个棱构成，杆的两端用球铰链固定在墙壁上，弯杆上作用有两个力偶（如图所示）。若使弯杆平衡，试确定这两个力偶的大小应满足什么关系,思考题4：能否求出球铰链A、B的约束力,102,本章主要内容,基本定义 力矩(对点、对轴）、摩擦角、自锁条件 基本原理和定理 合力矩定理、三力平衡定理、加减平衡力系原理、力的滑移和平移定理 基本方法 力系简化、各种力系的平衡方程、平衡方程

25、的力矩形式（独立条件,103,第三章 刚体系与结构的平衡,104,问题的引出,105,问题的引出,湖南耒阳电厂72mX124m大型煤棚,2000年4月14日12点10分，使用近五年大型煤棚突然发生整体倒塌,106,3-1 刚体系的平衡,一、刚化原理,变形体在某一力系作用下处于平衡，若将变形后的变形体换成刚体（刚化），则平衡状态不变,刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件,107,3-1 刚体系的平衡,二、静定与静不定问题,上面两图中存在多余的约束 未知量的数目大于独立平衡方程的数目,108,3-1 刚体系的平衡,静 定 问 题 ( statically determinate problem):

26、 未知量的数目= 独立平衡方程的数目,静不定问题( statically indeterminate problem): 未知量的数目 独立平衡方程的数目,问题1：对于静不定问题，能否求解出部分未知量 问题2：如何解除多余的约束，使其变为静定问题,109,3-1 刚体系的平衡,工程中的实例,110,3-1 刚体系的平衡,05年9月8日下午2点06分，朝阳区某工地的塔吊在起吊一些预制板构件时，第一根钢绳突然被绷断，紧接着吊臂开始变形，并向西南方向倒下来，但无人员伤亡,111,3-1 刚体系的平衡,三、刚体系的平衡,刚体系平衡 系统中每个刚体平衡,例：已知 F，M ，AB = BC = L ，F

27、作用在BC杆的中点， 求：A、C 处的约束力,112,3-1 刚体系的平衡,方法一: 解：以每个物体为研究对象, 画其受力图,113,3-1 刚体系的平衡,解：1、研究整体（刚化），画受力图,2、研究BC杆，画受力图,3、再研究整体,方法二,114,3-1 刚体系的平衡,例：已知 F，求 AG 杆上的约束力,解：1、研究AG杆， 画受力图,115,3-1 刚体系的平衡,2、研究图示构件，画受力图,求出,3、再研究AG 杆，求出,116,3-1 刚体系的平衡,思考题：人重W，板重P，若人有足够大的力量，可能维持平衡的是,A：图(a) B：图(b) C:图(a)和(b,117,3-2 桁架,一、桁

28、架的结构,桁 架(truss):由杆件构成的几何形状不变的结构,118,3-2 桁架,平面桁架的基本假设 节点抽象为光滑铰链连接 杆件自重不计或平均分配在两端的节点上 外力(载荷或约束力)都作用于节点上,平面桁架: 杆件中心轴线在同一平面的桁架，节点: 轴线的交点,桁架的特点：桁架中的每个杆件均为二力构件或二力杆,119,3-2 桁架,二、平面桁架内力的计算方法,1、节点法（以节点为研究对象计算杆件内力的方法,例: 在图示桁架中,已知水平杆和铅垂杆等长, 求各杆内力,研究节点E 杆1、2的内力,研究节点C 杆3、6的内力,研究节点D 杆4、5的内力,研究节点B杆7内力和B处的约束力,零力杆(z

29、ero-force member): 在桁架中受力为零的杆件,120,3-2 桁架,节点法的特点:1、研究对象为节点（汇交力系） 2、每个节点可以建立两个独立的平衡方程,问题1: 在图示桁架中, 哪些杆件为零力杆,问题2: 在图示桁架中, 杆1的内力如何求,121,3-2 桁架,2、截面法(以部分桁架为研究对象计算杆件内力的方法,例: 求图示桁架中杆1的内力,解: 1、选取截面 2、画受力图 3、建立平衡方程,研究整体,研究部分桁架,122,3-2 桁架,截面法特点: 研究对象为部分桁架,可建立3个独立的平衡方程,思考题：确定图示结构的静定性,未知量个数 = 独立平衡方程的个数,123,3-2

30、 桁架,思考题：试确定图示桁架中的零力杆,124,3-2 桁架,例: 求图示结构中, CB杆上C端的约束力和杆1的内力 已知:M, P, AE=EC=CD=DB=DH=EG=L,解题思路,1、研究销钉G,2、研究结构右半部分,3、研究整体,125,3-2 桁架,解: 1、研究整体,2、研究分离体,3、研究销钉G,126,本章主要内容,基本定义 刚体系、静定与静不定、桁架 基本原理与定理 刚化原理 基本方法 求解刚体系平衡的基本方法 求解桁架内力的基本方法 节点法、截面法,127,第四章 质点系的平衡,128,问题的引出,问题1：系统平衡时两力偶矩的关系如何,129,问题的引出,问题：如何确定力

31、偶矩M和力F的关系,130,问题的引出,131,问题的引出,问题3:长为L，重为W的均质杆AB在图示位置平衡时, 求水平力FA,特点：确定系统平衡时主动力的关系,1）与（2）等价的条件：约束所容许的微小位移,132,问题的引出,问题4:已知各均质杆长为L，重为W，求系统在图示位置平衡时，所需水平力F 的大小,不计摩擦,133,问题的引出,134,4-1 力的功,一、力在曲线路程中的功,元功(elementary work,元功的解析表达式,力F在曲线上由A点到B点所作的功,135,4-1 力的功,二、作用于刚体上力偶的元功,力偶的元功,适用于刚体的任意运动,三、作用于质点系上力系的总元功,设：

32、质点系上作用有力系 ; 是力 作用点的矢径,则作用于质点系上力系的总元功为,136,4-1 力的功,纯滚动(rolling without slipping): 圆盘相对地面无滑动，与地面接触点速度为零,问题: 如何求纯滚动圆盘轮心移动 S 距离时, 力 F 所作的功,圆盘转角与轮心移动距离间的关系,137,4-1 力的功,等效力系作功定理: 若作用于刚体上的力系等效,138,4-1 力的功,四、质点系内力的元功,问题: 判断下列质点系内力元功之和是否为零,结论: 刚体、不可伸长绳索内力的元功之和为零,139,4-1 力的功,五、摩擦力的元功,1.动滑动摩擦力的元功（动滑动摩擦因数为f,2.滚

33、动摩擦力的元功,在固定面上纯滚动时,140,4-2 约束及其分类,一、约束与约束方程,约 束(constraint)：限制物体运动的条件 约束方程(constraint equation)：约束条件的数学表达式,141,4-2 约束及其分类,二、约束的分类,双面约束(bilateral constraint)： 约束方程为等式的约束 单面约束(unilateral constraint)：约束方程为不等式的约束,定常约束(steady constraint)：约束方程中不显含时间t 的约束 非定常约束(unsteady constraint)： 约束方程中显含时间t 的约束,142,4-2 约

34、束及其分类,完整约束(holonomic constraint)： 约束方程中不含速度项的约束 非完整约束(nonholonomic constraint)： 约束方程中含有速度项(不可积)的约束,纯滚动,约束方程,143,4-2 约束及其分类,问题：用什么量描述质点(系)在空间的位置？ 描述其在空间位置的量有多少个,144,4-3 广义坐标与自由度,自由度数（degree of freedom)： 广义坐标的数目 (条件：具有双面、完整约束 的质点系,广义坐标(generalized coordinate)： 确定系统位置的独立参数,自由度：k 确定系统位置的参数数目：N 独立的约束方程数：

35、s,145,4-3 广义坐标与自由度,问题: 确定系统的自由度和广义坐标,146,4-3 广义坐标与自由度,147,微小位移投影定理,定理：刚体在运动过程中，其上任意两点的微小位移 在两点连线上的投影相等,148,虚位移原理,虚位移原理是静力学的普遍原理，它给出了质点系平衡的充分和必要条件。 什么是虚位移 什么是虚功 什么是虚位移原理的适用条件,由 伯 努 利（Bornoulli，1717)提出的 由 拉格朗日（Lagrange，1764)完善的,149,4-4 虚位移与虚功,一、虚位移,1、不同瞬时或位置，虚位移不同 2、必须满足约束条件,虚位移（virtual displacement)：

36、在给定瞬时质点(系)为 约束容许 的 任何 微小位移,虚 位 移 特点,3、是无限小的，不是有限位移 4、虚位移不只有一个或一组,150,4-4 虚位移与虚功,二、虚功,虚功（virtual work)： 作用于质点(系)上的力在虚位移上所作的功,例：若OA杆的虚位移为 ， OAR ，求力F 的虚功,151,4-5 理想约束,理想约束(ideal constraint)： 质点系中所有约束力 在任何虚位移上所作虚功之和为零的约束,5、刚体在固定面上纯滚动(不计滚阻力偶,讨论： 哪些约束是理想约束,1、光滑固定面和可动铰链支座,2、光滑固定铰链和轴承,3、连接物体的光滑铰链,4、二力杆和不可伸长

37、的柔索,152,4-5 理想约束,例题：若斜块A和滑块B之间 （1）：有摩擦； （2）：无摩擦。 则该系统是否是理想约束,1）：有摩擦,是非理想约束,2）：无摩擦,是理想约束,153,4-6 虚位移原理,一、虚位移原理(virtual work principle,虚位移原理：具有双面、完整、 定常、理想约束的静止的质点系， 在给定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零,证明必要性： 平衡, 0,154,4-6 虚位移原理,例：已知 OA=L，求系统在图示位置平衡时，力偶矩M与力F的关系（不计摩擦,基本步骤： 确定系统是否满足原理的应用条件 分析主

38、动力作用点的虚位移 求主动力的虚功之和,155,4-6 虚位移原理,A,156,4-6 虚位移原理,研究OA杆,研究AB 杆和滑块B,平衡方程的求解方法,157,4-6 虚位移原理,例：结构及其受力如图所示，求A端的约束力偶,158,4-6 虚位移原理,例：结构及其受力如图所示，求A端的约束力偶,解,固定端A变成固定铰链 约束力偶变为主动力偶,BC杆的虚位移为平移,159,4-6 虚位移原理,二、虚位移原理的广义坐标形式,例题:已知各长为L，重为W，求维持平衡时所需力F 的大小,160,4-6 虚位移原理,解,161,4-6 虚位移原理,若质点系有k个自由度，力的作用点的坐标可以表示为,如何求

39、,162,4-6 虚位移原理,例如,163,4-6 虚位移原理,其中： 称为对应于 的广义力,例题：套筒A和小球B的重力分别为W1和W2 ， 求系统对应于坐标yA的广义力,164,4-6 虚位移原理,广义坐标形式的虚位移原理：具有双面、定常、完整、理想约束的静止质点系，在给定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所有的广义力均为零,是相互独立的,165,4-6 虚位移原理,例：求系统的平衡位置。若已知,解：方法一,根据 独立性,166,4-6 虚位移原理,解：方法二,167,思考题,质点系由圆盘B和斜块A组成，圆盘与斜块间有足够大的摩擦力使圆盘在斜块上纯滚动，不计滚动摩阻。试分析该系统具有的约束是

40、否为理想约束,168,4-6 虚位移原理,三、变形体的虚位移原理,变形体的虚位移原理：具有双面、定常、完整、理想约束处于静止的质点系，在给定位置处于平衡的充分必要条件是，其所有外力和内力在该位置任意给定的虚位移上所作的虚功之和等于零,外力(external force)：质点系外部的物体作用于质点系上的力 内力(internal force)：质点系内部的作用力,169,4-6 虚位移原理,例：机构如图所示，不计构件自重。 已知 AB = BC = l, 弹簧刚度为k，当 AC = a 时，弹簧无变形。设在滑块上作用一水平力F，求该机构处于平衡时，A和C间的距离（x=,内力虚功,170,4-6 虚位移原理,外力虚功,内力虚功,171,4-7 平衡的稳定性,平衡的稳定性(stability of equilibrium)：质点系处于某一平衡位置，若受到微小干扰偏离平衡位置后总不超出平衡位置邻近的某个微小区域，则称质点系在该位置的平衡是稳定的(stable)，否则是不稳定的(unstable,172,4-7 平衡的稳定性,一、势力场及势能,力