薛震概率统计D5基本极限定理中北大学

1、基本极限定理,第五章,切比雪夫不等式与大数定律,中心极限定理,第五章,切比雪夫不等式与大数定律,第一节,一、切比雪夫不等式,二、大数定律,即,引 言,频率的稳定性,用频率代替概率的科学性,1.背景,2.内容,用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的,一系列定理称为大数定律,3.刻画,定理1,设x的数学期望,方差,则,有,或,注,切比雪夫不等式常用来在e(x)和d(x)已知时,对事,一、切比雪夫不等式,例1,已知我校有1万盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率,均为0.8,且它们开关与否相互独立,试用切比雪夫不等式,估计夜晚同时开灯7800-8200盏之间的概率,解,设x表示夜晚开灯数,则,又因为e(x)

2、=8000,d(x)=1600,则由切比雪夫不,这说明只需供应8200盏灯的电力就能以相当大的概,率保证这1万盏灯的正常使用,等式知,1.切比雪夫大数定律,二、大数定律,定理2,设相互独立的随机变量,具有有,限的期望和方差,若存在常数c使,则,有,即,推论,设相互独立的随机变量,服从相,同的分布,且,则有,注,该结论的实际意义在于,为了减少测量的随机误差,常常用测量的平均值来代替真实值,即,切比雪夫大数定律推论的特殊形式,2.伯努利大数定律,定理3,且,则有,注,该结论的实际意义在于,当试验次数很大时,便可以,用事件发生的频率来代替其概率,3.辛钦大数定律,定理4,注,辛钦大数定律要求同分布但

3、并不要求方差存在,设相互独立的随机变量,服从相同的分布,且,则有,第五章,中心极限定理,第二节,一、独立同分布中心极限定理,二、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,设独立随机变量序列,则当n很大时,和方差都存在,2.内容,3.刻划,的期望,1.背景,若一个量受到大量独立的随机因素综合影响,而每一因素在总影响中所起的作用并不大,则这个量通常,近似服从正态分布,引 言,设相互独立的随机变量,定理1,levy-lindeberg中心极限定理,一、独立同分布的中心极限定理,服从相,同的分布,且,则,有,即,例2,设某食品用机器装袋,每袋净重的期望为100g,标,准差为4g,一箱装100袋,求一箱净重大于10

4、100g的概率,解,同分布,且,而一箱净重,由独立同分布的中心极限定理可知,所以,独立同分布的中心极限定理的特殊形式,二、de moivre-laplace中心极限定理,定理2,且,则有,注,设,当n比较大时,对任意的a b有,的次数,例3,保险公司多年统计资料表明,因被盗理赔的用户占,20,以x表示100个理赔用户中因被盗理赔的个数,试写出,x的概率分布,并利用拉普拉斯中心极限定理,求被盗理赔,用户大于14且不多于30户的概率近似值,解,1,易知,则x的分,2,已知n=100,p=0.2,由拉普拉斯中心极限定理得,布列为,内容小结,1.利用切比雪夫不等式进行近似计算,2.切比雪夫大数定律,3

5、.伯努利大数定律,4.辛钦大数定律,6.独立同分布的中心极限定理,7.德莫夫-拉普拉斯中心极限定理,5.利用中心极限定理进行近似计算,切比雪夫(1821 1894,切比雪夫,俄罗斯数学家,1821年5月,生于俄国卡卢加,1894年12月卒于彼得堡,他出身于贵族家庭,左脚生来有残疾,因而童年时代的他经常独坐家中,养成了,在孤寂中思索的习惯,16岁进莫斯科大学,1841年因方,程根的计算一文获银质奖章,1847年进彼得堡大学,两,年后获博士学位,1859年当选为彼得堡科学院院士,切比雪夫一生发表了70多篇科学论文,论、概率论、函数逼近论、积分学等方面,内容涉及数,辛钦(1894 1959,辛钦,现

6、代概率论的奠,苏联数学家,基者之一,1894年7月生于莫斯科,1959年,11月去世,1916年毕业于莫斯科大学,先,后在莫斯科大学和苏联科学院斯捷克洛,夫数学研究所等处工作,1939年当选为苏联科学院通讯,院士,他还是俄罗斯教育科学院院士,辛钦在函数的度量理论、数论、概率论、信息论等,方面都有重要的研究成果,在分析学、数论及概率论对,统计力学的应用方面也有重要贡献,拉普拉斯(1749 1827,拉普拉斯,法国数学家和天文学家,1749年3月生于博蒙昂诺日,1827年3月卒,于巴黎,他一生在科学上的贡献仅次于牛,顿而居第二,拉普拉斯是天体力学的主要奠基人,是天体演化学的,创立者之一,是分析概率论的创始人,是应用数学的先躯,他发