阅读与思考九连环

1、2.5 等比数列的前n 项和（一）教学目标（一）知识与技能目标等比数列前n 项和公式（二）过程与能力目标1 等比数列前n 项和公式及其获取思路；2 会用等比数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题（三）情感与态度目标1 提高学生的推理能力；2 培养学生应用意识教学重点等比数列前n 项和公式的理解、推导及应用教学难点灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题教学过程一、复习引入：首先回忆一下前两节课所学主要内容：1等比数列 ：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（ q

2、0），即：an=q（ q 0）an 12.等比数列的通项公式:an a1 q n 1 (a1 q 0) ， anam q n m (am q 0)3 an 成等比数列an 1 =q（ nn ,q 0）an数列 an 成等比数列， an04既是等差又是等比数列的数列：非零常数列5等比中项 ：g 为 a 与 b 的等比中 .即 g=ab （ a,b 同号） .6性质 ：若 m+n=p+q ， amana p aq7判断等比数列的方法 ：定 法，中 法，通 公式法8等比数列的增减性：当 q1,a1 0 或 0q1,a1 1, a1 0,或0q0 时 , an 是 减数列 ;当 q=1 时 , an

3、是常数列 ; 当 q0 时 , an 是 数列 ;二、 解新 ：（一）提出 ：关于国 相棋起源 例如：怎 求数列1 ， 2， 4 ， 262， 263 的各 和？即求以 1 首 ， 2 公比的等比数列的前64 的和，可表示 ：s1 2 4 82622632s2 4 8 162632646464由可得： s642641 种求和方法称 “ 位相减法”， “ 位相减法”是研究数列求和的一个重要方法（二）怎 求等比数列前n 的和？公式的推 方法一：一般地， 等比数列a1 , a2 a3 ,an 它的前 n 和是sna1a2a3ansna1a2a3ansna1 a1 q a1 q2a1 qn 2a1qn

4、 1由a1q n 1得a1 q a1 q 2a1q 3a1qn 1a1 q nanqsn(1 q)sna1a1q n当q 1 ， sna1 (1 q n ) 或 sna1an q1 q1q当 q=1 ， snna1公式的推 方法二：由定 ，a2a3anqa2a3ansna1qa1a2an 1由等比的性 ，a2an 1snana1sna1q(1 q) sna1anq （ 同上）即ansn 基本概念，从等比数列的定 出 ，运用等比定理， 出了公式公式的推 方法三：sna1a2a3an a1q( a1a2a3an 1 ) a1qsn 1 a1q( snan )(1q)sna1an q （ 同上）“方

5、程”在代数 程里占有重要的地位，方程思想是 用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之 搭起 梁，使 得到解决（三）等比数列的前n 和公式：当 q 1 ， sna1(1 q n ) 或 sna1an q当 q=1 ， snna11 q1q思考： 什么 候用公式（1 ）、什么 候用公式（2 ）？（当已知 a1, q, n 用公式；当已知a1 , q, an ，用公式 .）三、例 解例 1：求下列等比数列前8 的和（ 1） 1 ， 1 ， 1 ，（ 2 ） a1 27,a91 , q02482438111解：由 a1 = 1 ， q111 , n22255 .8, 得s812422

6、12562例 2 ：某商 第一年 售 算机5000台，如果平均每年的售价比上一年增加10，那么从第一年起， 几年内可使 售量达到30000 台（保留到个位）？解：根据 意，每年 售量比上一年增加的百分率相同，所以从第一年起，每年的 售量 成一个等比数列 an,其中a1=5000,110% 1.1, n30000,5000(1 1.1n )于是得到qs11.130000.整理得 1.1n1.6.两 取 数 ,得 n lg 1.1g1.6用 算器算得 n5 (年 ).答 :约 5 年内可以使 售量达到30000台 .例 3求数列 1 1 , 21 ,3 1 ,4 1 ,. 前 n 的和。24816

7、例 4：求求数列 1,3a,5a 2 ,7a3 ,., (2n1)an 1 的前 n 的和。 ：教材第58 面 第1 三、 堂小 ：1. 等比数列求和公式：当q = 1 ， snna1a1an qa1(1 q n )当 q 1 ， snq或 sn；11 q2 我 从已有的知 出 ，用多种方法（迭加法、运用等比性 、 位相减法、方程法）推 出了等比数列的前n 和公式，并在 用中加深了 公式的 四、 外作 ：1. 教材第5557 ；2、 求等比数列1， 2， 4，从第5 到第 10 的和 .解：由 a1 1,a22得q21 (124 )1 (1210 )s4215 ，s102102311从第 5

8、到第 10 的和 s10 - s4 =10083、一条信息， 若一人得知后用一小 将信息 两个人， 两个人又用一小 各 未知此信息的另外两人，如此 下去，一天 可 遍多少人？解：根据 意可知， 知此信息的人数成首 a1 1, q2 的等比数列则：一天内获知此信息的人数为：s2412242241124、 已知 an 为等比数列，且sn =a， s2 n =b，（ ab0），求 s3n 分析：要求 s3n ，需知 a1 ，q，而已知条件为sn 和 s2n 能否进一步挖掘题目的条件，使已知和未知沟通起来？当 q 1 时 sna1 (1qn ) a1qs2 n a1 (1q 2n ) a1 (1 q

9、n )(1q n ) b1q1q/得1 qnba将代入，得a1a21 q2ab s3n a1 (1q3 n ) a1(1q 3n ) a 21 (b1)3 1q1q2a ba以下再化简即可这样处理问题很巧妙没有分别求得a1 与 q 的值，而改为求qn 与a1的值，这样使问题1q变得简单 但在分析的过程中是否完备？第式就有问题，附加了条件q 1而对 q=1 情况没有考虑使用等比数列前n 项和公式时，要特别注意适用条件，即q=1 时， sn =n a1 ； 当 qa1an q或 sna1 (1 qn )1 时， snq1 q1（含字母已知数的等比数列求和题目，学生常忽略 q=1 情况，要引起足够重

10、视，以培养学生思维的严密性）解法 1：设等比数列 an 的公比为 q若 q=1 （此时数列为常数列） ，则n， s2n2na1=b，s=n a1 =a从而有 2a=b s3n3na1 3a （或 s3n3na1 3a3b ）2若 q 1（即 2a b），由已知sna1 (1 qn ) as2na1 (1 q 2n ) b1q1q又 ab 0, /得1 q nb , qnb 1aa将代入，得a1a21 q2ab s3n a1 (1q3 n ) a1(1q 3n ) a 21 (b1)3 1q1 q2abaa2abb2a解法 2：由 sn ， s2 n sn ， s3 n s2n 成等比数列（ 中 此 ），即 a,b-a,s3n b 成等比，所以 a( s3 n b)=( b-a) 2从而有s3n a2abb2（包含了 q=1 的情况）a四、 ：an 是等比数列， sn 是其前 n 和，数列 sk , s2ksk , s3 ks2 k（ k n）是否仍成等比数列？解： an, 首 是 a1 ，公比 q,当 q= 1 且 k 偶数 ， sk , s2ksk ,s3ks2 k 不是等比数列 .此 ， sks2 ksks3ks2k=0.例如：数列 1, 1,1, 1,是公比 1 的等比数列， s2s4 s2s6s