收敛数列的性质和函数极限的性质课件

1、第二节 极限的基本性质,第二章,一、收敛数列的性质,唯一性 有界性 保号性、保序性,4. 收敛数列与其子列的关系,二、函数极限的性质,唯一性 局部有界性 局部保号性 函数极限与数列极限的关系,第二章,一、收敛数列的性质,1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性,即若,则必有,若极限,则极限唯一,用反证法,及,且,取,因,N1 N,使当 n N1 时,假设,即当 n N1 时,证法1,同理, 因,故 N2 N,使当 n N2 时, 有,从而,使当 n N2 时, 有,则当 n N 时,矛盾,故假设不真,例1 证明数列,是发散的,证 用反证法,假设数列,收敛,则有唯一极限 a 存在,对于

2、,则存在 N,使当 n N 时 , 有,因此该数列发散,于是推得,矛盾,区间长度为1,这与,2. 有界性,例如,有界,无界,即若,使,n =1,2,定理2.2 (收敛数列的有界性,收敛的数列必定有界,证 设,取,则,当,时,从而有,取,则有,即收敛数列必有界,有,注,有界性是数列收敛的必要条件,但不是充分条件,收敛 有界,关系,例如,虽有界，但不收敛,数列,推论 无界数列必发散,3. 保号性、保序性,定理2.3 (收敛数列的保号性,1) 若,则,使当n N 时,2) 若,则 a 0,恒有,且,对 a 0,取,证 (1,2) 用反证法证明,注,如,推论2.3 (保序性,使当n N 时，恒有,2)

3、 若,时, 有,证 ( 用反证法,取,因,故存在 N1,使当 n N1 时,假设,从而,当 n N1 时,从而,同理, 因,故存在 N2,使当 n N2 时, 有,则当 n N 时,便有,与已知矛盾, 于是定理得证,当 n N1 时,4. 收敛数列与其子数列的关系,1) 子数列的概念,称为数列 xn 的一个子数列(或子列,例如, 从数列,中抽出所有的偶数项,是其子数列. 它的第k 项是,组成的数列,2) 收敛数列与其子数列的关系,定理2.4,也收敛，且,证 设,的任一子数列,若,则,当,时, 有,取正整数 K , 使,于是当,时, 有,从而有,注,定理,1 某,收敛,例如,但,发散,2 若数列

4、有两个子数列收敛于不同的极限,则原数列一定发散,例如,发散,二、函数极限的性质,1. 唯一性 定理2.1 ( 函数极限的唯一性,2. 局部有界性,如,2) 若,则 X 0,函数 f (x) 有界,3. 局部保号性定理2.3 (函数极限的局部保号性,1) 如果,且 A 0,则存在,A 0,2) 如果,且存在,A 0,则,A 0,据此，可由极限符号推得函数在该点邻域内的符号,据此，可由函数在该点邻域内的符号推得极限符号,1) 如果存在 X 0,或 0,时, 恒有,f (x) g(x,或,推论2.3,函数极限的局部保序性,时, 恒有,问题,若,f (x) g(x,能否推出,例如,设,当x 0 时, 有 f (x) g (x,但是,不能,内容小结,1. 收敛数列的性质,唯一性 , 有界性 , 保号性, 保序性,任一子数列收敛于同一极限,2. 函数极限的性质,唯一性 , 局部有界性 , 局部保号性, 局部保序性,思考与练习,1. 如何判断极限不存在,方法1. 找一个