高中数学《导数的概念-曲线的切线》教案1新人教A版选修1-1

1、课题： 3 1 导数的概念（一）曲线的切线教学目的：1. 了解曲线的切线的概念2. 掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法3. 并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程教学重点：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义. 光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景教学难点：会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.授课类型：新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：. 导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分 . 微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题 . 导数的思想最初是法国数学家费马(fermat) 为解

2、决极大、 极小问题而引入的. 但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿(newton)和德国数学家莱布尼兹 (leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作 . 但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执. 其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分. 方法类似但在用语、 符号、算式和量的产生方式稍有差异. 牛顿在 1687 年以前没有公开发表， 莱布尼兹在1684 年和 1686 年分别发表了微分学和积分学. 所以，就发明时间而言，牛顿最于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿.

3、关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论. 而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的.而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析的主流教学过程：y一、复习引入：圆与圆锥曲线的切线定义: 与曲线只有一个切线公共点并且位于曲线一边的直线叫切线二、讲解新课：ox曲线的切线如图，设曲线c 是函数 yf ( x) 的图象，点p( x0 , y0 ) 是曲线 c上一点作割线pq当点 q 沿着曲线 c 无限地趋近于点 p，割线 pq无限地趋近于某一极限位置pt 我们就把极限位置上的直线 pt，叫做曲线 c 在点 p 处的 切线用心爱心专心1yy=f(x)qypxmox2

4、. 确定曲线 c 在点 p( x0 , y0 ) 处的切线斜率的方法：因为曲线 c 是给定的， 根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线pq的倾斜角为，切线 pt 的倾斜角为，既然割线pq 的极限位置上的直线pt 是切线，所以割线pq 斜率的极限就是切线pq的斜率 tan, 即tan= limylimf ( x0x)f ( x)x0xx0x我们可以从运动的角度来得到切线，所以可y以用极限来定义切线，以及切线的斜率. 那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它y=x 2+1y=2x在某一点处的切线了 .三、讲解范例：例 1 曲线的方程为y=x2+1，那么求此曲线

5、在p(1,2)点 p(1 ， 2) 处的切线的斜率，以及切线的方程.f (x0x)f ( x0 )ox解： k= limx0xlimf (1x)f (1)lim(1x) 2 1(121)x0xx0xlim(x)22xlim (x2)2x0xx0切线的斜率为 2.切线的方程为 y 2=2( x 1)，即 y=2x.3x+1 在点 (1 ，4) 处的切线方程 .例 2 求曲线 f ( x)= x +2f (x0x)f ( x0 )f (1x) f (1)解 : k= limxlimxx0x 0lim(1x)32(1x)1(132 11)yx0xy=5x-1y=x3 +2x+1lim5x3( x)2

6、(x)3p(1,4)lim5 3 x ( x)2 x0xx 0ox用心爱心专心2切线的方程为y 4=5( x 1) ，即 y=5x 1例 3 求曲线 f ( x)= 1 x3 x2+5 在 x=1 处的切线的倾斜角.3分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k=tan ，求出倾斜角 .解： tan = limf ( x0x)f ( x0 )limf (1x)f (1)x0xx0x1 (1x) 3(1x)25(115)lim3x3x 01 (x)3x1lim3xlim(x)2 11x 0x03 0， ) ， = 3 .4切线的倾斜角为3 .4例 4 求曲线 y=sin x 在点 (

7、, 1) 处的切线方程 .62f (x)f ()sin(x)sin解： k= lim6x6lim6x6x 0x01 cos x3 sinx11 cosx13 lim sinxlim222limx 0xx 0 2x2x 0x2sin 2x1 limsin 2xx)1 limx23x2 (32 x 022x 0222()21 1 033222切线方程是 y13 ( x6) ，22即 y3 x312122用心爱心专心3例 5y=x3 在点 p处的切线斜率为3，求点 p 的坐标 .3)解：设点 p 的坐标 ( x0， x0斜率 3= limf ( x0x)f ( x0 )( x0x)3x0 3xlim

8、xx0x0lim3x02x3x0 (x)2( x)3lim3 x023x0 x( x)2 3x02x0xx 02 3x0=3， x0= 1 p 点的坐标是 (1 ， 1) 或( 1， 1)四、课堂练习：1已知曲线 y=2x2 上一点 a(1 ，2) ，求 (1)点 a 处的切线的斜率 .(2)点 a 处的切线方程 .解： (1) k= limf (1x)f (1)lim 2(1x)22 12x0xx 0xlim 4x2( x)2lim (4 2x)4x0xx0点 a 处的切线的斜率为4.(2) 点 a 处的切线方程是 y 2=4( x 1) 即 y=4x 2 2. 求曲线 y=x2+1 在点 p( 2， 5) 处的切线方程 .解： k= limf (2x)f (2)lim (2 x)21 ( 2)21x 0xx 0x4x(x)2lim (4x)4limxx 0x 0切线方程是y 5= 4(x+2) ，即y= 4 3.x点评：求切线的斜率与方程，主要转化为求极限，要从切线的斜率的定义出发五、小结 ：这节课主要学