高中数学一轮复习第5讲空间中的垂直关系

1、第5讲空间中的垂直关系随堂演练巩固1. 直线 l 不垂直于平面则内与 l 垂直的直线有 ( )a.0 条b.1 条c. 无数条d.内所有直线【答案】 c【解析】可以有无数条 .2. 设 m、 n是两条不同的直线是三个不同的平面, 给出下列四个命题 , 其中正确命题的序号是 ()若mn 则m n; 若 m则m; 若 n 则 ;mm n若则 .a. 和b. 和c. 和d. 和【答案】 a3. pa垂直于正方形 abcd所在平面 , 连接 pb, pc, pd,ac, bd, 则下列垂直关系正确的是 ( )平面 pab平面 pbc 平面 pab平面 pad 平面 pab平面 pcd 平面 pab平面

2、 paca. b. c. d. 【答案】 a【解析】易证bc平面, 则平面pab平面,pabpbc又 ad bc, 故 ad平面 pab, 则平面 pad平面 pab,因此选 a.4. 如图 , 三棱锥 p- abc中 pa平面 abcbac90, pa=ab, 则直线 pb与平面 abc所成的角是( )a.90b.60c.45d.30【答案】 c【解析】pa平面 abc, pb在平面 abc上的射影是 ab. pba 是直线 pb与平面 abc所成的角 .又在 pab中bap90, pa=ab, pba 45 .直线 与平面所成的角是 45 .pbabc课后作业夯基1. 设 、是两个不同的平

3、面, l 是一条直线 , 以下命题正确的是 ()a. 若 l则 lb. 若 l则 lc. 若 l 则 ld. 若 l 则 l【答案】 b或 l【解析】对于选项 a、 c, 可能 l 所以 a、c均不正确 . 对于选项 d, 可能 l 所以 d不正确 .用心爱心专心12. 命题 (1)”直线 l垂直于平面内的无数条直线 , 则 l”, 命题 (2) ”若 l则直线 l 垂直于平面内的无数条直线” , 则 ( )a.(1)是真命题 ,(2)是真命题b.(1)是真命题 ,(2)是假命题c.(1)是假命题 ,(2)是真命题d.(1)是假命题 ,(2)是假命题【答案】 c斜交 ; 反之若 l【解析】直线

4、 l 垂直于平面内的无数条直线 , 则 l 有可能与则直线 l 垂直于平面内的无数条直线 .”是” m”的3. 已知表示两个不同的平面, m为平面内的一条直线, 则”( )a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】 bm则【解析】由平面与平面垂直的判定定理知, 如果 m为平面内的一条直线反过来则不一定 , 所以”是” m”的必要不充分条件 .4. 如图 , 已知六棱锥 -的底面是正六边形pa平面, =2, 则下列结论正确的是p abcdefabcpa ab()a. pbadb. 平面pab平面 pbcc. 直线平面paebcd. 直线 d与平面所成

5、的角为 45pabc【答案】 d【解析】与 在平面内的射影不垂直 , a不成立 ; 又平面pab平面, 平面pabadpbabcabpae平面 pbc也不成立 ; bc ad, bc平面 pad.直线 bc平面 pae也不成立 .在 rt 中 ,= =2 , pda 45. d正确 .padpa ad ab5. 一直线和平面所成的角为3则这条直线和平面内的直线所成角的取值范围是()a. (0)b. 32 3c. d. 333【答案】 b【解析】 由最小角定理 ,知这条直线和平面内的直线所成角中最小角为3最大角是当斜线与平面 内的一条直线垂直时所成的角, 它为 .6. 已知 a(-1,2,7),

6、b(-3,-10,-9),2()则线段中点关于原点对称的点的坐标是ab用心爱心专心2a.(4,8,2)b.(4,2,8)c.(4,2,1)d.(2,4,1)【答案】 d【解析】线段的中点 m的坐标是(1 32 10 79) 即 m(-2,-4,-1),ab222 m关于原点对称的点为 (2,4,1).7. 正 方 体 abcd- a1 b1c1d1 中 ,m 、 n分 别 是 棱 aa1 和 ab上 的 点 , 若b1mn 是 直 角 , 则c1 mn.【答案】 90【解析】在正方体中c1 b1平面 abb1 a1而 mn 平面 abb1 a1 c1b1 mn .又b1mn 是直角 , 即 m

7、nmb1而 mb1 c1 b1 b1 mn 平面 mb1c1 . mnmc1 即c1mn90 .8. 、是两个不同的平面, m、n是平面及之外的两条不同直线, 给出四个论断 : mn ; n; m. 以其中三个论断作为条件, 余下一个论断作为结论 , 写出你认为正确的一个命题为.【答案】 ( 或 )【解析】根据线面、面面垂直的定义、判定定理和性质可知,正确的有或.9. 球 与正方体-a1b1c1 d1各面都相切是球 上一动点与平面所成的角为则oabcd, po, apabcd最大时 , 其正切值为.【答案】 2 2【解析】过正方体的对角面acc1 a1 作截面 , 如图所示 ,m、 n为切点

8、, 当 ap与平面 abcd所成的角最大时, ap为圆 o的切线 .设正方体的棱长为2,则 om 1 am2 tan oam2tantan 2 oam2tanoam2 2 .21 tan2oam10. 设 、 、 为彼此不重合的三个平面 , l 为直线 , 给出下列命题 :若则;若且l 则 l;若直线 l 与平面内的无数条直线垂直, 则直线 l 与平面垂直 ;若内存在不共线的三点到的距离相等 , 则平面平行于平面.上面命题中 , 真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)【答案】用心爱心专心3【解析】由题可知中无数条直线不能认定为任意一条直线, 所以错 , 中的不共线的三点有可能是在平面的两侧

9、, 所以两个平面可能相交也可能平行,故填 .11. 如图所示 , 在长方体-2 e 是侧棱 bb1 的中点 .abcda1b1c1 d1 中 ab bc 1 aa1(1) 求证 : a1 e平面 ade;(2) 求三棱锥 a1- ade的体积 .【解】 (1) 证明 : 由勾股定理知 :a1e1 12 ae 1 12则 a1a2a1e 2ae 2 a1e ae . ad 平面 aa1 b1 b a1e 平面 aa1b1b a1e ad .而 adaea a1e平面 ade.(2) s aa1e1221211 1 1=1 . va adevd a aes aa ead11313312.(2012

10、山 东 临沂 沂 水 ) 在 直 平 行 六面 体 ac1中 ,四 边 形 abcd是 菱 形 ，dab60acbdo abaa1 .(1) 求证 : c1o 平面 ab1d1 ;(2) 求证 : 平面 ab1 d1 平面 acc1 a1 .【证明】 (1) 连接 a1c1 交 b1d1 于 o1 连接 ao1 .用心爱心专心4在平行四边形aac c 中 c o ao c oao111111四边形 aoc1o1 为平行四边形 . c1o ao1 . c1o 平面 ab1d1 ao1 平面 ab1d1 c1o 平面 ab1d1 .(2) 在直平行六面体 ac1 中 a1 a 平面 a1 b1c1

11、d1 a1a b1 d1 .四边形a1 b1c1d1 为菱形 , b1 d1a1c1 . acaaa ac平面 acc aaa平面 acc a11111111111 b1d1平面 acc1 a1 . b1d1 平面 ab1d1平面 ab1d1平面 acc1 a1 .13. 如 图 , 在 四 棱 锥-中 , 是 等 边 三 角 形 , 侧 面a d e底 面,e abcdadeabcdabdc, bd=2dc=4, ad=3, ab=5.(1) 若 f是ec上任一点 , 求证 : 平面 bdf平面 ade;(2) 求三棱锥 c- bde的体积 .【解】 (1) 证明 : 在 abd中 , bd

12、=4, ad=3, ab=5, ab2 ad 2 bd 2 . bd ad .又平面 ade平面 abcd,平面 ade平面 abcd=ad, bd平面 ade. bd 平面 bdf,平面bdf平面.ade为等边三角形得 eh ad(2) 取的中点 h, 连接 h, 由adeade平面ade平面, eh平面.abcdabcd vc -bdeve -bcd1 s bcdeh .3用心爱心专心5又在ade中eh33在中,边上的高为3412255 .abdab s bcds梯形 abcds abd1(25)1213412 .2525 vc -bde1123363.3525三棱锥 c- bde的体积为

13、 6 3 .5拓展延伸14. 如图 , 在棱长为 2的正方体 abcd- a1b1c1 d1 中 , e、 f分别为 dd1 、 db的中点 .(1) 求证 : ef平面 abc1d1 ;(2) 求证 : ef b1c ;(3) 求三棱锥 b1- efc的体积 .【解】 (1) 证明 : 连接 bd1 在 dd1 b 中, e、 f分别为 d1 d 、db的中点 , 则 ef d1b .又 ef 平面 abc1 d1 d1 b 平面 abc1d1 ef平面 abc1 d1 .(2) 证明 : 由题易得 b1c ab b1c bc1 ab bc1 b b1c 平面 abc1 d1 . 又 bd1 平面 abc1d1 b1c bd1 .又 ef bd1 ef b1c .(3) cfbd cf