论证券市场监管中信息披露制度的完善

1、常微分方程平衡点及稳定性研究 长春理工大学本科毕业论文 摘 要 本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型 N?t?r?t?

2、N?t?.1?N?t? 1?cNt?的平衡点?1的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。 关键词：自治系统 平衡点 稳定性 全局吸引性 Abstract In this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are ob

3、tained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So

4、we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to

5、its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium ?1 of the following delay single population model N?t?r?t?N?t?.1?N?t? 1?cNt?is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the li

6、terature. Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity I 长春理工大学本科毕业论文 目 录 摘 要 .I Abstract .I 目 录 . II 第1章 引言 . 1 第2章 微分方程平衡点及稳定性分析 . 3 2.1 平衡点及稳定性定义 . 3 2.2 自治系统零解的稳定性 . 4 2.2.1 V函数 . 4 2.2.2 Liapunov稳定性定理 . 5 2.3 非自治系统的稳定性 . 8 2.3.1

7、 V函数和k类函数 . 8 2.3.2 零解的稳定性 . 10 2.4 判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法 . 14 2.4.1 相关定义 . 14 2.4.2 判定平衡点稳定性的方法 . 14 2.5 判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法 . 15 2.5.1 相关定义 . 15 2.5.2 判定平衡点稳定性的方法 . 15 第3章 一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性 . 17 3.1 差分方程(3-7)的全局渐近稳定性 . 17 3.2 微分方程(3-1)的全局吸引性 . 19 第4章 常微分方程稳定性的一个应用 . 23 第5章 结论 . 25 参考文献 . 27 致谢 . 29 II 长

8、春理工大学本科毕业论文 第1章 引言 20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学（如物理 化学 生物 天文）和社会科学（如工程 经济 军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型，通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。稳定性模型不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。 20世纪5060年代，

9、在美国贝尔曼(RBellman)、莱夫谢茨(SLefschetz)及拉萨尔(JPLaSalle)等的大力介绍和推动下，稳定理论在世界范围内迅速发展起来。在中国，则在秦元勋、张学铭、许淞庆等的大力提倡下，形成一支可观的研究队伍。 叶鲁金等研究李雅普诺夫第1方法中一次近似系统特征数与稳定性保持问题的关系，并进一步探讨特征数的性质与计算等。50年代马尔金提出特征数的稳定性问题，贝洛夫等则研究了最大、最小特征数的上、下稳定性和特征数的重合等问题。 对于李雅普诺夫第2方法，切塔也夫等研究李雅普诺夫稳定性条件。提出了一致稳定性等概念，建立了著名的切塔也夫不稳定定理。同时研究了李雅普诺夫稳定性条件的必要性。

10、通过分类并应用微分方程的解构造V函数，基本上解决了各种稳定性定理的逆问题。 关于稳定性定理条件的研究，除了个别条件的削弱，例如定号性的减弱等条件之外，最有名的是向量李雅普诺夫函数和微分不等式比较方法的引入。60年代贝尔曼和马特洛索夫通过向量V函数将微分方程稳定性的研究转化为以V函数为自变量的另一微分方程的正解的稳定性的研究。 李雅普诺夫定义的稳定性原是局部性质的概念，在实际应用中往往要考虑全相空间的情形。50年代初巴尔巴辛和克拉索夫斯基引进了无限大函数的概念把李雅普诺夫定理推广到全空间，建立了全局稳定性理论。其结果后来广泛应用于自动调节系统、电力系统和生态系统中。 早在60年代，拉萨尔便应用拓

11、朴动力系统的极限集概念建立了“不变性原理”。用李雅普诺夫函数刻划微分方程解的极限集位置。70年代以来，不变性原理用于全局稳定性的各种研究。从力学问题中还提出了部分变元稳定性概念。通过对V函数条件的改进也得到了部分变元稳定性的有关定理。 1 长春理工大学本科毕业论文 70年代以来，稳定性理论得到了进一步的发展。除了5060年代发展起来的控制系统的绝对稳定性、临界情形稳定性、向量李雅普诺夫函数和比较方法等继续得到发展外，在科学技术发展的推动下还提出了若干新的问题和方法。同时，稳定性理论与方法，已广泛地渗透到其他学科中去。 李雅普诺夫方法已不限于研究稳定性问题，也可应用于研究解的有界性、振动性等。吉

12、泽太郎(TYoshizawa)曾深入研究概周期微分方程的稳定性、有界性。同时，利用李雅普诺夫函数研究周期解、概周期解的存在性。 李雅普诺夫稳定性理论与方法已渗透到各类学科中去。对动力系统、泛函微分方程、随机微分方程、微分积分方程、含脉冲系统及偏微分方程建立了相应的稳定性理论。李雅普诺夫特征数在浑沌(Chaos)和分形(Fractals)研究中也起着重要作用。今后，稳定性理论将继续在新技术的应用中发挥作用，并在控制理论、偏微分方程、微分积分方程等学科中得到发展。同时，动力系统理论、非线性科学的发展和电子计算机的应用将为稳定性理论的发展开拓新的方向。 2 长春理工大学本科毕业论文 第2章 微分方程

13、平衡点及稳定性分析 2.1 平衡点及稳定性定义 初始值的微小变化对不同系统的影响不同。例如初始值问题 dx?ax x(0)?x0 t?0，x0?0 (2-1) dt 的解为x(t)?x0eat.x?0是(2-1)的一个解，我们称它为零解。当a?0时，无论x0多小，只要x0?0，当t?时，总有x(t)?，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大；而当a?0时，x(t)?x0eat与零解的误差不会超过初始误差x0，且随着t的增加很快就会消失，所以当x0很小时，x(t)与零解的误差也很小。这个例子表明a?0时(2-1)的零解是“不稳定的”，而当a?0时(2-1)的零解是“稳定”的。下面我们就给出微分方

14、程零解稳定的严格定义。 设微分方程 dx?f(t,x)，x(t0)?x0，x?Rn (2-2) dt 满足解的存在惟一性定理的条件，其解x(t)?x(t,t0,x0)的存在区间是(?,?)，f(t,x)还满足条件 f(t,0)?0 (2-3) (2-3)保证x(t)?0是(2-2)的解，我们称它为零解。 定义2.1 若对任意给定的?0，都能找到?(?,t0)，使得当x0?时(2-2)的解x(t,t0,x0)满足 x(t,t0,x0)?，t?t0 (2-4) 则称(2-2)的零解是稳定的，否则称(2-2)的零解是不稳定的。 注1 (2-2)零解稳定的意义是对任意给定的半径?，总能在Rn中找到一个

15、以原点为中心、半径为?的开球B?，使得(2-2)在t?t0时刻从B?出发的解曲线当t?t0时总停留在半径为?的开球B?内。 注2 (2-2)的零解不稳定的数学描述是至少存在一个?0?0，使得对任意的?0，在开球B?内至少有一个点x0和一个时刻t1?t0，使得x(t,t0,x0)? 注3 对(2-2)的任何一个解都可以定义稳定性。事实上，若x(t)?x(t,t0,x)是(2-2)的一个解，为了考察其他解x(t)?x(t,t0,x0)和它的接近程度，我们就可以令y(t)?x(t)?x(t)，带入(2-2)得 _0 3 长春理工大学本科毕业论文 _dy(t)?f(t,y(t)?x(t)?f(t,x(

16、t) (2-5) dt 这样一来，(2-2)解x(t)的稳定性就转化为(2-2)零解的稳定性。所以在本文的讨论中，我们仅研究(2-2)零解的稳定性。 定义2.2 设U是Rn中包含原点的一个开区域，对所有x0?U和任意给定的_?0，总能找到一个T?T(?,t0,x0)，使得当t?t0?T时，有x(t,t0,x0)?成立，我们就称U是(2-2)零解的一个吸引域，这时称(2-2)的零解是吸引的。 U是(2-2)零解的一个吸引域，更简单的描述是对所有x0?U，均有t?limxt(t,0x,0?)0.即从U中出发的解趋于0。 定义2.3 若(2-2)的解释稳定的，又是吸引的，则称(2-2)的零解是渐近稳

17、定的；如果(2-2)的零解的吸引域是整个Rn，则称(2-2)的零解是全局渐近稳定的。 定义2.4 若定义2.1中的?与t0无关，则称(2-2)的零解是一致稳定的；若定义2.2中的T与t0和x0无关，则称(2-2)的零解是一致吸引的；若(2-2)的零解是一致稳定和一致吸引的，则称(2-2)的零解是一致渐近稳定的。 定义2.5 若有正数?，对任意给定的?0，有?0，使得当x0?时有 x(t,t0,x0)?e?(t?t0) 则称(2-2)的零解是指数渐近稳定的。 2.2 自治系统零解的稳定性 前面给出了微分方程稳定性的概念，并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程

18、解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的，无法求出其解析解，这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性，Liapunov直接方法就是解决这一问题的有效途径。这一节中我们先引入V函数的定义，然后再给出Liapunov稳定性定理。 2.2.1 V函数 设函数V(x)在Rn中原点的某邻域U中有定义，V(x)在U中连续可微，且满足V(0)?0。 定义2.6 若除原点外对所有x?U均有V(x)?0(V(x)?0)，则称V(x)为正定函数(负定函数)；若对所有x?U均有V(x)?0(V(x)?0)，则称V(x)为半正定函数或常正函数(半负定函数或常负函数)；若U中原点的任一邻

19、域内V(x) 既可取正值，也可取负值，则称V(x)为变号函数。 222例如，V(x)?x12?x2是R3中的正定函数，V(x)?x12?x2是R3中的半正?x3 4 长春理工大学本科毕业论文 2定函数，而V(x)?x12?x2是R3中的变号函数。 由定义2.6看出，V(x)正定时必是半正定的。另外正定和半正定与空间的维 2数和邻域U的大小有关。例如V(x)?x12?x2是R2中的正定函数，而它在R3中仅 24是半正定的。利用化为极坐标的方法可以看出，函数V(x)?x12?x2在R2?x14?x2 22?中是正定函数，而在x12?x2中的区域x12?x2?2中却不是正定函数。 最常用的V函数是二

20、次型V(x)?x?Ax，因为二次型的表达式简单，其符号类型可以利用线性代数中有关A的特征值理论来判定，且一些复杂的V函数往往可以通过对二次型的修改得到。 一般V函数的符号判断十分困难，通常是把V(x)在原点展开为Taylor级数 V(x)?Vm(x)?Vm?1(x)? 其中Vm(x)，Vm?1(x)分别是x的m次、m?1次齐次函数，根据V(x)展开式中的最低次项，在许多情况下就可以确定V(x)在原点邻域内的符号。 对正定函数V(x)，容易证明当c?0充分小时，V(x)?c是Rn中包围原点的闭曲面，且随着c趋于零，V(x)?c缩向坐标原点。事实上，由正定函数的定义可知，在U内的闭曲面x?上，V(

21、x)有正的下界?，当0?c?时，在连接原点与x?任一点的任一条连续曲线的线段上至少有一点x0，使V(x0)?c，所以V(x)?c是包围原点的闭曲面。 2.2.2 Liapunov稳定性定理 设n维自治微分方程 dx?f(x),f(0)?0 (2-6) dt 的解为x(x1(t),x2(t),xn(t)?。为了研究(2-6)解的稳定性，考察随时间变化时 n?V(x)?Vdxn?fk(x)?V(x) (2-7) ?xndtk?1?xkV(x(t)的变化情况。将V(x(t)视为t的复合函数，关于t求导得 dV(x(t)?Vdx1?Vdx2?dt?x1dt?x2dt (2-7)为函数V(x)沿着(2-

22、7)轨线的全导数。 定理2.1 若有原点的邻域U和一个正定(负定)函数V(x)，使得V(x)是半负定(半正定)的，则系统(2-6)的零解是稳定的；且使得V(x)负定(正定)时， (2-6)的零解是渐近稳定的。 定理2.1的几何意义是函数V(x)正定时，V(x)?c是包围原点的闭曲面族，且随着c的减少而缩向原点。当全导数V(x)半负定时，在t?t0时过x0的轨线x?x(t)上，V(x(t)的值不会增加，(2-6)的轨线只能停留在V(x)?V(x0)内，所 5 ? 长春理工大学本科毕业论文 以原点是稳定的。当V(x)负定时，原点邻域内(2-6)的轨线不断跑向闭曲面族V(x)?c中更小的一个闭曲面，

23、最终趋于原点，所以(2-6)的零解是渐近稳定的。?该几何意义也正是我们证明定理2.1的基本思想。 证 设V(x)正定，对任意给定的?0(不妨假设闭球B?x,x?在U中)，取 m?V(x)?0， x? 则当l?m时，V(x)?l的点x必全部位于原点的?邻域内。由V(x)的连续性知，必有?0，使得当x?时V(x)?l。由于V(x)?0，当x0?时，对一切t?t0有，所以V(x(t)?V(x)?l，当t?t0时，x(t)?。这就说明了V(x)半负定时，(2-6)的零解时稳定的。 当V(x)负定时，(2-6)的零解稳定，只要limx(t)?0，即可证明(2-6)的零解t?0? 渐近稳定。利用反证法，设

24、(2-6)的零解不是渐近稳定的，则至少有一个从上述原点的?邻域内某点出发的解x(t)，使得limx(t)?0。由于V(x)负定，故V(x(t)t? _?_单调下降，从而由V的正定性知必有limV(x(t)?V?0，且t?t0时V(x(t)?V*。* t?_ 由V(x)的连续性知，必存在0?，使得t?t0时x(t)?。 又由于V(x)是负定的，必有?0，在区域?x?内，V(x)?0，由(2-7)式得 dV(x(t)?， t?t0 (2-8) dt_? 对(2-8)式两边积分得 V(x(t)?V(x)?(t?t0) (2-9) (2-9)表明limV(x(t)?，这与V(x(t)?V*?0矛盾。故

25、(2-6)的零解是渐近稳定t?_0 的。 d2xdx?x?02dtdt例2.1 讨论系统零解的稳定性 解 令x2?dx1 dt，将该方程化为等价的微分方程组 6 长春理工大学本科毕业论文 ?dx1?x2?dt (2-10) ?dx?2?x?x12?dt 2令V?x1,x2?3x12?2x1x2?2x2，显然V?x1,x2?是正定函数，容易求得V?x1,x2?沿 2(2-10)轨线的全导数为V?x1,x2?2?x12?x2?，它是负定函数，由定理2.1知该系? 统的零解是渐近稳定的。 ?1222应当注意，如果取V?x1,x2?x1?x2?，那么，所求得的V?x1,x2?x2， 2 V?x1,x2

26、?是半负定的，由定理2.1只能得到(2-10)的零解稳定这一结论，得不到渐近稳定性。这表明构造适当的V函数是非常重要的。当一个系统的零解事实上是渐近稳定时，我们有可能构造出V函数用定理2.1来证明零解是渐近稳定的。也可能所构造出V函数仅能证明零解是稳定的，也可能构造不出V函数，连零解的稳定性也无法得到。 例2.1也提示我们在证明零解渐近稳定时，V?x?负定这一条件有可能再补充其他条件后削弱为半负定，这就是下面的定理2.2，它降低了V?x?负定这一条件，给出了判定渐近稳定性的又一结果。 定理2.2 设在原点的邻域U内存在正定函数1，它沿着(2-6)轨线的全导数?V?x?是半负定的，如果集合 M?

27、x|V?x?0 ? 内除原点x?0外，不在包含系统的其他轨线，则(2-6)的零解是渐近稳定的。 证 由定理2.1知，在定理2.2的条件下(2-6)的零解是稳定的。于是对给定的?0?0(不妨假设B?x|x?0?含在U内)，可以找到? 0，使得x0?时，(2-6)满足x(t0)?x的解x(t)?x(t,t0,x)；当t?t0时满x(t)?0，且由V?0易见V?x?t?是t的单调非增有界函数，故V?x?t?必有极限，令 t?00?limV?x?t?V*?0 x由于x?t,t0,x ?0故它的?极限?的正半轨有界，非空，若?x?，则Vx?V*， 0x?0Vx?0.这表明x?M，从而有?0 x?M。由于

28、?x是由(2-6)的整条轨线组成，? 而在M中除x?0外不再包含(2-6)的其他轨线，故有?0 x?0?。于是有 7 长春理工大学本科毕业论文 t?limx?t,t0,x0?0。零解的渐近稳定性得证。 例2.2 讨论非线性振动系统 dx1?x2?dt (2-11) ?dx?2?f?x?g?x?12?dt 零解的渐近稳定性。其中f?x?和g?x?都是连续函数，且满足下列条件 (1) f?0?0,x1f?x1?0?x1?0?， (2) g?0?0,x2g?x2?0?x2?0? 解 选取V(x1,x2)?x112x2?f?x1?dx1，由条件(1)知，V(x1,x2)是正定函数。02 计算V(x1,

29、x2)沿着(2-11)的轨线的全导数得V(x1,x2)?x2g?x2?.由(2)知V(x1,x2)是半负定的。又因为集合 M?x1,x2?|V(x1,x2)?0?x1,x2?|x2?0? ? 由(2-11)可见x2?0时，满足方程组的解必有x1?0，从而集合M内除(0,0)外不再包含(2-11)的其他轨线，所以(2-11)的零解是渐近稳定的。 2.3 非自治系统的稳定性 这一节研究非自治系统 dx?f?t,x?,f?t,0?0 (2-12) dt 零解的稳定性问题，将建立与上一节类似的定理。 2.3.1 V函数和k类函数 设I=?t0,?)，U是Rn中包含闭球Bh?x|x?h?的一个邻域，V?

30、t,x?是I?U上定义的连续可微函数，W(x)是U上定义的连续可微函数。 定义2.7 若有正定(负定)函数W(x)，使得 V(t,x)?W(x)?V?t,x?W(x)? 在I?U上成立，且V?t,0?0，则称V?t,x?是I?U上的正定(负定)函数。若V?t,x?0?V?t,x?0?，则称V?t,x?是半正定函数(半负定函数)。 注:分析定理2.1的证明过程，不难发现，正定(负定)函数下述性质是证明的关键所在，即x?时， V?x?l?0 (x?时V?x?l?0)。对于V?t,x?而言，若仅要求V?t,0?0， V?t,x?0?x?0?，则上述性质不一定能保持。 2例如V?t,x1,x2?e?t

31、?x12?x2这就是为什么要通过V?x?的正定性来定义V?t,x?。 8 长春理工大学本科毕业论文 正定的原因。 2 例如V?t,x1,x2?1?e?t?x12?x2?是I?R2的正定函数，而2 V?t,x1,x2?e?t?x12?x2?仅是半正定函数。 定义2.8 若W?x?是Rn的正定函数，且W(x)?，则称W?x?是Rn上 x? 的无穷大正定函数。 定义2.9 若有正定函数W1?x?，使得?t,x?W1?x?，则称V?t,x?具有无穷小上界；若有无穷大正定函数W2?x?，使得V?t,x?W2?x?，则称V?t,x?具有无穷大下界。 2 例如对V?t,x1,x2?1?e?t?x12?x2?

32、，可以取W1?x1,x2?1?e?t?x12?x22?， 2 W1?x1,x2?1?e?t?x12?x2?，所以有W2?x1,x?2? ,x?V,t12x?，2x即W1,?1x V?t,x1,x2?是具有无穷小上界和无穷大下界的函数。 函数V?t,x?具有无穷小上界的特征是当V?t,x?l?0时，必有正数?，使得 x?，即x充分小时， V?t,x?可以充分小。当V?t,x?V?x?时，这就等价于V?0?0，V?x?连续。由此不难理解引入无穷小上界的原因。而V?t,x?具有无穷大下界的特征是当x充分大时，V?t,x?可以任意大。 定义2.10 设?r?是R?R?的连续函数?R?r|r?0?，且?

33、0?0，?r?严格单调递增，则称?r?是k类函数，记为?r?K。若?r?还满足 lim?r?，则称?r?为无穷大k类函数。 r? k类函数与正定函数、有无穷小上界的函数和有无穷大下界函数之间有着十 分密切的关系。 引理2.1 (1) W?x?是正定函数的充分必要条件是有?1?r?，?2?r?K，使得 ?1?x?W?x?2?x? (2-13) (2) 若有?1?r?K，使得V?t,x?1?x?，则V?t,x?必是正定函数，反之亦真； (3) 若有?2?r?K，使得?t,x?2?x?，则V?t,x?具有无穷小下界，反之亦真； (4)若有无穷大k类函数?r?，使得V?t,x?x?，则V?t,x?是具

34、有无穷大下界的函数，反之亦真。 证 由于引理2.1的(2)(4)又可以从定义和引理2.1的(1)直接推出，故在此 9 长春理工大学本科毕业论文 仅证明(1)。 若有?1?r?，?2?r?K，使得(2-13)成立，则显然有W?0?0和W?x?0?x?0?，故W?x?为正定函数，充分性得证。反过来，若W?x?是正定函数，则可以定义函数?1?r?rW?x?，由W?x?的正定性和连续性知，?1?r?hr?xh 连续，?1?0?0，且r?0时，?1?r?0.又当0?x?h时， ?1?当0?r1?r2时， xx?W?y?W?y?W?x? x?y?hhx?y?h ?1?r1?r1rrW?x?1W?x?2W?

35、x?1(r)r1?x?hhr2?x?hhr2?x?hh 这表明?1(r)是严格单调递增的函数，且满足?1?x?W?x?.同理可定义 ?2(r)?W?x?r. x?r 按前面类似的过程可以验证?2(r)是满足?2?x?W?x?的k类函数。所以(2-13)式成立，必要性得证。 2.3.2 零解的稳定性 设V(t,x)是I?U上定义的连续可微函数，x(t)?x(t,t0,x0)是(2-12)的解。定义V(t,x)沿着(2-12)解的全导数为 ?dV(t,x)?V(t,x)n?V(t,x)?fk(t,x)?V(t,x) dt?t?xk?1k 利用前面给出的一些定义，可以得到下面关于零解稳定性的定理。

36、定理2.5 (1) 若有正定函数V(t,x)，使得V(t,x)半负定，则(2-12)的零解稳定； (2) 若V(t,x)正定且有无穷小上界，V(t,x)半负定，则(2-12)的零解一致渐近稳定。 证 定理2.5证明思路是利用k类函数的性质:当?(r)?(?)时必定有r?.其证明过程就是利用k类函数的这些性质对任意给出的?寻找满足相应稳定性定义的?，而给出?时要反复利用引理3.1中V函数与k类函数的关系。 (1) 由于V(t,x)是正定函数，由引理2.1得，有k类函数?1(r)，使得 .?0(?h)，?1(?)?0，由V(t0,0)?0及V(t,x)的连续性知，V(t,x)?1x) 必有?(t0

37、,?)?0，使得当x?时，V(t0,x)?1(?).由于V(t,x)?0，故当0?0? 10 长春理工大学本科毕业论文 t?t0时有 ?(x(t,t0,x0)?V(t,x(t,t0,x0)?V(t0,x0)?1(?) 由k类函数的单调性知，x(t,t0,x0)?.所以，(2-12)的零解是稳定的。 (2) 当V(t,x)是具有无穷小上界的正定函数时，由引理2.1知，必有k类函数?1(r)和?2(r)，使?1(x)?V(t,x)?2(x) ?0，取?2(?1(?)?0，当x?10?时，由V(t,x)?0得 ? ?1(x(t,t0,x0)?V(t,x(t,t0,x0)?V(t0,x0) ?2(x0

38、)?2(?) ?2?1(?1(?)?1(?) 由k类函数的单调性知，x(t,t0,x0)?.故(2-12)的零解是一致稳定的。 (3)当V(t,x)正定，且有无穷小上界，V(t,x)负定时，由(2)知，(2-12)的零解一致稳定，下面仅证明(2-12)的零解一致吸引。由引理2.1知，必有k类函数?1(r)，?2(r)和?3(r)，使得 ?1(x)?V(t,x)?2(x) (2-14) V(t,x)?3(x) 对任意给定的?0(?有x(t,t0,x)?0?)，? 0，使得当x0?时，对一切t?t0?2()dv.取T?2?.由于?，故?1?1(?)?(?32(v)0?1(?)?2(?)?2()，且

39、当?1(?)?v?2()时， ?3(?2?1(v)?0，所以T是一个有限正数。由于 dVt,x?t,t0,x0? dt?V?t,x?t,t,x?0 ?3x?t,t0,x0? ? ?1?3?2Vt,x?t,t0,x0? ?1对上式两边积分得 ? 即 V(t,x(t,t0,x0)dvV(t0,x0)?3(?2(v) V(t0,x0)?(t?t0) (t?t0)?dv V(t,x(t,t0,x0)?3(?2?1(v) (2-15) 11 长春理工大学本科毕业论文 再由?3(?2?1(v)的非负性和(2-14)，(2-15)得 (t?t0)? ?2(x0) dv ?1(x(t,t0,x0) ?3(?2

40、(v) ?1 (2-16） 所以当x0?，t?t0?T时，由(2-16)得 2? ?2(h) dv ?1(?) ?3(?2(v) ?1 ? ?1 ?2()dv ?1(x(t,t0,x0) ?3(?2(v) dv ?1 ?1 (2-17) ? ?1(?) dv ?1(x(t,t0,x0) ?3(?2(v) dv ?1 ? ?2() ?1(?) ?3(?2(v) dv ?1 ? ?1(?) 1(x(t,t0,x) ?3(?2(v) ? ?2() ?1(?) ?3(?2(v) ?0 由v?0得?3(?2?1(v)?0，再由上式得 ?1(?)?1(x(t,t0,x0)， 最后由?1(r)的单调性知，x

41、(t,t0,x0)?。x0?是(2-13)零解的一致吸引域，故(2-13)的零解是一致渐近稳定的。 例2.3 讨论方程 dx1? ?x2 ?dt (2-18) ? dx?2?x?2?sint?x 21 ?dt 零解的稳定性。 2x2 解 取V?t,x1,x2?x? 2?sint 21 2 V?t,x1,x2?沿(2-18)解的全导数为V?t,x1,x2?x2 ? 4?2sint?cost ?2?sint? 2 ?0。 x22 因为x?V?t,x1,x2?x12?x2，所以，V?t,x1,x2?是具有无限小上界的正定函 3 21 数，V?t,x1,x2?半负定，由定理2.5知，(2-18)的零解

42、是一致稳定的。 例2.4 讨论 ?dx1 ?x1?e?2tx2 ?dt (2-19) ? ?dx2?x?x 12 ?dt ? 零解的稳定性。 ?2t2 解 取V?t,x1,x2?x12?1?e?2t?x2，显然有x12?x22?V?t,x1,x2?x12?1?e0x22。所 ? 12 长春理工大学本科毕业论文 以V?t,x1,x2?是具有无限小上界的正定函数，又因为 2?2t2?V?t,x1,x2?2?x?xx?1?2ex?1122? 2?2?x12?x1x2?x2? 2?x12?x2?x1?x2?2? 即V?t,x1,x2?是负定的，所以由定理2.5知，(2-19)的零解是一致渐近稳定的。

43、?dx?-2x(x-1)(2x-1)?dt例2.5 讨论系统?的平衡点及其稳定性 dy?-2y?dt? 1(0,0),P(1,0),P(,0)。 解:根据定义平衡点为P1232? 1.间接法:用Mathematica数学软件的Dsolve求解功能解出系统的两组解为 : ?x1(t)? 1?-2t? y1(t)?C2e ?e2t-4ec1-e?x2(t)? 2(e2t-4ec1)?-2ty(t)?Ce?22 再用Mathematica数学软件的Limit求极限讨论系统解的变化趋势，可以得出，当t?时，系统的解x1(t)?0,y1(t)?0,x2(t)?1,y2(t)?0，所以 1P(,0)为系统

44、的不稳定的平衡点 为系统的稳定的平衡点，P(0,0)P,(1,0)3122 2.直接法:根据上面的讨论，研究系统在平衡点处的线性近似方程，有: 在点P1(0,0)处，系统的线性近似方程的系数矩阵为: ?-20?A1?,p?4,q?4 ?0-2? 故P1(0,0)是系统的稳定的平衡点； 在点P2(1,0)处，系统的线性近似方程的系数矩阵为: ?-20?A2?,p?4,q?4 0-2? 故P2(1,0)是系统的稳定的平衡点； 1在点P3(,0)处，系统的线性近似方程的系数矩阵为: 2 13 长春理工大学本科毕业论文 ?10?A3?,p?1,q?2 ?0-2? 1故P3(,0)是系统的不稳定的平衡点。 2 2.4 判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法 2.4.1 相关定义 定义2.11 右端不显含自变量的微分方程称为自治方程（自治系统） 在这里我们仅讨论右端不显含自变量的一阶微分方程形如 x(t)?f(x) (2-20) ? 定义2.12 代数方程f(x)?0的实根x?x0称为微分方程(2-20)的平衡点。 定义2.13 从x0某邻域的任意值出发，使方程(2-20)中的解x(t)满足limx(t)?x0，则称x0是渐近稳定的，否则是不稳定的。 t? 2.4.2 判定平衡点稳定性的方法 1.间接法: