画法几何 第三章 点直线平面的投影

1、第三章,点、直线、平面的投影,吉林建筑工程学院,3-1,点的投影,3-2,直线的投影,3-4,两直线的相对位置,3-5,平面的投影,3-3,一般位置直线的,实长及其与投影面的倾角,Y,a,b,a,b,a,b,3-1,点的投影,一、点的三面投影（立体图,点是构成立体的最小几何元素,a,点,A,的水平投影,a,点,A,的正面投影,a,点,A,的侧面投影,O,Y,X,Z,W,V,H,a,a,A,a,Y,a,Z,a,X,a,展开,Y,H,W,O,X,Z,V,H,Y,W,a,a,a,a,X,a,Z,a,Y,一、点的三面投影（投影图,点的三面投影特性,1,点的正面投影和水平投影连线必垂直于,OX,轴，即,

2、aa,OX,轴,展开后点的三面投影,a,X,a,Y,a,Z,a,Y,a,a,a,Y,H,Y,W,O,X,Z,2,点的正面投影和侧面投影连线必垂直于,OZ,轴，即,aa,OZ,轴,3,点的水平投影到,OX,轴的距离等于该点的侧面投影到,OZ,轴的距离，即,aa,X,aa,Z,a,Y,Y,H,Y,W,O,X,Z,V,W,H,a,a,X,a,Z,a,a,a,Y,一、点的三面投影,b,b,b,Y,H,Y,W,O,X,Z,例,3,1,已知点,B,的两面投影，求第三面投影,45,b,b,X,Z,Y,H,Y,W,O,b,方法一,利用,45,辅助线,方法二,利用特性,3,bb,X,b,b,Z,b,X,b,Z,

3、O,Y,X,Z,W,V,H,A,X,Y,Z,a,a,a,a,y,a,x,a,Z,二、点的投影与直角坐标的关系,把三面投影体系看成是直角坐标系，则点,A,的空间位置可由它到三个投影面的,距离，也就是它的三个,坐标,来确定。记为,A,X,Y,Z,三个投影的坐标分别为,a,x,y,a,x,z,a,y,z,坐标值单位为,mm,如下图,X,Y,Z,立体图,X,Y,Z,X,A,A,W,aa,Y,a,a,Z,投影与坐标的关系,Y,A,A V,aa,x,a,a,z,Z,A,A H,a,a,X,a,a,Y,a,Z,投影图,a,a,X,a,a,Y,a,Y,a,Y,H,Y,W,O,X,Z,x,y,x,z,y,z,二

4、、点的投影与直角坐标的关系,立体图,投影图,例,3,2,空间点的坐标,A,10,5,20,B,20,0,5,C,0,10,0,，求作三点的立体图和三面投影图,O,Y,X,Z,W,V,H,a,a,a,A(10,5,20,b,b,b,B(20,0,5,c,c,c,C(0,10,0,a,a,a,投影面上的点,投影轴上的点,空间一般点,Y,W,Y,H,O,X,Z,b,b,b,c,c,c,三、两点的相对位置和重影点,1,点与点的,相对位置,指空间点之间的,左右、前后、上下,的位置关系,上,下,左,右,左,右,前,后,上,下,前,后,H,投影反映左右、前后关系,V,投影反映左右、上下关系,W,投影反映前后

5、、上下关系,见右图,A,点在,S,点之左、后、下方,B,点在,A,点之右、前方,B,点在,S,点之前、下方,C,点在,A,点的正右方,A,点与,C,点的相,对位置如何,O,Y,X,Z,W,V,H,三、两点的相对位置和重影点,请分析下图中,A,B,C,D,的相对位置，并标出重影点的投影,Y,Y,W,X,Z,A,B,为,H,面重影点,a,在上,b,在下，记,为,a(b,A,C,为,V,面重影点,a,在前,c,在后，记为,a,c,A,B,为,W,面重影点,a,在左,b,在右，记,为,a,b,c,d,投影图,H,O,Y,W,A,a,c,a,b,C,B,b,a,d,c,b,c,D,d,d,a(b,c,a

6、,b,a,b,d,c,d,a,b,c,d,a,b,c,d,a,b,c,d,X,Z,Y,3-2,直线的投影,A,B,C,D,O,Y,H,Y,W,X,Z,a,a,a,b,b,b,c,d,c,c,d,d,立体图,投影图,立体上的直线,请分析,AB,BC,CD,这三段直,线的,空间位置,和,投,影特点,有何不同,展开,直线的投影,一、直线的分类,直,线,一般位置直线,特殊位置直线,与三个投影面都倾斜的直线,简称,一般线,投影面平行线,投影面垂直线,仅平行于一个投影面的直线,垂直于一个投影面的直线,H,水平线,V,正平线,W,侧平线,H,铅垂线,V,正垂线,W,侧垂线,a,b,c,d,a,b,c,d,a

7、,b,c,d,X,Z,Y,A,B,C,D,一般线,侧平线,侧垂线,立体表面上何种位置直线,1,投影面的平行线,立体上的投影面平行线,O,Y,X,Z,W,V,H,A,B,C,a,b,c,a,b,c,正平线,AB,V,面,水平线,BC,H,面,侧平线,AC,W,面,a,b,c,它们的投影,有何特性,二、直线的投影特性,水平线投影特性,1,直线的水平投影反映直线的实长，且反映,角的实形,2,直线的,V,投影,a,b,平行,OX,轴,W,投影,a,b,平,行,OY,W,轴,均小于实长,投影面平行线的,投影,Z,a,a,b,a,屢,O,X,Y,W,Y,H,O,Y,X,Z,W,V,H,a,b,a,b,a,

8、b,水平线,b,O,Y,X,Z,W,V,H,a b,a,b,b,a,正平线,正平行投影特性,1,直线的正面投影反映直线的实长，且反映,角的实形,2,直线的,H,投影,ab,平行,ox,轴,W,投影,a,b,平,行,oz,轴,均小于实长,a,b,a,A,B,a,b,b,O,Y,X,Z,W,V,H,e,e,f,f,e,f,e,f,侧平线,f,侧平行投影特性,1,a,b,侧平面投影反映直线的实长，且反映,角的实形,2,直线的,V,H,投影,ef,e,f,都垂直,ox,轴，均小于实,长,E,F,e,e,f,2,投影面的垂直线,O,Y,X,Z,W,V,H,A,B,C,D,a(b,a,b,a,b,c,c,

9、c,d,d,d,立体上的投影面垂直线,铅垂线,AB,H,面,正垂线,AC,V,面,侧垂线,AD,W,面,它们的投影有,何特性,投影面垂直线的,投影,立,体,图,三,视,图,投,影,图,投,影,特,性,正,垂,线,铅,垂,线,侧,垂,线,1,ab,2,ab/OY,ab/OY,积聚成一点,并反映实长,H,W,1,ac,2,ac/OZ,ac/OZ,积聚成一点,并反映实长,1,ad,2,ad/OX,ad/OX,积聚成一点,并反映实长,投影面垂直线的两面,投影图,c,d,c,d,a(b,a,b,e f,e,f,铅垂线,正垂线,侧垂线,投影特性,1,在所垂直的投影面上的投影积聚为一点（积聚性,2,另外两面

10、投影同时平行于同一投影轴，且反映实长,显实性,3,一般位置直线,Y,a,b,a,b,a,b,O,Y,X,Z,b,a,b,a,a,b,立体上的一般,位置直线,一般线的投影和倾角,直线与,H,面的倾角,直线与,V,面的倾角,直线与,W,面的倾角,a,b,b,a,a,b,X,Z,Y,H,Y,W,O,Y,a,b,a,b,a,b,O,一般位置直线的,投影,投影特性,1,三面投影均倾斜于投影轴,2,投影长度都小于实长,3,倾角的投影都不反映实形,从直观图中分,析,投影长、实长,倾角,之间有何联系,三、直线上的点,Y,a,b,a,b,a,b,O,C,c,c,c,a,b,b,a,a,b,X,Z,Y,H,Y,W

11、,O,投影特性,1,点的投影必在直线的同面投影上,从属性,2,点分直线所成的比例投影后保持不变,定比性,如下图,AC/CB=ac/cb=ac/cb=ac/c,c,c,c,例,3,3,点,K,在侧平线,AB,上,已知点,K,的正面投影,k,求,k,教材,21,页,已知,作图一,a,b,a,b,X,O,k,a,b,a,b,X,O,k,a,b,a,b,X,O,k,作图二,k,作图步骤,作图一：根据,定比性,ak/kb=ak/kb,在,H,面投影上用定比法作出,作图二：先补出直线的侧面投影,再根据从属性，利用线上定点的方法求出,k,k,a,b,任意位置,平行,例,3,4,已知点,K,在水平线,MN,上

12、,点,K,到,V,面的距离为,15mm,求点,K,的,两面投影,教材,21,页,m,n,m,n,m,n,m,n,已知,作图,1,5,k,k,作图步骤,在,H,面上作与,OX,轴相距为,15mm,的平行线,该平行线与,mn,的交点为,k,自,k,向上引投影线,在直线的正面投影,m,n,上求出,k,Z,AB,3-3,一般位置直线的实长及其与投影面的倾角,O,X,Z,AB,ab,a,b,Y,AB,A,B,a,b,a,b,B,1,A,1,b,a,a,b,b,Z,AB,实长,Y,AB,ab,实长,Z,AB,b,a,a,b,例,3,5,已知,AB=35mm,及,a,和,ab,求,a,b,Z,AB,Y,AB

13、,a,a,例,3,6,已知,AB=35mm,30,45,及,A,点的投影，求,AB,的水平投影,ab,和正投影,a,b,Z,AB,a,b,b,b,3-4,两直线的相对位置,平行,相交,交错,一般相交,垂直,相交,一般交错,垂直,交错,立体表面相对位置不同的直线,A,B,C,D,E,F,G,H,L,平行,BF,与,LH,垂直交错,BC,与,GE,相交,AB,与,AC,两直线的,相对位置,O,X,一、两直线平行,a,b,a,b,C,D,c,d,c,d,A,a,b,c,Y,H,Y,W,X,Z,O,a,a,b,b,c,c,d,d,d,判别方法：若两条直线同面投影平行，则这两条直线就,平行,如果,AB,

14、CD,则,ab,cd,a,b,c,d,a,b,c,d,例,1,判断图中两条直线是否平行,对于,一般位置,直线,只要有两,个同面投影互相,平行，空间两直,线就平行,AB,CD,a,b,c,d,c,a,b,d,X,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于,侧平线,只,有两个同,面,投影互,相平行，空间直线,不一定平行,AB,与,CD,不平行,例,2,判断图中两条直线是否平行,X,Z,o,Y,H,Y,W,必须求出两直线的,侧投影，看是否平行,a,b,c,d,b,a,c,d,k,k,X,二、两直线相交,判别方法,1,若空间两直线相交，则其同面投影必相交,2,交点的,V,投影与,H,投影连线

15、必垂直,ox,轴,H,V,A,B,C,D,K,a,b,c,d,k,a,b,c,k,d,X,交点是两直线,的,共有点,交点连线垂,直,OX,轴,三、两直线交错,O,X,a,b,a,b,c,d,c,3,4,d,C,D,A,4,3,1,2,1,2,b,a,c,d,b,a,c,d,H,面重影点,投影特性,1,既不平行，又不相交,2,同面投影有时相交，但投影的交点连线不垂直投影,轴,1,2,1,2,3,4,3,4,V,面重影点,a,b,a,b,c,d,c,d,例,3,6,判断下图中直线,AB,CD,是否相交,同面投影,相交,交点的投影连,线垂直于,OX,轴,结论,AB,与,CD,相交,判断方法,将两直线

16、的同,面投影延长后，检,查是否相交,例,3,7,判断下图中直线,AB,CD,是否相交,a,a,b,b,c,d,c,d,a,a,b,b,c,d,c,d,方法一：补,W,投影,方法二：定比法,a,c,d,b,结论,AB,与,CD,不相交,例,3,8,作一水平线,MN,与,H,面相距,15mm,并与,AB,CD,相交,15mm,a,b,c,d,m,n,a,m,d,c,b,n,四、两直线垂直,O,X,a,b,a,b,c,c,C,A,B,O,X,a,b,a,b,c,c,C,A,B,1,垂直两直线,同时平行,于某,投影面时，它们在该投影面的投,影,反映直角实形,2,垂直两直线中有,一条直线,平行,于某投影

17、面时，它们在该投,影面的投影,也反映直角实形,问题：空间两直线垂直，其投影是否还垂直,两直线垂直,垂直两直线中有,一条直线平,行,于水平面，它们在该投影面的,投影,也反映直角实形,a,b,a,b,c,c,O,X,a,b,a,b,c,c,C,A,B,证明：BCAB,BCBb(BC是水平线,BC平面,Abba,又,BC,bc,bc平面,Abba,bcab,垂直两直线中有,一条直线平行,于某投影面时，它,们在该投影面的投影,反映直角实形,a,与水平线垂直相交,b,与水平线垂直交错,c,与正平线垂直相交,d,与正平线垂直交错,a,c,a,b,b,c,a,b,a,c,a,b,b,c,d,d,c,a,b,

18、b,c,a,c,d,d,a,b,b,c,a,c,d,直角投影定理,练习,判断下图中两直线,AB,与,CD,的相对位置。（习题集,19,页,d,a,b,c,a,b,c,1,d,a,b,c,a,b,c,d,2,a,b,c,d,a,b,c,3,垂直相交,垂直相交,相交,不垂直,练习,判断下图中两直线,AB,与,CD,的相对位置。（习题集,19,页,a,b,c,a,b,c,4,d,d,c,a,b,c,a,b,5,6,a,a,b,c,d,b,c,d,垂直交错,相交,不垂直,垂直相交,作图练习,1,求点,M,到直线,AB,的距离,a,b,m,m,b,a,n,n,距离的投影,2,求两直线,AB,CD,之间的

19、距离,a,b,a,n,m,b,c,C (d,d,m,n,距离的实长,3-5,平面的投影,一,平面的表示法,不在同一,直线上的,三个点,直线及线,外一点,两平行,直线,平面,图形,两相交,直线,一般位置平面,特殊位置平面,与三个投影面都倾斜的平面,简称,一般面,投影面平行面,投影面垂直面,平行于一个投影面的平面,仅,垂直于一个投影面的平面,H,水平面,V,正平面,W,侧平面,H,铅垂面,V,正垂面,W,侧垂面,二、平面的分类,根据平面对于三投影面的位置不同可分为,两大类,三、平面的投影特性,1,水平面,O,Y,Z,p,p,p,P,Y,H,Y,W,O,X,Z,p,p,p,投影特性,1,水平投影,p

20、,反映实形,2,正投影,p,积聚成直线，且平行于,OX,轴；侧投影,p,积聚成直线,且平行于,OY,W,轴,2,正平面,Y,Z,p,p,p,P,Y,H,Y,W,O,X,Z,p,p,p,投影特性,1,正面投影,p,反映实形,2,水平投影,p,积聚成直线，且平行于,OX,轴；侧投影,p,积聚成直线,且平行于,OZ,轴,3,侧平面,Y,Z,p,p,p,P,投影特性,1,侧面投影,p,反映实形,2,水平投影,p,积聚成直线，且垂直于,OX,轴；正投影,p,积聚成直线,且平行于,OZ,轴,Y,H,Y,W,O,X,Z,p,p,p,例题,1,已知等边,ABC,H面,求ABC的三面投影,习题集,22,页,3,

21、28,题,a,b,a,b,c,c,解题,1,作,ab,的垂直平分线,2,截取,bc=ab,得,c,点,3,连接,ac,4,正垂面,Y,Z,Y,H,Y,W,O,X,Z,p,p,p,P,投影特性,1,正投影,p,积聚成直线，并反映平面的倾角,和,2,水平投影,p,和侧投影,p,不反映实形，为变小的类似形,Y,Z,5,铅垂面,Y,H,Y,W,O,X,Z,投影特性,1,水平投影,p,积聚成直线，并反映平面的倾角,和,2,正投影,p,和侧投影,p,不反映实形，为变小的类似形,p,p,p,P,p,p,p,6,侧垂面,Y,Z,投影特性,1,侧投影,p,积聚成直线，并反映平面的倾角,和,2,水平投影,p,和正投影,p,不反映实形，为变小的类似形,Y,H,Y,W,O,X,Z,p,p,p,P,p,p,p,例题,1,已知正方