算法初步课件

1、1.1算法与程序框图,1.1.1算法的概念,先去括号,再乘除,后加减,1,什么是算法呢,要把大象装冰箱，分几步,答：分三步,第一步：打开冰箱门,第二步：把大象装冰箱,第三步：关上冰箱门,问,简单地说，算法就是解决问题的程序或步骤,什么是算法呢,第一步,第二步,第三步,消元,解一元一次方程,2，得,解得,代入求解,将 代入,得,写一写,写出解第二个方程组的算法,第一步,第二步,第三步,解，得,将代入得,变一变,在数学上，通常是按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤,算法的定义,例1,1)设计一个算法,判断7是否为质数,2)设计一个算法,判断35是否为质数,算法,探究,你能写出”判断整数n(n

2、2) 是否为质数”的算法吗,第一步,给定大于2的整数n,第二步,令i=2,算法的基本特点,1、有穷性,一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束,2、确定性,算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯一确定的，既不能含糊其词，也不能有二义性,3、逻辑性,算法中从开始的“第一步”到“最后一步”之间做到 环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续,算法1,第二步：计算10150,第三步：写出运算结果,算法2,第一步：取n=100,第二步：计算,第三步：写出运算结果,写出求1+2+3+ +100的一个算法,1+100)+(2+99)+ +(50+51

3、,第一步：将原式变形为,你会了吗,2.任意给定一个正实数,设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积,第一步:输入任意一个正实数r0,第二步:计算圆的面积: S=r2,第三步:输出圆的面积S,1.1.2程序框图,程序框图,程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形,在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序,例 用程序框图表示“判断整数n（n2）是否为质数”的算法,设n是一个大于2的整数,一般用i=i+1表示,i=i+1,说明:i表示从2(n-1)的所有正整数,用以判断例1步骤2是否终止,i是一个

4、计数变量,有了这个变量,算法才能依次执行.逐步考察从2(n-1)的所有正整数中是否有n的因数存在,画程序框图的规则,1）使用标准的图形符号,2）框图一般按从上到下，从左到右的方向画,3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号,4）判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且又且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果,5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚,算法的基本逻辑结构,顺序结构,用程序框图来表示算法，有三种不同的基本逻辑结构,条件结构,循环结构,三种基本结构（表示一个良好算法的基本单元,顺序结构,条件结构（选

5、择结构,循环结构,While（当型）循环,Until（直到型）循环,顺序结构,顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的。这是任何一个算法都离不开的基本结构,例1 已知一个三角形的三边边长分别为a、b、c，利用 海伦-秦九韶公式设计一个算法，求出它的面积，画出 它的程序框图,程序框图,习题1 设计一算法：输入圆的半径,输出圆的面积，并画出流程图,算法分析,第一步：输入圆的半径,第二步：利用公式“圆的面积=圆周率（半径的平方）”计算圆的面积,第三步：输出圆的面积,思考：整个程序框图有什么特点,条件结构（选择结构,算法的流程根据条件是否成立有不同的流向。条件结构就是处理这种过程的结构,例2 任意给定3

6、个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在.画出这个算法的程序框图,解：算法如下。 S1 输入x S2 若x为奇数，则输出A=3x+2；否则输出A=5x S3 算法结束,习题2 设x为一个正整数，规定如下运算：若x为奇数，则求3x+2；若x为偶数，则为5x，写出算法，并画出程序框图,循环结构,在一些算法中，从否处开始，按照一定条件，反复执行 某一处理步骤的情况，这就是循环结构。反复执行的处 理步骤称为循环体,在循环结构中，通常都有一个起到循环计数作用的变量， 这个变量的取值一般都含在执行或中止循环体的条件中,例3 设计一个计算1+2+3+100的值的算法，并画出程序框

7、图,算法分析： 需要一个累加变量和一个计数变量，将累加变量的初始值 设为0，计数变量的值可以从1到100,1.2,基本算法语句,第一章 算法初步,探究新知】 我们知道，顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构,输入、输出语句和赋值语句基本上对应于算法中的顺序结构,计算机从上而下按照语句排列的顺序执行这些语句,输入语句和输出语句分别用来实现算法的输入信息,输出结果的功能,如右图,输入语句和输出语句分别用来实现算法的输入信息，输出结果的功能,例1 用描点法作函数yx33x224x30的图象时,需要求出自变量和函数的一组对应值.编写程序,分别计算当 x5，4，3，2，1，0，1，2，3，4，5 时的

8、函数值,INPUT “x=”;x y=x3+3*x2-24*x+30 PRINT x PRINT y END,程序,输入语句,赋值语句,打印语句,打印语句,表示结束,输出语句,输出语句,一.输入语句,INPUT “提示内容”；变量,输入语句的一般格式,说明: (1)输入语句的作用是实现算法的输入信息功能； (2)“提示内容”提示用户输入什么样的信息， 变量是指程序在运行时其值是可以变化的量； (3)输入语句要求输入的值只能是具体的常数， 不能是函数、变量或表达式； (4)提示内容与变量之间用分号“；”隔开， 若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开,例如,输入一个学生数学,语文,英语三门

9、课的成绩, 可以写成,INPUT “数学，语文，英语”；a，b，c,注意: INPUT语句不但可以给单个变量赋值,还可以给多个变量赋值,其格式为,INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，”；变量1，变量2，变量3,练一练:请你用输入语句表达课本P5和P9页程序框图中输入框中的内容,P7页,INPUT “n=”; n,P9页,INPUT a, b, c,二.输出语句,PRINT “提示内容”；表达式,说明: (1)“提示内容”提示用户输出什么样的信息,表 达式是指程序要输出的数据,输出常量，变量的值和字符串等系统信息。 输出数值计算的结果,2)输出语句的用途,输出语句的一般格式,3)同

10、输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容,思考:在课本P7页图1.1-2程序框图中的输出框的内容怎样用输出语句来表达,参考答案： 输出框： PRINT “n is a prime number .” PRINT “n is not a prime number.,PRINT “S=”; S,三.赋值语句,1)赋值语句的一般格式,变量表达式,2)赋值语句的作用是:先计算出赋值号右边表达 式的值,然后把这个值赋给左边的变量,使该变量的 值等于表达式的值。 (3)赋值语句中的“”称作赋值号,与数学中的等 号的意义是不同的.赋值号的左右两边不能对换. (4)赋值语句左边只能是变量名字而不是表达式, 如

11、:2=x是错误的;右边表达式可以是一个数据、 常量或算式；不能利用赋值语句进行代数式的 演算。（如化简、因式分解、解方程等） （5）对于一个变量可以多次赋值,例题解析】 例2：编写程序，计算一个学生数学、语文、 英语三门课的平均成绩,分析：先写出算法，画出程序框图，再进行编程,结束,程序框图,INPUT “Maths,Chinese,English”；a,b,c y=(a+b+c)/3 PRINT “y=”；y END,程序,例3：给一个变量重复赋值,程序,A=10 A=A+15 PRINT A END,A的输出值是多少,分析:此程序给变量A赋了两次值.A的初值为10,第二次赋值后,初值被“覆

12、盖”,A的值变为25,因此输出值是25,变式引申:在此程序的基础上，设计一个程序， 要求最后A的输出值是30,A=10 A=A+15 PRINT A A=A+5 PRINT A END,程序,例3：给一个变量重复赋值,程序,A=10 A=A+15 PRINT A END,例4交换两个变量A和B的值,并输出交换前后 的值,分析：引入一个中间变量X,将A的值赋予X,又将B 的值赋予A，再将X的值赋予B，从而达到交换A， B的值.（比如交换装满水的两个水桶里的水需要 再找一个空桶,INPUT A INPUT B PRINT A，B X=A A=B B=X PRINT A，B END,程序,不能,练习

13、1:编写一个程序,要求输入一个圆的半径, 便能输出该圆的周长和面积.（ 取3.14,分析:设圆的半径为R,则圆的周长C=2R,面积S=R2,可以利用顺序结构中的INPUT语句,PRINT语句和赋值语句设计程序,INPUT “R=”；R C=2*3.14*R S=3.14*R2 PRINT “C=”；C PRINT “S=”； S END,算法中的条件结构是由条件语句来表达的,条件语句是处理条件分支逻辑结构的算法语句,条件语句的一般格式,只含一个“分支”的条件结构,写成条件语句为,当计算机执行这种形式的条件语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句体，否则执行END

14、 IF之后的语句,含两个“分支”的条件结构,写成条件语句为,当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句体1，否则执行ELSE后的语句体2,条件语句的作用 在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理,1、编写一个程序，求任意实数的绝对值,程序如下,程序框图,开始,y=-x,y=x,输出 y,结束,x0,是,否,例题解析,例题解析,例6：编写程序，输入一元二次方程ax2+bx+c=0的系数，输出它的实数根,算法分析,一元二次方程的根有三种不同情况,设判

15、别式=b2-4ac,1)当0时,一元二次方程有两个不等的实数根,2)当=0时,一元二次方程有两个相等的实数根,3)当0时,一元二次方程没有实数根,程序,INPUT “ a，b，c =”;a，b，c d=b*b-4*a*c IF d=0 THEN p=-b/(2*a) q=SQR(d)/(2*a) IF d=0 THEN PRINT “One real root:”；p ELSE x1=p+q x2=p-q PRINT “Two real roots:“；x1,x2 END IF ELSE PRINT “No real root!” END IF END,例7：编写程序，使得任意输入的3个整数按

16、从大到小的顺序输出,算法分析：用a，b，c表示输入的3个整数；为了节约变量，把它们重新排列后，仍用a，b，c表示，并使abc.具体操作步骤如下。 第一步：输入3个整数a，b，c. 第二步：将a与b比较，并把小者赋给b，大者赋给a. 第三步：将a与c比较. 并把小者赋给c，大者赋给a，此时a已是三者中最大的。 第四步：将b与c比较，并把小者赋给c，大者赋给b，此时a，b，c已按从大到小的顺序排列好。 第五步：按顺序输出a，b，c,程序,INPUT “a，b，c =”;a，b，c IF ba THEN t=a a=b b=t END IF IF ca THEN t=a a=c c=t END IF

17、,IF cb THEN t=b b=c c=t END IF PRINT a，b，c END,算法中的循环结构是由循环语句来实现的,循环结构有两种-当型与直到型,当型循环结构(当条件满足时反复执行循环体,直到型循环结构(反复执行循环体直到条件满足,对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构,即WHILE语句和UNTIL语句,1)WHILE语句的一般格式是,WHILE 条件 循环体 WEND,其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的,WHILE当 时候,WEN

18、D朝方向 行走,1)WHILE语句的一般格式是,WHILE 条件 循环体 WEND,当计算机遇到WHILE语句时, 先判断条件的真假,如果条件 符合,就执行WHILE与WEND之间的循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止.这时,计算机将不执行循环体,直接跳到WEND语句后,接着执行WEND之后的语句,2)UNTIL语句的一般格式是,DO 循环体 LOOP UNTIL 条件,DO做什么,LOOP UNTIL绕环回线走,直到达到某种 条件为止,思考:参照其直到型循环结构对应的程序框图,说说 计算机是按怎样的顺序执行UNTIL语句的,2

19、)UNTIL语句的一般格式是,DO 循环体 LOOP UNTIL 条件,从UNTIL型循环结构分析,计算机执行该语句时,先 执行一次循环体,然后进行条件的判断,如果条件不 满足,继续返回执行循环体,然后再进行条件的判断, 这个过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执 行循环体,跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句, 是先执行循环体后进行条件判断的循环语句,提问:通过对照,大家觉得WHILE型语句与UNTIL型 语句之间有什么区别呢,区别：在WHILE语句中,是当条件满足时执行循环 体,而在UNTIL语句中,是当条件不满足时执行循环 体,例1.编写程序, 计算自然数1+2+3+99+10

20、0的和,分析:这是一个累加问题.我们可以用WHILE型语句,也可以用UNTIL型语句,i=1 S=0,WHLIE i=100,S=S+i,i=i+1,WEND,PRINT S,END,i=1 S=0,DO,S=S+i i=i+1,LOOP UNTIL,i100,PRINT S,END,变式训练(1): 编写程序求:n!=12345n的值,如何修改,WHILE语句,i=1 S=0,WHLIE i=100,S=S+i,i=i+1,WEND,PRINT S,END,INPUT “n=”;n,S=1,S=Si,in,S=1,n,S=Si,变式训练(2): 编写程序求:1357101的值,如何修改,UN

21、ITL语句,i=1 S=0,DO,S=S+i,i=i+1,LOOP UNTIL i100,PRINT S,END,S=1,101,S=Si,i=i+2,直到型,S=1,S=Si,i=i+2,i101,算法案例,1.3,辗转相除法更相减损术,1.1.1,1、求两个正整数的最大公约数,1）求25和35的最大公约数 （2）求225和135的最大公约数,2、求8251和6105的最大公约数,所以，25和35的最大公约数为5,所以，225和135的最大公约数为533=45,课前复习,3,15,9,知识回顾：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来,3,3,5

22、,辗转相除法（欧几里得算法,观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程,第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146,结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了,第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数,思考：从上述的过程你体会到了什么,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,181

23、3=3335+148,333=1482+37,148=374+0,例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数,思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么,S1：用大数除以小数,S2：除数变成被除数，余数变成除数,S3：重复S1，直到余数为0,第一步,给定两个正数m、n 第二步,计算m除以n所得到余数r 第三步,m=n；n=r 第四步,若r=0,则m、n的最大公约数等于m; 否则返回第二

24、步,辗转相除法求最大公约数算法,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构,否,开始,输入两个正数m,n,mn,r=m MOD n,r0,输出n,结束,m=x,m=n,n=r,否,是,是,x=n,n=m,更相减损术,算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之,第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是，则执行第二步,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数或这个等数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数,

25、例1、用更相减损术求98与63的最大公约数,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,即：986335; 633528; 35287; 28721; 21714; 1477,所以，98与63的最大公约数是7,二者算理相似，有异曲同工之妙 1、都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 2、从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到（差为0,辗转相除法与更相减损术的区别,秦九韶算法,1.3.2,问题1设计求

26、多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法,并写出程序,点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高,这析计算上述多项式的值,一共需要9次乘法运算,5次加法运算,问题2有没有更高效的算法,分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结果,以减少计算量,即先计算x2,然后依次计算,的值,第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到结果,问题3能否探索更好的算法,来解决任

27、意多项式的求值问题,f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =(2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =(2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7,v0=2 v1=v0 x-5=25-5=5 v2=v1x-4=55-4=21 v3=v2x+3=215+3=108 v4=v3x-6=1085-6=534 v5=v4x+7=5345+7=2677,这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法,f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+a1x+a0,我们可以改写成如下形式,求多项式的值时,

28、首先计算最内层括号内一次多项式的值,即,v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即,一般地,对于一个n次多项式,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,vn=vn-1x+a0,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法,f(x)=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0,秦九韶算法,点评:秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法. 它的特点是:把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值,通过这种转化,把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算,减少为n次乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率

29、,v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,vn=vn-1x+a0,观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到vk-1的值,若令v0=an,得,这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现,问题画出程序框图,表示用秦九韶算法求5次多项式f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0当x=x0 (x0是任意实数)时的值的过程,然后写出程序,算法步骤如下： 第一步，输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值. 第二步，将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1. 第三步，输入i次项的系数ai. 第四步，v=vx+ai，i

30、=i-1. 第五步，判断i是否大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v,否,程序框图,开始,输入n,an,x的值,i0,i=n-1,v=an,v=vx+ai,i=i-1,输出v,结束,是,输入ai,进位制,1.3.3,问题1我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又有什么联系呢,进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就是十六进制;等等,满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几,可使

31、用数字符号的个数称为基数.基数都是大于1的整数,例如：二进制可使用的数字有0和1,基数是2; 十进制可使用的数字有0,1,2,8,9等十个数字,基数是10; 十六进制可使用的数字或符号有09等10个数字以及AF等6个字母(规定字母AF对应1015),十六进制的基数是16,注意:为了区分不同的进位制,常在数字的右下脚标明基数,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数,十进制数一般不标注基数,问题2十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式,3721=3103+7102+2101+1100,想一想二进制数1011(2)可以类

32、似的写成什么形式,1011(2)=123+022+121+120,同理,3421(5)=353+452+251+150,C7A16(16)=12164+7163+10162 +1161+6160,一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式,anan-1a1a0(k) (0ank,0an-1,a1,a0k,意思是:(1)第一个数字an不能等于0; (2)每一个数字an,an-1,a1,a0都须小于k,k进制的数也可以表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即,anan-1a1a0(k)=ankn+an-1kn-1 +a1k1+a0k0,注意

33、这是一个n+1位数,问题3二进制只用0和1两个数字,这正好与电路的通和断两种状态相对应,因此计算机内部都使用二进制.计算机在进行数的运算时,先把接受到的数转化成二进制数进行运算,再把运算结果转化为十进制数输出.那么二进制数与十进制数之间是如何转化的呢,例1:把二进制数110011(2)化为十进制数,分析:先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果,解:110011(2)=125+124+023+022+121+120=132+116+12+1=51,问题4你会把三进制数10221(3)化为十进制数吗,解:10221(3)=134+033+232+231+130 =81+18+6+1=106,总结： k进制数转化为十进制数的方法,先把k进制的数表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即,anan-1a1a0(k) =ankn+an-1kn-1+a1k1+a0k0,再按照十进制数的运算规则计算出结果,例 设计一个算法,把k进制数a(共有n位)化为十进制数b,算法步骤如下,开始,输入a,k,n,b=0,i=1,把a的右数第i位数字赋给t,i=i+1,in,输出b,结束,否,是,INPUT a,k,n i=1 b=0 t=a MOD 10 DO b=b+t*k(i-1) a=a10