高等数学-(上)ppt课件

1、书名：高等数学 （上） ISBN： 978-7-111-30309-1 作者：陶金瑞 出版社：机械工业出版社 本书配有电子课件,高等数学 （上） 高职高专 ppt 课件,第二章 导数与微分,学习目标： 1、理解导数与微分概念的意义； 2、能熟练计算初等函数的导数与微分,高等数学,高等数学 （上） 高职高专 ppt 课件,导数的概念,求导法则和基本求导公式,函数的微分,隐函数和由参数方程所确定函数的导数,高阶导数,主要内容,高等数学 （上） 高职高专 ppt 课件,一、两个实例,1变速直线运动的瞬时速度,自由落体运动,第一节 导数的概念,第二步： 求,第三步： 求,第一步：求,高等数学 （上）

2、高职高专 ppt 课件,在曲线上任取不同于M0点的一点M，作割线M0M.当点M沿着曲线移动并趋于M0点时，割线就以点M0为轴转动，割线M0M的极限位置M0T就叫做曲线在点M0处的切线，点M0叫做切点,曲线切线的定义,高等数学 （上） 高职高专 ppt 课件,第一步：求,第二步：求,第三步：求,切线斜率的求法,高等数学 （上） 高职高专 ppt 课件,二、导数的定义,设函数,在点,及其近旁有定义，当自变量,有增量,时，函数有相应的增量,当,时，若,的极限存在，则极限值就称为函数,在点,的导数，并称函数,在点,导数），记为,即,也可记为,或,可导（或有,或,高等数学 （上） 高职高专 ppt 课件

3、,解 （1）求函数改变量,2） 求,3） 当,时，求,的极限,所以,0,例1,高等数学 （上） 高职高专 ppt 课件,注意,是函数,1,在区间,或,上的平均变化率；而,则是函数,在点,的变化率，它反映了函数随自变量变化的快慢程度,2） 如果极限,不存在，则称,在点,不可导；如果不可导的原因是当,时,所引起的，则称函数,在点,的导数为无穷大,高等数学 （上） 高职高专 ppt 课件,三、函数的可导性与连续性的关系,注意：一个函数在某点连续， 但在该点函数不一定可导,如果函数 在点 处可导, 则它一定在点 处连续,高等数学 （上） 高职高专 ppt 课件,四、函数在区间内可导的概念,如果函数,在

4、区间,内的每一点都可导,则称函数,在区间,内可导.这时，对于区间,内的每一个确定的,值，都有唯一的导数值,与之对应，即,所以,也是,的函数，称作,在,导函数，记作,或,内的,说明,在点 的导数值 就是导函数 在点 的函数值，即,例2,解,所以,导函数也简称导数. 求一个函数的导数运算称为微分法,说明,五、 求导数举例,例3 求常值函数,的导数,解,所以,也就是说，常数的导数等于零，即,例4 求幂函数,的导数.(过程略,幂函数求导举例,例5 求正弦函数,的导数,解 (1) 计算函数增量,2)算比值,3）取极限,由此可得,同理,例6 求对数函数,的导数,解,由此得到,特别地,例7 求指数函数,的导

5、数,解,利用极限,得,由此得到,六、左导数和右导数,左导数,右导数,结论,解,例,七、导数的物理意义与几何意义,曲线在某点处的切线斜率,变速直线运动的瞬时速度,几何意义,物理意义,曲线,在点,则曲线在点,处的切线方程为,法线方程为,的切线斜率,解,所以，该物体在任意时刻的速度,在,时的瞬时速度为,解,是曲线,上任意点,处的切线斜率,1）在点,处，因为,所以切线斜率为,根据直线方程的点斜式，得,整理得切线方程为,法线方程为,整理得,k,第二节 求导法则和基本求导公式,设,1,2,3,一、函数四则运算的求导法则,都是 的可导函数，则,推论,例1 求下列函数的导数,1,2,3,4,1,解,3,4,2

6、,例2 设 ，求,解,所以,例3 求下列函数的导数,因此,因此,解（1,在求导时先对函数变形再求导，有时可简化运算过程,例5：求曲线 在点 处的切线方程和法线方程,于是 曲线在点 的切线方程是,即,曲线在点 的法线方程是,即,二、复合函数求导法则,引例,注意,而是 的复合函数,不是基本初等函数,分析,复合函数求导法则,如果函数,在点,处可导，函数,点 处也可导，则复合函数 在点 可,也可写成,或,在对应,导，且,注:复合函数求导法又称为链锁法则，它可以推广到多个函数复合的情形,例1 利用复合函数求导法则求下列函数的导数,解,1,函数由,复合而成,2,3,注: 复合函数的复合层次多于两层时，其计

7、算方法完全一样，只需逐层求导即可,例2 求下列函数的导数,1,函数由,与,复合而成,解,所以,2,设,则,例3 求 的导数,解,例4 求下列函数的导数,1,2,3,解,1）有理化分母,然后求导数，得,2）先用对数性质展开，得,然后求导数，得,3）先化简，得,然后求导数，得,1基本初等函数的导数公式(见教材,三、求导公式与求导法则汇总,2函数四则运算的求导法则,C为常数,C为常数,1,2,3,4,5,3复合函数求导法则,设,则复合函数,的导数为,或写成,或,例1 求下列函数的导数,1,2,3,4,5,解,1,2,3,4,5,第三节 函数的微分,一、 微分的概念,图,2,4,若用 表示薄板的面积，

8、 表示边长，则 . 于,是面积的改变量为,从上式可以看出,由两项构成,和,是次要部分.于是，当我们把,忽略不记时,就是,的近似值，即,分析,上式中 的系数 ，就是函数 在点的导数,这就是说，函数,的自变量,在点,的改变量,时，函数的改变量,约等于其在点,的导数,与,的乘积,于是上式又可表示为,有微小,分析,设函数,在点,处可导，即,根据函数极限与无穷小的关系，有,其中,由此得,这表明，函数的改变量,是由,和,两项所组成,当,时，由,知,是,的同阶无穷小,是较,高阶的无穷小,由此可见，当,时，在函数的改变量,中，起主要作用的是,它与,的差是一个较,高阶的无穷小. 因此,是,的主要部分,又因为,是

9、,的线性函数，所以通常称,为,的线性主要部分（简称线性主部,定义,设函数,在点,处可导，则称,为函数,在点,的微分,记号,或,此时称函数,在点,可微. 如果函数在,区间,内每一点可微，则称函数在区间,内可微,函数在任一点,的微分，叫做函数的微分，一般,或,特别地,即,因此,函数,的导数等于函数的微分,与自变量的微分,的商.因,此，导数又称微商,解 函数的微分,当,时的微分,函数的增量为,结论,例2 求下列函数的微分,1,2,解,1,2,二、 微分的几何意义,由图2-5可知,如图2-5所示，过曲线,上一点,作曲线,当自变量在,处取得改变量,时，我们得到曲线上另一点,的切线，切线的斜率,结论,函数

10、,在点,的微分,等于曲线在,点,的切线,上点的纵坐标对应于,的改变量,这就是微分的几何意义,1微分的基本公式,三、 微分的基本公式与运算法则,微分的四则运算法则,1,2,3,4,5,四微分形式不变性,是自变量时，函数,如果,则,的微分为,因为,所以有,结论,不论是自变量还是中间变量，函数,的微分总保持同一形式,微分形式不变性,例1 用两种方法求下列函数的微分,1,2,3,解法1 根据微分的定义,1,2,3,解法2 根据微分的基本法则和微分形式不变性,1,2,3,解,1,因为,所以,C为任意常数,2,同理,3,同理,例2 在下列括号内填入适当的函数,使等式成立,1,2,3,解,1,因为,所以,C

11、为任意常数,2,同理,3,同理,五、 微分在近似计算中的应用,当,很小时,亦即,将上式移项得,此式常用来计算函数,在点,附近的函数值的近似值,2,1,例1 半径为10的球充气后半径增加了0.02,求球的体积大约增加了多少,解 设球的体积为,半径为,则,由已知,设球的体积的增加量为,因为,很小，所以可以用微分,来近似代替,而,于是,即球的体积大约增加了,例2 计算 的近似值,解 由于所求的是余弦函数值,故选取函数,于是,因为,所以取,此时 很小,代入上式得,即,在公式,2）中,当 时,得,3,当,很小时，可用公式（3）求函数,在,附近函数值的近似值,当,很小时，可得工程上常用的近似公式,1,6,

12、5,3,4,2,一 隐函数及其求导法,第四节 隐函数和由参数方程 所确定函数的导数,形如 的函数，叫做显函数,如,由方程,所确定的,与,叫做隐函数.例如圆的方程,以及,等等,因变量 与自变量,的关系是由一个,的方程,所确定的,之间的函数关系,含有,显函数有时很容易化成隐函数,1）在给定的方程两边分别对 求导数，遇到,2）从（1）所得式中解出 （或 ）即可,隐函数求导方法,时看成 的函数， 的函数看成 的复合函数,例1 求由方程 所确定的函数 的导数,解：将方程两边对 求导数，得,所以,说明：将此函数化为显函数再求导，可得同样结果,例2 求由下列方程所确定的函数的导数,1,2,解,1)方程两边对

13、 求导数，得,解 出，得,2）方程两边对 求导数,得,解得,例3 求圆 在点 的切线方程,解 方程两边对 求导数，得,解 出，得,把点,的坐标代入，得切线的斜率,由直线方程的点斜式，得,整理得切线方程为,含多次积、商、幂的函数,对数求导法,例4 求下列函数的导数,1,2,形如 的函数,解：（1）此函数是幂指函数，两边取自然对数,解出 ， 即得所给函数的导数为,化为隐函数，得,上式两边对,求导数，得,2）两边取对数并根据对数的运算法则，得,上式两边对,求导数，得,解出 ，即得原函数的导数为,二、 由参数方程所确定的函数的导数,一般地，参数方程,可以确定,与,函数关系.这种关系，有时可以用显函数表

14、示出来,例如,消去参数,可得,称为普通方程,由此可求出,之间的,根据导数又称微商这一结论，在,中同除以,得,即,这就是参数方程所确定的,与,方法，其结果一般仍为关于参数的解析式,的分子和分母,之间的函数的求导,但对于有些参数方程，它所确定的,关于,的函数,关系，很难化为普通方程,例1 已知参数方程,求,解 根据参数方程的求导公式,因为,所以,解: 因为,所以，所求切线的斜率为,将,代入所给参数方程中，得切点,所以，切线的方程为,整理得,解 因为,所以,于是所求切线的斜率为,一、 高阶导数的概念,第五节 高阶导数,一般地，函数,的导数,仍然是,的函数，如果是可导函数，则可以继续求它的导数,这相当于对函数,求了两次导数,我们称,为,的二阶导数,记作,或,或,例1求下列函数的二阶导数,1,3,2,解,1,2,3,的导数,三阶导数,或,或,四阶导数：三阶导数的导数,或,或,一般地,的,阶导数的导数叫作,的,阶导数,记作,或,或,高阶导数：二阶及二阶以上的导数,例2 求下列函数的各阶导数,解 （1,依此类推，可得,1,2,2,3,由此可得,3,一般地,例3 求由方程,确定的隐函数的,解 将方程两边对 求导，得,所以,二阶导数,解