高等代数第7章习题参考答案

1、第七章 线性变换 1判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： ?,AV是一固定的向量；其中 1）在线性空间V中， ?AV在线性空间V中，是一固定的向量；其中 2） 22(x,x,x)?(x,x?x,x)3A中，）在P； 33331212 )x?x,2x?x,x(x,x,x)?(3A 4）在P中，；12113223 )1(x?(x)?ffxA 5）在P中， ； f(x)?f(x),xx?AP其中是一固定的数；在P 中，6）00 ?A 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， 。n?nn?n?A P8）在P中，是两个固定的矩阵X=BXC其中B,C. ?00? 时,是;当时解 1)当,不是。?00

2、? 时,是;当时2)当,不是。?),k0)?(4,0(1,0,0)(,)?(2,00)(?2k?k,A, A ,时,3)不是.例如当?)?)(kk。AA( ?(y,y,y(x,x,x),)?,有是.因取 4)322113?(x?y,x?y,x?y)(?= AA 313122(2x?2y?x?y,x?y?x?y,x?y) = 1321232112(2x?x,x?x,x)?(2y?y,y?y,y) = 1231212132?， = A+ A ?(kx,kx,kx)?(k) AA 312?(2kx?kx,kx?kx,kx)12123 )kxkx,kxkx?kx,?(211232?)(k，A = 3A

3、是P上的线性变换。 故f(x)?Px,g(x)?Px ,是.因任取5)并令 u(x)?f(x)?g(x)则 (f(x)?g(x)u(x?1)f(x?1)?g(x?1)f(x)(g(x)xu(，=A=+ A=A A =v(x)?kf(x)(kf(x)?(v(x)?v(x?1)?kf(x?1)?k(f(x)，AA A 再令则PxA上的线性变换。为故 f(x)?Px,g(x)?Px则.因任取 6)是.f(x)?g(x(f(x)?(f(x)g(x)(g(x)?)，A=AA 00(kf(x)?kf(x)?k(f(x)。AA 0?AAAA(a)。k(ka)=-i , k( a)=i, (ka)7)不是，例

4、如取a=1,k=I，则n?nP?X?Y)?B(X?Y)C,XY?BXC?BYC?YXAAA ，+(则，因任取二矩阵是，8)n?nPk)?)B(kX?k(BXCXXAA，A上的线性变换。是(k故)= A表示将空间绕ox轴由oy向oz,取直角坐标系oxy,以方向旋转90度的变2.在几何空间中BC表示绕oz轴由ox向oy90度的变换,以方向旋转换,以90表示绕oy轴向ox方向旋转4442222222?B=BAAB=BA=C=E,ABABA,A，B是否成立。)度的变换，证明： 并检验(=解 任取一向量a=(x,y,z)，则有 1) 因为 243AAAAa=(x,y,z)a=(x,z,-y), a=(x

5、,-y,-z)，a=(x,-z,y), 243BBBBa=(x,y,z)a=(-z,y,x), a=(-x,y,-z)，a=(z,y,-x), 243CCCCa=(x,y,z)a=(-x,-y,z)， a=(-y,x,z), a=(y,-x,z), 444=E。A=C=B 所以ABABAB(x,-z,y)=(y,-z,-x)，(a)=(a)=(z,y,-x)=(z,x,y)，2) 因为 ?BA。AB 所以222222BAAABB(x,-y,-z)=(-x,-y,z)(a)=， (-x,y,-z)=(-x,-y,z)，3)因为(a)=2222。BA=BA 所以222BAABABABAB(a)=(

6、-x,-y,z)(a)=(，)(，(a)_= 3) 因为(z,x,y)=(y,z,x)222?AB。AB )所以(f)?f(x)x?)xf(f(x),(x。AB-BA=E，AB 证明中，3.在Px :?)f(x 则有Px 任取，证;xfxf(x)?ff)f()(xxxff(x)(x)f()xf(x)(x)(xBABAB-BA=A-BA =-=(=)AB-BA=E。 所以kkk?1k A,BAB-BA=E，AB-BA=A(k1)是线性变换，如果。设证明： 4. k=2时证 采用数学归纳法。当2222)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=，AB-BAB-ABA)+(ABA-BA=(A

7、结论成立。 2ammm?1mk?mk?m?1。AB-BAA=时，有 归纳假设时结论成立，即则当m?1m?1m?1mmm?1mmmmm?1mA=B-BAA=(A)A=AB-ABA)+(ABA-BAE+)=AA(AB-BA)+(AB-BAm)1?(m。A k?m?1k?1结论成立。.即故对一切 时结论成立5.证明：可逆变换是双射。 ?1A。 是可逆变换，它的逆变换为A证 设?1?Aa=AAA，有a=bA，这与条件矛盾。b，不然设若a b，则必有ba，两边左乘?1AA是一个双射。 b=a，事实上,令A即可。因此其次，对任一向量b，必有a使,a=b?AA是可逆变换当上的线性变换。证明：是,V是线性空间

8、6.设V,的一组基，,n12?,A,AA,线性无关。且仅当 n12?A,A，A,A,A ,证 因,(),)=(,)=(nnn111222?,AAA,A线性无可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵故A可逆的充要条件是n12?,AAA,A线性无关可逆的充要条件是.。关，故 n127.求下列线性变换在所指定基下的矩阵: ?A=(0,0,1)下的矩阵；=(1,0,0), 第1题4)中变换=(0,1,0),在基1)312?A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的是平面上一直角坐标系,2) o; 12?A,B,ABB下的矩阵；,垂直投影,在基是平面上的向量对 的垂直投影，求122f(x)?f(x?1)?f

9、(x)A，中，设变换 在空间Px 为3)n1?)?1?(x?i1x(x?)A,n-1)下的矩阵A；试求 (I=1,2,在基= ii!axaxaxax?xxbxbxbxbx，,sin=eesincos，= e,cos六个函数4) =e=3142112axax2?xxbxbx，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性,sincos=ee 1122?D,6)下的矩阵；空间，求微分变换(i=1,2,在基 i3?A阵是的矩=(1,0,-1),中线性变换=(0,1,1)在基=(-1,1,1),下知5) 已P321101?011A=(0,0,1)下的矩阵；=(1,0,0),=(0,1,0),，求在基 ?3

10、12?112?3A 定义如下：中，P在 6)?(?5,0,A3)?1?(0,?1,A6)， ?2?(?5,?1A,9)?3其中 ?(?1,0,2)?1?(0,1,1)， ?2?(3,?1,0)?3?=(0,0,1)下的矩阵；=(1,0,0), 求在基=(0,1,0),312?A下的矩阵。,7) 同上，求 在321?(0,1,0)=A(-1,1,0)=-， 1) =+ (2,0,1)=2，+，AA= 解331112222?10?011。,下的矩阵为故在基， ?312?001?1111?A=A，则 +=2）取）=（1，0，+=（0，1） 11112222222211? 22?A。 在基下的矩阵为，

11、A=故1112? 22?00?B（AB=BAB）B，又因为，另外，0，在基=（=），=下的矩阵为B所以?112222210?11?A， =+ 122221?0? 2?AB。所以=在基 ，下的矩阵为AB112?0? 2?x(x?1)x(x?1)?x?(n?2)?,?x?1?,， 3）因为 121n?02!(n?1)!?0?11?，A 所以0?x?(x1)?，A 01LLLL (x?1)x?x?(n?3)x(x?1)?x?(n?2)?A 1n?)!1?n()!1?n(x(x?1)?x?(n?3)(x?1)?x?(n?2)= (n?1)!?，= 2?n01?10?A。所以 在基=,下的矩阵为,A,1

12、n?01?1?0?-D= a,b4）因为 112?，-D, a=b6122?-=D+, ba3314?+D,= +ba3424?,D+=- ab5356?，D+= +ba5664ab1000?00?ba10?0ba010?0 =。所以D在给定基下的矩阵为D100?ba0?b0a000?a0b00?0?110?101),)=(，所以 5）因为(，?331221?111?11?1?1?01),X),，(,，=()=( ,?333121212?110?A下的矩阵为，,故 在基312?110101?11?1?11?2?10111001?12201AX=X=B=。 ?20103211?1?111?103

13、?01?1，,)=(,，, 6）因为?331221?012?103?1?01AA),所以( ,)=，?331212?021?50?5?0?1?1A，但已知,(),)=(，, ?331221?936?50?5?103?1?11?010?1?A (，,，)故)=(?331122?092136?331? 77750?5?261?11?0? ，=(,)?31 2?777?936?112? 777?520?20? 777?25?4?。), =(， 312?777?241827? 777?103?1?01?1，)=(,)）因为7(, ,?331212?021?50?5?103?1?1?1?1100A ,所

14、以()=(),?332211?962103?235?110。), =(?321?011?abababab?22?A AA,(X)= X中定义线性变换 X,(X)=X,)= (在8PX?221dcccdcdd?, A, AA E在基, E求, E, E下的矩阵。32222112111A AE=a E+c E E+cE,解 因 E=a22121212111111A AE= bE+d+dE, E, E=bE22212221211111a0b0?b00a?A。A=故 在基E, E, E, E下的矩阵为?22211211110c0d?d00c? AA ,又因E=a E+b E,=E cE+dE22121

15、212111111A AE= cE+,d E, E= aE+bE22222122221221ac00?0bd0?A 。故=在基E, E, E, E下的矩阵为A?2212221211c0a0?d00b?2A E，acE+bc又因EE= a+abE+322211211112AE+cdcE， = acE+adE+E322211212112AE+adE+bdabE+bE， E= 322212112112AE，+d +bdE+cdEE = bcE32222211211aacabbc?2?2bdabadb?AA。 , E, E下的矩阵为故在基E, E?33222112112cdaccad?2dbdbccd

16、?,A下的矩阵为 9.设三维线性空间V上的线性变换在基312aaa?131112?aaa，A= ?232122?aaa?333132?,A下的矩阵； 在基1) 求123?,kA下的矩阵，其中且；在基 2) 求312?,?,A下的矩阵。 3) 求在基3122?aa=A 1)解因+a，2231333331?aa?a，A= 3321222122?aa?a，= A 3311212111aaa?313332?aB?aa,。A 在基故下的矩阵为?2123223132?aaa?111312a?21?aa?(k)，= A+ 2)因 33111112k?ka)(akak，+ A+ (k)=3322122212a

17、23?aak， A= +()+ 31333321kkaaa?111312?aa?23?21,k?aBA。 故 下的矩阵为在 312222kk?akaa?3133323)因 ?aa?a?aa?a?a?aA，)(+()=() )+(3132313122211221211112?aaa?a?A，)+() =+3321212222122?a?aaa?=A，)+(+ ()3233331313212a?aaa?13121211?a?aa?a?a?a?aa?B,?。A 基故下的矩阵为?131211222231223213122?aaa?a?33323132k?1k?AVAA=0但，求证：上的线性变换，如果

18、0,10. 设是线性空间k?1?k,? AA,0),线性无关。( k?1?A0?l?lAl， 设有线性关系 证k21k?1A作用于上式,用得 k?1n?l?0?kA= A均成立0(因)， 对一切 n11?k?0l?A又因为 所以0,于是有,12k?1?A0?lAl?lA， k32k?12k?ll AA=0.同理,继续作用下去,作用之,得再由,可得便可得 再用=0.220l?l?l , k121?k?k,? A,A 即证(,0)线性无关。n?1?0AAA在某组下的矩阵与向量维线性空间中，设有线性变换，求证使得11.在n0?01?1。 是?0?01?2n?12n?1?,?AAAAAA为线性空, ,

19、线性无关，故证 由上题知, , ,2n?1?0?0?0?1?A ， + AA间V的一组基。又因为A2n?1?0?0?0?1A A AAA， (+)=+ n?12n?1?0?0?0?0A A）（AA= A +， + +A在这组基下的矩阵为故 0?01?1。 ?0?01?上的维线性空间，证明：与V是数域P的全体线性变换可以交换的线性变换是数12 设V乘变换。 证 因为在某组确定的基下，线性变换与n级方阵的对应是双射，而与一切n级方阵可交换K。 kE，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换的方阵必为数量矩阵AA在任意一组基下的矩阵都V的一个线性变换，证明：如果P上n13. 维线性空间是数域相

20、同，那么是数乘变换。 ?a,?,)，只要证明A为数量矩阵即可。设 证设A在基下的矩阵为A=(X为任一ijn12非退化方阵，且 ?,?, ，)X)=( (n21n21?1?,L,AXXA，从而有在这组基下的矩阵是的一组基，且则AX=XA，这说也是Vn21明A与一切非退化矩阵可交换。 若取 1?2?X， ?1?n?aXX?j)，即得A知 则由A=0(iij11a?11?a?22，A= ?a?nn 再取?0010?10?00?X?= 2?0?010?01?00?XXA，可得= 由A22a?a?a。 nn2211A为数乘变换。 A为数量矩阵，从而故?,A在这组基下的矩阵为的一组基，已知线性变换14.设

21、 ,V是四维线性空间31240112?3112? ，?5125?21?2?2?2?3?,?,?2?A下 的矩阵；, 求1) 在基4433244234112A的核与值域； 求2)AA在这组基下的矩阵； ,V的一组基并求 3)在,的核中选一组基把它扩充为AA在这组基下的矩阵。 的一组基, 并求V, 4)在的值域中选一组基把它扩充为 知,由题设 1)解0100?0?230?,，, )=( (?324113241100?21?11?,A 下的矩阵为在基故4231?1011102000010?0?1231?2300?230?1?AXX B=?0105?121501?10?211?2?2211?21?11

22、?32?32?104210? 3333?。= 40?81640? ?3333?8?107?1?1?,?AA A ,下的坐标为(2) 先求)(0)，它在(0).设,，且43232114?,下的坐标为(0,0,0,0,)，则在 ,3124x21100?1?x321?10?2 =。?x55120?3?x21?2?20?4因rank(A)=2，故由 x?2x?x?0?413， ?x?2x?x?3x?0?42133?(?20),?,1,)11(?,?2,0,=可求得基础解系为X。,X= 212?,)X，=(,，若令=()X 322311244121?1?,A(0)即为的一组基，所以则 21?1?),L(

23、A。(0)= 21AAV。因为的值域 再求?2?A， =42131?2?22?A ，=4322?2?5，A= 43123?25?3?A，= 421334? ,A ,A ,AA AA, AA故的秩也为2,线性无关，且rank(A)=2，故31112242? ,AAAA)。可组成V=L(V的基，从而 12?1?,A是, (0) 4)由2)知的一组基，且知V的一组基，又是 1221211?201?3?201? ?2,，, a, a)=()(, ?312214210001?1000?,A 在基, 故下的矩阵为1221?11?2011?201?2011?33201?1?0231?12? 22 B=?55

24、1200010010?22?1?210001000?5002?9010? 2 =。?0120?00?22?2?2?2?2AA =4) 由2)知, =414223312?, AA是V的一组基，且易知, 43120100?00?12?, AA， ()=(,),?433211421201?1?201?, AAA 在基下的矩阵为,故4312?1011102000100?00?121231002?1? C=?051212150211?12?2?12?120102?1?5221?3921? 22。 =?0000?0000?3的两组基P 15. 给定?(1,2,1)?1)?(1,0?11?(2,20),?1

25、),?(21,， ?22?(2,?1,?1)?(1,1,1)?33A: 定义线性变换?iA=1,2,3)， ( =ii?,的过度矩阵；1) 写出由基到基312321?,下的矩阵； 2) 写出在基312?,下的矩阵。 写出在基3)3123?,ee=(0,1,0), =(1,0,0), 的一1)解 由(组)X，引入)=(P基31231221e=(0,0,1)，则 3121?011e,eeeee)A)，, )=(=(,?323132211?101?所以 221?1?22?1,eeeeeeeee)B， =()=(,)B=(, (,)A?321333222111?11?1?,的过度矩阵为故由基 到基31

26、232133?2? 1?22122121?33?1?101122?1。 =X= AB=? ?22?1011?11?51?1? 22? 因2)33?2? 22?33?,1 A，)=( )()=( 321311232?22?51?1? 22?,A 下的矩阵为在基故31233?2? 22?33?1。A= ?22?51?1? 22?,AA)X(，)X=(4) 因 ()=332121312?,A下的矩阵仍为X.在基。故 32116.证明 ?i1?1?i2i,i,?,i?,n2的一与)(是1,2,相似，其中?n12?inn个排列。 A，使设有线性变换 证 ?1?2?,?,(,?,(,?AD， = ?)2n

27、1112n2)n)1?n?i?1?i?,?,?,A2 ,)D)=(,，则(=(?iiiiiiiii2?nn212n121?inA在两组不同基下的矩阵,故为同一线性变换D与D 于是21?i1?1?i22相似。与 ?inn 相似。BA与AB证明,可逆A如果17.?1?1?1A)BA=BA，所以AB(AB)A=( A可逆,故A与BA存在，从而A相似。 证 因AA0B0?与相似。 与D相似，证明：A与B相似，C18.如果?0B0D?1?X0B00A0X?1?1?，则CY证 =由已知，可设B=X， AX, D=Y?1?0Y0DC0Y0?1?X0B00A0X?1?相似。与= ，故这里?1?Y00DC0Y0

28、?AA在一组基下的矩阵.V的线性变换已知的特征值与特征向量19.求复数域上线性变换空间为： 1111?56?3?11?1?1340a?101? 2)A= 3)A= 4)A=1)A= ?1?11?10?52a?12?1?11?1?1?211000103?010?203?4?10 5)A= 7)A= 6)A=?2?30?10084?1?A下的矩阵为A，且A,的特征多项式为解 1)设 在给定基12? ?3?42? ?A?E2?7A -2=。)(的特征值为7=，-5)-14=(，故?2?54x?4x?01?21?，的特征向量。解方程组先求属于特征值，它的基础解系为=7?5x?5x?01?21?0?A。

29、 (k= )，其中因此的属于特征值7的全部特征向量为k+1112?5x?4x?04?21?A的属于特征值-2，它的基础解系为因此的全部，再解方程组?5x?4x?05?21?0?。，其中特征响向量为k-5(k=4 )1222?0 2?A?E A，下的矩阵为A，且当，所以 在给定基,A=0=a=02)设时，有12?00x?0x?010?21?AA，因此，它的基础解系为。解方程组,故的特征值为=0?210x?0x?001?21?A的任一非零向量为其V=0的属于特征值的两个线性无关特征向量为，以故，1122 特征向量。? a?22? AE?aai?aiai?A =的特征值为=)+当a)(0=时，=(，

30、故，1?a?ai = -。20?aix?axi?21?aiaiA的全= 时，方程组的基础解系为，故的属于特征值当?10?ax?aix1?12?i0? )，其中+=-部特征向量为k。(k11120?aix?ax?i?21?aiaiA的时，方程组的基础解系为 的属于特征值当，故= -?20?aix?ax1?12?i0?k =全部特征向量为 +) (k，其中。12223?AE? 2?2?A在 A，故，因为给定基(,=(,),下的矩阵为3)设A)3142?2,?2 的特征值为。=4321111?010?XX?,?,2?A的属，故 时当,相应特征方程组的基础解系为X?321010?100?k,kkkk，

31、+不全为零+)2于特征值的全部特征向量为 ，其中 (k+=313231111222? ，+=。=+3311421?1?2?A的全部特征X当的属于特征值，故-2 时，特征方程组的基础解系为?41?1?0?k -。)向量为 ，其中 (k=-431244?,，AA 因 4）设下的矩阵为在给定基312?3?6?5 23? ?A?E?1?1?1?3?1?342?4?2?)=(=)()(?121? ， ?33?A 故的特征值为=2。=1+，1-3212x?0?3x?6x?3?312?0x?x?2x?1?A2当=2时, 方程组 ，故的属于特征值的基础解系为?3211?0?x?2x?3x?0?123?20?k

32、 -)的全部特征向量为 ，其中 (k。=1112?30?6x?3x?(?4?3)x?312?1?30x?x?(1?3)x?A 当，故=1+方程组时, 的基础解系为?321?3?20?)x?x?2x?(2?3?312?33?30?k 。 (k+(2-)的属于特征值，其中1+)的全部特征向量为 =31222?303x)(?4?3x?6x?312?1?30?3)x?xx?(1A 方程组, 的基础解系为，故当=1-时?312?32?0?2?3)x2?x?x?(?312?33?30?k )，其中=的属于特征值 (k1。+(2的全部特征向量为 -)33312?,，A A 在给定基下的矩阵为因5) 设312

33、? 10?2? 1?A?E10?01?=)=(， ?01?1?1,?A的特征值为故。 13210?0?x?x?31?,011?A的基础解系为当，故，方程组的属于特征值1?10?x?x2?3110?)kk不全为零?k,(k? 的全部特征向量为。，其中,3112212112210x?x?31?00?2x?1?A的全，故时，方程组当-1的基础解系为的属于特征值?32?1?0?xx?13?)0(k?k? ，其中部特征向量为。3331?,，A A 下的矩阵为 设在给定基因6)321? 1?22? ?A?E?32)(14?14i)(14(?i，= ?31?i?0,?14i,14?A 的特征值为。故3123

34、0?2x?x?32?02x?3x?0?1?A的全的属于特征值当0，故时，方程组的基础解系为?311?0?3xx2?12?)k0(k?2?3? ，其中部特征向量为。13112?i6?14?i14?2?3?i14i14?A，当该特征方程组的基础解系为故的属于特征值时，?210?)0kk?(10(?2?314i)?(6?14i)? 。的全部特征向量为，其中23122?i?146?i?2?314?i14?A的属于特征值时，该特征方程组的基础解系为当，故?10?i?1410?14i)?(?2?(614i)3)0k?k(。的全部特征向量为其中， 33132?,AA ，因下的矩阵为在给定基 7) 设312?

35、 03?1?2? 2?1?A?E?014=)(=(， )?428?,2?1A的特征值为故。 1323?61?A的属于特征值当1，故的全部特征，该特征方程组的基础解系为?12?20?)k(k?0206?3?。向量为 ，其中131120?02?A的属于特征值当-2，故的全部特征向量，该特征方程组的基础解系为?3?1?)0(k?k?。，其中为 23220.在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况下，?1 。ATT，并验算T写出相应的基变换的过度矩阵A故上个线形无关的特征向量解 已知线形变换, 在某一组基下为对角形的充要条件是有n T。题中1)6)可以化成对角形,而7

36、)不能.下面分别求过渡矩阵4411?,?),( )因为(，所以过渡矩阵T=，1) ?21215?511?45?073414? 99?1? T=AT=。?112?5520?1? 99?已是对角型2)当a?0时, 。i?ii?i?过渡矩阵),当a?0时有(,?(,) ，T=?22111111?1i?0ai?ii0a? 221? TAT=。?i1ai11?a00? 22?11111111?1?1010100?,，过渡矩阵)T=)=(3)因为 ?4313241210010?1?01?1?0?101001?2?2?1? AT=T。?2?2?233?1?1?,?)1,), =(，4)因为(?312312?

37、3202?3?2332?1?31?AT?1?11 。T过渡矩阵，T=?33?1?0232?111001?000110), =()，过渡矩阵 T= (5)因为，?312312?1?01101?11?0?010100110 ?22?1?01?AT?010010010T0 。?110110?100?10?0? 22?i14i6?36?14?i314?2?3,14,i)?(?,2,)?1 因为6), (322311?10102?i1436?14i6?i2?3141?2?314i? , T=即过渡矩阵为?102?10?000?1?0i14AT?0 。且T?i0?014?DD在任何一组基下的矩阵都不可,求

38、微分变换的特征多项式，并证明在21.Px(n1)中n能是对角阵。 2n?1xx,.,D在此基下的矩阵为 的一组基1,x,，则解 取Px n2(n?1)!010.0?1.000?.，D= ?0.001?0000.?10.0?100.?n? ?DE?.从而， ?0?100.?000.?n(0?DD只能是非零常数。从而线的特征向量的属于特征值0重)故的特征值是，且D在任一组基下的矩阵都不可能是对，故，它小于空间的维数n性无关的特征向量个数是1角形。 142?k0?34，求 A=A。 设22.?340? ?4?12? ?A?4?03?E)?)(?1)(5?5 因为: 解(，?43?0?5?5,?1,A

39、的属于特征值1的一个特征向量为故A的特征值为，且321)22,1,0,0)?(?(1AA的一个，X-5 ，的属于特征值的属于特征值5的一个特征向量为X21)2,1?(1,? 。特征向量为X 3121100?1,X,X)?01?2AT?050?B， T于是只要记T=(X ，则?312?5?00210?100?kk005?。 且 B?k)(?005?011010121?21?kkk?10025001?T?TB?A于是 ? ?55?k)005201(?12?0? 55?kk?1k?1k?1?1?4?1(?1)?(5?1)21?5?1?k?kk?11k)1?1?(?2?55)4?1?(?10? = 。

40、?kk?1k?1?1K)1?45?(?025(1?1)?,A在这组基下的矩阵为23.设线性变换 是四维线性空间V的一个基,4321?2?435?1?323?195。 A?3? 222?7?311?10?2?3?2?A下的，求的基， 1)3311222341443矩阵； A的特征值与特征向量；求 2) ?1AT 成对角形。T使T,求一可逆矩阵 3)1200?3002?),),?(?,(,X,)， 由已知得(解 1)?4242313211341110?1010?,A 在基故求得下的矩阵为4123006?5?00?54?1?AX73。B=X ?00? 22?2?005?12? )(1(?E?A?E?

41、B?)f( A ，2) 的特征多项式为 21?,?,0?1A的特征值为 所以。 34122?k,kkk?0?A不全为零，且的全部特征向量为 的属于特征值 ，其中222111?,?32? 3211?。 42121?k?0k?A，且，其中 的属于特征值的全部特征向量为 3332?2?4。+6 33124?k?k01?A，且的全部特征向量为其中 的属于特征值,444?2?3?。 421343）因为 2?1?43?3?1?21?),)?(，（ ?443311221011?2?016?0?2?1?43?0?3?1?21?1AT?为对角矩阵。 所求可逆阵为 T=，且 T ?1?1110? 2?2106?1

42、?,A的特征向量，证明：的两个不同特征值，设是分别属于是线性变换212121?A的特征向量；不是 21AA是数V的线性变换中每个非零向量作为它的特征向量，那么以2)证明:如果线性空间V乘变换。 ?)()?(, , AA，且 1)证由题设知 22121211?0A使的特征向量，则存在 若是21?(?)A，（= ）=211212?A，（= ）21121212?)0?(?)。即 2121?,?0?，这是不可能的。的线性无关性，知 再由，即212112?A的特征向量。故 不是21?,.,A的n，则它也是2）设V的一组基为个线性无关的特征向量，故存在特n21?,., 使征值 n21?()(i?1,2,.

43、,n)。A iii?k?.?V)(?)?k，A A是。由已知，又有即证由1）即知n12数乘变换。 ABABBA.，证明：=， 是V上的线性变换，且25.设V是复数域上的n维线性空间，?VBA的不变子空间； 如过是是的一个特征值，那么1)?00AB至少有一个公共的特征向量。 ，2) ?V?，A于是由题设知证，则设 1)?00?)BABABB， ()=( )=(00?VV?BB的不变子空间。故，即证 是?00VVVB，BBB|也是复数域上线性空间若记=3) 由1)知是则的不变子空间，?00000?V,?0?BBBBB)，且的一个线性变换，它必有特征值 (使,= ?0000?BBAABB的公共特征向

44、量。即为显然也有( )= 与，故0?,.,A下的矩V 26.设是复数域上的在基维线性空间，而线性变换nn21阵是一若当块。证明： ?A-子空间只有V的自身；1) V中包含 1?A；子空间都包含中任一非零 -2) VnA-子空间的直和。 V不能分解成两个非平凡的3)证 1)由题设,知 ?1?.?,.,.,A， ()=(n1n221.?.?1?A?211?A?322?. ，即?A?1n?1n?n?a?nn?A?AW，则 W为-子空间,且进而有 W,设11?AA?WW ， 2112?A?AW ，W 3232 . ?AW ， 1n?1nn?,.,=V。故W=L n12?AW,对任一非零向量有W设为任一

45、非零的 -子空间,2)?.? n21n1?A?A.?A0?A 则不妨设,n212n11? ()+ =)+(nn322211?.W = n321n21?.?W 于是 n12n2?31?.? 同理可得W， Wn4132n?2n1?A。 子空间W，即证V中任一非零的从而都包含-Wnn,A-子空间，则由2W）知W是任意两个非平凡的 3）设21?W, W且nn12?A-子空间的直和。不能分解成两个非平凡的W W于是，故Vn2127求下列矩阵的最小多项式： 3?1?31?001?1?3?13?1)010, 2) ?3?1?31?010?31?13?001?22?010?1所以是?AAAE的零化多项式，但，

46、- ，因为解 1)设=0?001?2?m(1)0?0AEAAE。，故,的最小多项式为+- A424? ?E?f(A)?,A之一,代入计算可得，所以2)的最小多项式为因为32?m()A。的最小多项式为 A二 补充题参考解答 22=BA,B A= A, B 是线性变换,设证明:1.2 AB=0 =A+BA+B ;)那么1) 如果(2=A+B-AB. AB=BAA+B-AB) 那么如果2) ,(222 =A+BA= A, B=B,A+B )因为 (证 1)222, =(A+B) (A+B)= A +AB+BA+ BA+B )(由A+B= A +AB+BA+ B, 故AB+BA=0. 即222B+AB

47、A= A (AB+BA)= A0=02AB=AB+AB=AB-BA= AB-BA= A 又AB=0. 所以22=B, AB=BA= A, BA 因为2) 2A+B-AB)A+B-AB)=A+B-AB) ( (所以2222B-BAB +ABAB= A- AB+BA- AB A+ AB+ B-A = A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB = A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB A+B- AB。 =2n 的全体变换组成的线性空间是维的。证明:由V2. 设V是数域P上维线性空间,n?nn?n2维的P因E是的一组基，Pn，LE，E，L，E

48、L，E，LE是 。 证1121nnn12n1n2nn?nP 维的。V的全体线性变换与,故V的全体线性变换组成的线性空间是同构A 证明:维线性空间V的一个线性变换 设,是数域P上n3.2n?0?(A)f(x)fxP ;的多项式 1)在中有一次数,使f(A)?0,g(A)?0d(A)?0,那么这里2) 如果d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式.； f(x)使f(A)?0A。可逆的充分必要条件是: 有一常数项不为零的多项式 3)22nn个线性所以维线性空间V的线性变换组成的线性空间是+1维的，上的证 1)因为Pn22?n1na,a,L,a,a，,A,E,A、A、使 变换一定线性相关,即存在一组不全为零的数0