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文档简介

1、1,Longlan_,全微分,2,2、全微分在数值计算中的应用,应用,一元函数 y = f (x) 的微分,近似计算,估计误差,1、全微分的定义,3,一、全微分的定义,定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y,可表示成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关,称为函数,在点 (x, y) 的全微分, 记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微,处全增量,则称此函数在D 内可微,4,2) 偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系,1) 函数可微,函数 z = f (x,

2、y) 在点 (x, y) 可微,由微分定义,得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,5,定理1(必要条件,若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微,则该函数在该点偏导数,同样可证,证: 由全增量公式,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,因此有,6,反例: 函数,易知,但,因此,函数在点 (0,0) 不可微,注意: 定理1 的逆定理不成立,偏导数存在函数 不一定可微,即,7,定理2 (充分条件,证：（略,若函数 z = f (x, y,的偏导数,在点(x, y)连续,则函数在该点可微分,8,推广,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题,例如, 三元函数,习惯上把自变量的增

3、量用微分表示,的全微分为,于是,9,例1. 计算函数,在点 (2,1) 处的全微分,解,例2. 计算函数,的全微分,解,10,可知当,二、全微分在数值计算中的应用,1. 近似计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式,可用于近似计算; 误差分析,可用于近似计算,11,半径由 20cm 增大,解: 已知,即受压后圆柱体体积减少了,例3. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm,则,高度由100cm 减少到 99cm,体积的近似改变量,求此圆柱体,12,例4.计算,的近似值,解: 设,则,取,则,13,分别表示 x , y , z 的绝对误差界,2. 误差估计,利用,令,z 的绝对误差界约为

4、,z 的相对误差界约为,则,14,特别注意,类似可以推广到三元及三元以上的情形,乘除后的结果相对误差变大 很小的数不能做除数,15,例5. 利用公式,求计算面积时的绝对误差与相对误差,解,故绝对误差约为,又,所以 S 的相对误差约为,计算三角形面积.现测得,16,例6.在直流电路中,测得电压 U = 24 伏,解: 由欧姆定律可知,欧,所以 R 的相对误差约为,0.3 + 0.5,R 的绝对误差约为,0.8,0.3,定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差,相对误差为,测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5,0.032 ( 欧,0.8,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求用欧姆,17,3. 微分应用,近似计算,估计误差,绝对误差,相对误差,18,4. 设,解,利用轮换对称性 , 可得

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