高中数学必修二第四章圆与方程课堂

1、第,46,讲,圆的方程,第,46,讲,圆的方程,考纲要求,第,46,讲,考纲要求,1,掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程,2,初步了解用代数方法处理几何问题的思想,1,圆的定义,平面上到定点的距离等于,_,的点的集合称为圆，定,点称为圆的,_,定长称为圆的半径,2,确定圆的几何要素,确定圆的几何要素是,_,与半径,3,圆的标准方程,当,圆,心,为,a,b,半,径,为,r,时,其,标,准,方,程,为,_,特,别,地,当,圆,心,在,原,点,时,方,程,为,_,知识梳理,第,46,讲,知识梳理,定长,圆心,圆心,x,a,2,y,b,2,r,2,x,2,y,2,r,2,4,圆的一般方程

2、,方程,x,2,y,2,Dx,Ey,F,0,当,D,2,E,2,4,F,0,时，表,示以,_,为圆心,为半径的圆,此时方程,x,2,y,2,Dx,Ey,F,0,称为圆的一般方程,5,点与圆的位置关系,可知平面上的一点,M,x,0,y,0,与圆,C,之间存在着下列关系,1,d,r,M,在圆外,即,x,0,a,2,y,0,b,2,r,2,M,在,_,2,d,r,M,在圆上，即,x,0,a,2,y,0,b,2,r,2,M,在,_,3,d,r,M,在圆内,即,x,0,a,2,y,0,b,2,r,2,M,在,_,第,46,讲,知识梳理,D,2,E,2,D,2,E,2,4,F,2,圆外,圆上,圆内,问题思

3、考,第,46,讲,问题思考,问题,1,圆的定义和确定圆的几何要素,1,圆是到定点的距离等于定长的点的集合,2,确定圆的几何要素是圆的半径,答案,(1,错,2,错,解析,(1,圆是一个平面图形，必须是在平面上到定点的距离,等于定长的点的集合,2,确定圆的几何要素有两个，一个是圆心、一个是半径,第,46,讲,问题思考,问题,2,关于圆的方程,1,方程,x,a,2,y,b,2,t,2,不论,t,为什么实数都表示一个圆,的方程,2,方程,x,2,y,2,Dx,Ey,F,0,叫做圆的一般方程,答案,(1,错,2,错,第,46,讲,问题思考,解析,1,t,0,时，方程,x,a,2,y,b,2,t,2,就表

4、示点,a,b,此时不表示圆,2,由方程,x,2,y,2,Dx,Ey,F,0,配方得,x,D,2,2,y,E,2,2,D,2,E,2,4,F,4,由此可见只有在,D,2,E,2,4,F,0,时才能叫做圆,的一般方程；而当,D,2,E,2,4,F,0,时，表示点,D,2,E,2,当,D,2,E,2,4,F,0,时不表示任何图形,第,46,讲,问题思考,问题,3,方程,Ax,2,Bxy,Cy,2,Dx,Ey,F,0,表示圆的,充要条件是,A,C,0,B,0,D,2,E,2,4,AF,0.,解析,当,A,C,0,B,0,D,2,E,2,4,AF,0,时,方程,Ax,2,Bxy,Cy,2,Dx,Ey,F

5、,0,即为,Ax,2,Ay,2,Dx,Ey,F,0,配方得,x,D,2,A,2,y,E,2,A,2,D,2,E,2,4,AF,4,A,2,显然这是圆的方程,反之把圆的标准方程展开,与方程,Ax,2,Bxy,Cy,2,Dx,Ey,F,0,可知，后者要表示圆,必须满足,A,C,0,B,0,D,2,E,2,4,AF,0,答案,对,第,46,讲,问题思考,问题,4,已知点,A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,则以,AB,为直径的,圆的方程是,x,x,1,x,x,2,y,y,1,y,y,2,0.,解析,设圆上异于,A,B,的任意一点,M,的坐标为,x,y,根据圆的性质,MA,MB,根据平面向量知识,

6、MA,MB,0,把坐,标代入即是方程,x,x,1,x,x,2,y,y,1,y,y,2,0,由点,A,B,的坐标要适合方程,x,x,1,x,x,2,y,y,1,y,y,2,0,故得以,AB,为直径的圆的方程是,x,x,1,x,x,2,y,y,1,y,y,2,0,答案,对,要点探究,探究点,1,求圆的方程,第,46,讲,要点探究,例,1,1,已知圆经过,A,2,3,B,2,5,若圆心,在直线,x,2,y,3,0,上，则圆的标准方程是,_,2,ABC,的三个顶点分别为,A,1,5,B,2,2,C,5,5,则其外接圆的一般方程是,_,第,46,讲,要点探究,思路,1,可以使用圆的一般方程，根据圆心在直

7、线上得到,一个方程，根据两点在圆上得到两个方程，根据方程组求解系,数，也可以使用圆的标准方程得方程组，也可以根据圆心必在,线段,AB,的垂直平分线上得圆心所在的一条直线方程，这个方,程与已知直线方程联立求出圆心坐标，再求出圆的半径,2,也,可以使用一般式方程、标准方程，以及通过圆心是三角形两边,的垂直平分线的交点的方法求解,答案,1,x,1,2,y,2,2,10,2,x,2,y,2,4,x,2,y,20,0,第,46,讲,要点探究,解析,(1,方法,1,设圆的方程为,x,2,y,2,Dx,Ey,F,0,则,4,3,2,2,D,E,3,F,0,2,2,5,2,2,D,5,E,F,0,D,2,2,

8、E,2,3,0,D,2,E,4,F,5,圆的方程为,x,2,y,2,2,x,4,y,5,0,第,46,讲,要点探究,即,x,1,2,y,2,2,10,方法,2,设圆的方程为,x,a,2,y,b,2,r,2,则,2,a,2,3,b,2,r,2,2,a,2,5,b,2,r,2,a,2,b,3,0,a,1,b,2,r,2,10,圆的方程为,x,1,2,y,2,2,10,第,46,讲,要点探究,方法,3,圆心还在,AB,的中垂线上,AB,的中点为,0,4,AB,的斜率为,1,2,故,AB,的中垂线方程为,y,2,x,4,与方程,x,2,y,3,0,联立，解得圆心的坐标为,1,2,圆心到点,A,的距离为

9、,10,即圆的半径为,10,所以所求的圆的方程为,x,1,2,y,2,2,10,第,46,讲,要点探究,2,方法,1,设所求的圆的方程为,x,2,y,2,Dx,Ey,F,0,则由题意有,D,5,E,F,26,0,2,D,2,E,F,8,0,5,D,5,E,F,50,0,解得,D,4,E,2,F,20,故所求,的圆的方程为,x,2,y,2,4,x,2,y,20,0,第,46,讲,要点探究,方,法,2,设,圆,的,方,程,为,x,a,2,y,b,2,r,2,则,1,a,2,5,b,2,r,2,2,a,2,2,b,2,r,2,5,a,2,5,b,2,r,2,a,2,b,1,r,5,圆的方程为,x,2

10、,2,y,1,2,25,即,x,2,y,2,4,x,2,y,20,0,第,46,讲,要点探究,方法,3,由题意可求得,AC,的中垂线方程为,x,2,BC,的中,垂线方程为,x,y,3,0,圆心,P,是两中垂线的交点,2,1,半径,r,AP,2,1,2,1,5,2,5,所求的圆的方程为,x,2,2,y,1,2,25,即,x,2,y,2,4,x,2,y,20,0,第,46,讲,要点探究,点评,本题给出了求圆的方程的三种基本方法如已知圆,心在一条直线上，圆过另外两个点时，圆心还在两点所在直线,的中垂线上，这样两直线的交点就是圆心，平面上不共线的三,点有唯一确定的圆，这种条件也可以看作是确定圆的几何要

11、素,实际上，三角形外接圆的圆心就在三边的中垂线的交点处，圆,心到任意一点的距离就是圆的半径求圆的方程的主要方法就,是根据已知条件得到方程或者方程组，确定其中的系数的待定,系数法，高考中一般是把直线与圆的位置关系交汇，解决圆的,方程问题，看下面的变式,第,46,讲,要点探究,变式题,1)2010,广东卷,已知圆心在,x,轴上、半径为,2,的,圆,O,位于,y,轴左侧，且与直线,x,y,0,相切，则圆,O,的方程是,_,2)2010,课标全国卷,过点,A,4,1,的圆,C,与直线,x,y,1,0,相切于点,B,2,1,则圆,C,的方程为,_,答案,1,x,2,2,y,2,2,2,x,3,2,y,2

12、,2,第,46,讲,要点探究,解析,(1,根据题意，设圆的方程为,x,a,2,y,2,2,a,0,直线,x,y,0,与圆相切,a,2,2,得,a,2,圆的方程为,x,2,2,y,2,2,2,直线,x,y,1,0,与圆切于点,2,1,圆心在过切点且,垂直于直线,x,y,1,0,的直线上，该直线为,x,y,3,0,圆,过点,4,1,2,1,圆心在这两点的垂直平分线,x,3,上，圆心,为,3,0,圆的方程为,x,3,2,y,2,2,第,46,讲,要点探究,高考命题者说,考查目标,本题考查圆的标准方程、直线和圆的位置关,系，考查数形结合思想,命制过程,本题既可以利用代数方法求圆的方程，也可,以利用几何

13、法求圆的方程，使不同能力的考生得以展示其才能,试题评价,试题的设计概括了求解圆的方程的基本方,法，使不同层次考查的水平都得以发挥，关注学生的个性差异,是新课程的基本理念,引自高等教育出版社,2011,年课程标准实验版的,高考理科,试题分析第,58,页第,15,题,探究点,2,与圆有关的最值问题,第,46,讲,要点探究,例,2,在,OAB,中，已知,O,0,0,A,8,0,B,0,6,OAB,的内切圆的方程为,x,2,2,y,2,2,4,P,是圆上一点,1,求点,P,到直线,l,4,x,3,y,11,0,的距离的最大值和最,小值,2,若,S,PO,2,PA,2,PB,2,求,S,的最大值和最小值

14、,思路,1,转化为圆心到该直线的距离和圆的半径之间的关,系,2,把,S,表示为圆上点的坐标的函数,通过这个函数的最值解,决或者根据圆的方程的特点，进行三角换元，转化为三角函数,的最值,第,46,讲,要点探究,解答,方法,1,1,圆心为,2,2,该点到直线,4,x,3,y,11,0,的距离,d,4,2,3,2,11,3,2,4,2,25,5,5,故圆上点到直线,l,距离的最大值为,5,2,7,最小值为,5,2,3,2,设点,P,为,x,y,则,S,x,2,y,2,x,8,2,y,2,x,2,y,6,2,3,x,2,y,2,4,x,4,y,4,x,100,4,x,88,而,x,2,2,4,2,x,

15、2,2,即,0,x,4,16,4,x,0,72,S,88,即当,x,4,时,S,min,72,当,x,0,时,S,max,88,第,46,讲,要点探究,方法,2,1,由于,x,y,满足,x,2,2,y,2,2,4,根据同角三,角函数关系，可以设点,P,的坐标为,2,2cos,2,2sin,为参,数，且,0,2,则由点到直线的距离公式可得,d,4,2,2cos,3,2,2sin,11,4,2,3,2,25,10sin,5,其中,tan,4,3,当,sin,1,时,d,max,7,当,sin,1,时,d,min,3,第,46,讲,要点探究,2,由,P,2,2cos,2,2sin,得,S,PA,2,

16、PB,2,PO,2,2,2cos,2,2,2sin,2,2,2cos,2,2,2sin,6,2,2,2cos,8,2,2,2sin,2,80,8cos,当,cos,1,时,S,min,72,当,cos,1,时,S,max,88,第,46,讲,要点探究,点评,圆的方程非常适合进行三角换元,三角换元后的,x,y,分别用一个角的正弦和余弦表示，这实际上就是圆的参数方程,虽然新课标在,必修,2,中没有圆的参数方程,但在,选修,4,4,中有要求，它非常有利于问题的解决圆中的最值问题可以从几,何意义和建立函数关系两个方面进行考虑，见下面的变式,第,46,讲,要点探究,变式题,实数,x,y,满足,x,2,y

17、,2,2,x,4,y,1,0,求下列各式,的最大值和最小值,1,y,x,4,2)3,x,4,y,3,x,2,y,2,解答,(1,方法一：令,y,x,4,k,则,kx,y,4,k,0,x,y,满足,x,2,y,2,2,x,4,y,1,0,所以圆心,1,2,到直,线,kx,y,4,k,0,的距离不大于圆的半径,2,即,2,5,k,k,2,1,2,解得,20,21,k,0,第,46,讲,要点探究,y,x,4,的最大值为,0,最小值为,20,21,方法二：令,y,x,4,k,则,y,k,x,4,代入圆的方程，整理得,1,k,2,x,2,2,4,k,8,k,2,x,16,k,2,16,k,1,0,此方程

18、有实数根,2,4,k,8,k,2,2,4(1,k,2,(16,k,2,16,k,1,0,化简整理,得,21,k,2,20,k,0,解得,20,21,k,0,y,x,4,的最大值为,0,最小值为,20,21,第,46,讲,要点探究,方法三,将圆的方程变为,x,1,2,y,2,2,4,联想到三角公,式,sin,2,cos,2,1,则可将圆的方程中的,x,y,变为,x,1,2cos,y,2,2sin,0,2,k,y,x,4,2,2sin,5,2cos,整理得,2sin,2,k,cos,2,5,k,sin,2,5,k,2,2,2,k,2,其中,tan,k,第,46,讲,要点探究,sin,1,2,5,k

19、,2,2,2,4,k,2,化简得,21,k,2,20,k,0,解得,20,21,k,0,y,x,4,的最大值为,0,最小值为,20,21,2,方法一：设,3,x,4,y,k,则,3,x,4,y,k,0,圆心,1,2,到该直线的距离不大于圆的半径,2,即,3,8,k,3,2,4,2,2,解得,21,k,1,3,x,4,y,的最大值为,1,最小值为,21,第,46,讲,要点探究,方法二：设,k,3,x,4,y,即,y,3,4,x,k,4,代入圆的方程，整理,得,25,x,2,16,6,k,x,k,2,16,k,16,0,此方程有实数根,16,6,k,2,4,25,k,2,16,k,16,0,化简整

20、理得,k,2,22,k,21,0,解得,21,k,1,3,x,4,y,的最大值为,1,最小值为,21,方法三：由,1,的方法三知，圆的方程中的,x,y,变为,x,1,2cos,y,2,2sin,0,2,第,46,讲,要点探究,3,x,4,y,3,1,2cos,4(2,2sin,6cos,8sin,11,10sin,11,其中,tan,4,3,21,3,x,4,y,1,即,3,x,4,y,的最大值为,1,最小值为,21,第,46,讲,要点探究,3,方,法,一,先,求,出,原,点,与,圆,心,之,间,的,距,离,d,1,0,2,2,0,2,5,根据几何意义，知,x,2,y,2,的最大值为,5,2,

21、2,9,4,5,最小值为,5,2,2,9,4,5,方,法,二,由,1,的,方,法,三,知,圆,的,方,程,中,的,x,y,变,为,x,1,2cos,y,2,2sin,0,2,x,2,y,2,1,2cos,2,2,2sin,2,9,8sin,4cos,9,4,5sin,其中,tan,1,2,9,4,5,x,2,y,2,9,4,5,即,x,2,y,2,的最大值为,9,4,5,最小值为,9,4,5,第,46,讲,要点探究,点评,本题的每一小题都给出了不同的解法,希望读者仔细,研读，比较优劣，选择自己容易把握的方法,涉及圆的最值的问题主要有三种类型,1,斜率型,y,b,x,a,k,其本质是动直线的斜率

22、变化问题，可,用例题中第,1,题的三种方法求解,2,截距型,ax,by,t,其本质是动直线的截距变化问题,可,用例题中第,2,题的三种方法求解,3,距离型,x,a,2,y,b,2,s,其本质是定点到圆上的点,的距离问题，可用例题中第,3,题的方法求解,探究点,3,圆的方程的应用,第,46,讲,要点探究,例,3,有一种大型商品,A,B,两地都有出售，且价格相,同某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距,离,A,地的运费是,B,地的运费的,3,倍已知,A,B,两地距离为,10 km,顾客选择,A,地或,B,地购买这种商品的标准是：包括运,费和价格的总费用较低求,A,B,两地的售货区域的分界线的,曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择,购货地点,第,46,讲,要点探究,思路,建立适当的坐标系，设出符合某种条件的点，从而表,示出这一点与,A,和,B,两点的距离与费用,如果到,A,地购买比到,B,地购买总费用较低，则有：价格,A,地的运费价格,B,地的运,费,解答,以,A,B,所确定的直线为,x,轴,AB,的中点,O,为坐,标原点，建立如图所示的平面直角坐标系,第,46,讲