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1、复合函数常考题型复合函数常考的题型有:(1) 求解定义域问题(已知的定义域,求的定义域;已知的定义域,求的定义域; 已知的定义域,求的定义域)遵循等位等效性原则。(2) 判定函数单调性问题: 已知函数.若在区间 )上是减函数,其值域为(c,d),又函数 在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数在区间 )上是增 函数.遵循同增异减原则。一、复合函数定义域问题: (1)、已知的定义域,求的定义域例1. 设函数的定义域为(0,1),则函数的定义域为_。解析:函数的定义域为(0,1)即,所以的作用范围为(0,1)又f对lnx作用,作用范围不变,所以解得,故函数的定义域为(1,e)例2. 若函数,则
2、函数的定义域为_。答案:(2)、已知的定义域,求的定义域思路:设的定义域为D,即,由此得,所以f的作用范围为E,又f对x作用,作用范围不变,所以为的定义域。例3. 已知的定义域为,则函数的定义域为_。解析:的定义域为,即,由此得所以f的作用范围为,又f对x作用,作用范围不变,所以即函数的定义域为例4. 已知,则函数的定义域为_。 答案:(3)、已知的定义域,求的定义域思路:设的定义域为D,即,由此得,的作用范围为E,又f对作用,作用范围不变,所以,解得,F为的定义域。例5. 若函数的定义域为,则的定义域为_。解析:的定义域为,即,由此得的作用范围为又f对作用,所以,解得 即的定义域为。二、复合
3、函数单调性问题已知函数.若在区间 )上是减函数,其值域为(c,d),又函数在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数在区间 )上是增函数.例、证明:在区间)内任取两个数,使因为在区间)上是减函数,所以,记, 即因为函数在区间(c,d)上是减函数,所以,即,故函数在区间)上是增函数.复合函数的单调性是由两个函数共同决定 “同向得增,异向得减”或“同增异减”.复合函数的单调性判断例1、 求函数的单调区间,并用单调定义给予证明解:定义域 单调减区间是 设 则 = 又底数 即 在上是减函数 同理可证:在上是增函数例2、讨论函数的单调性.解由得函数的定义域为则当时,若,为增函数,为增函数.若,为减函数
4、.为减函数。当时,若,则为减函数,若,则为增函数.例3、.已知y=(2-)在0,1上是x的减函数,求a的取值范围. 答案:0a1或1a2例4、已知函数(为负整数)的图象经过点,设.问是否存在实数使得在区间上是减函数,且在区间上是减函数?并证明你的结论。解析由已知,得,其中 即, 解得为负整数,即 ,假设存在实数,使得满足条件,设,当时,为减函数,,当时, 增函数,.由、可知,故存在针对性课堂训练一、复合函数定义域问题部分1、 已知函数的定义域为,求函数的定义域。 答案:2、 已知函数的定义域为,求的定义域。 答案:3、 已知函数的定义域为,求的定义域。 答案:二、复合函数单调性问题: 1、函数y(x23x2)的单调递减区间是() 答案(2,) 2、找单调区间. (1); (2
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