第11讲概率统计模型数据拟合方法分解ppt课件

1、概率模型,概率模型,一）报童的诀窍 （二）航空公司的超额订票问题,确定性因素和随机性因素,随机因素可以忽略,随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现,随机因素影响必须考虑,随机模型,数学期望,离散型随机变量 X 的概率分布为,则随机变量 X 的数学期望值为,连续型随机变量 X 的概率密度函数为,则随机变量 X 的数学期望值为,期望值反映了随机变量取值的“平均”意义,报童的诀窍,问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，假设abc。即报童售出一份报纸赚a- b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不

2、够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入,1.确定设计变量和目标变量,2.确定目标函数的表达式,每天的总收入为目标变量,每天购进报纸的份数为设计变量,3.寻找约束条件,寻找设计变量与目标变量之间的关系,设计变量所受的限制,问题分析,若每天购进 0 份,则收入为 0,若每天购进 1 份,售出，则收入为 a-b,退回，则收入为 (b-c,若每天购进 2 份,售出1份，则收入为 a-b (b-c),退回，则收入为 2(b-c,售出2份，则收入为 2(a-b),收入还与每天的需求量有关，而需求量是随机变量,则收入也是随机变量，通常用均值，即期望表示,1 设每天购进 n 份，日平

3、均收入为 G(n,3 每天需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2,2 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,模型假设与符号说明,求 n 使 G(n) 最大,每天的收入函数记为U(n)，则,收入函数的期望值为,建模,将r视为连续变量,模型求解,使报童日平均收入达到最大的购进量,应满足上式,因为,售完的概率,因为当购进,份报纸时,是需求量,不超过,的概率,是需求量 超过,的概率,售不完的概率,上式意义为：购进的份数,之比，恰好等于卖出一份赚的钱,与退回一份赔的钱,之比,应该使卖不完与卖完的概率,根据需求量的概率密度,的图形可以确定购进量,在图中用,分别表示曲线,下的两块面积，则,当报童

4、与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多,结论,求解的几何意义,注意,求解技巧：连续化,建模方法：从特殊到到一般,归纳抽象,1998年B题 灾情巡视路线 单旅行商到多旅行商 1999年B题 钻井布局 网格的平行移动到旋转运动 2000年B题 钢管的订购与运输 线形到树形 2000年C题 飞越北极 球形到椭球形,人口模型，战争模型,随机变量的目标函数：期望值,航空公司的超额订票模型,利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是

5、多少,举例,查概率积分表得,航空公司的 预订票策略,西北大学数学系,1 问题的提出,航空公司为了提高经济效益开展了一项预订票业务。随之带来一系列的问题：若预订票的数量恰等于飞机的容量，则由于总会有部分已订票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员而利润降低，或亏本；若不限制订票的数量，那些本已订好了某家航空公司的某趟航班的乘客，却被意外地告知此趟航班已满，公司不管以什么方式补救总会引起乘客的抱怨，导致荣誉受损,西北大学数学系,试建立航空公司订票决策的数学模型，解决以上的问题,2 问题分析,公司的经济利益,公司的社会声誉,利润 = 收入-成本-赔偿金,已订票但被挤掉的乘客的数量,怎样确定预订票数量

6、限额，使得利润最大，同时被挤掉的乘客的数量尽可能小,问题转化为,以预订票数量为决策变量的双目标随机规划问题,西北大学数学系,订票策略,为了航空公司的经济利益与社会声誉，确定预订票的最佳数量,3 模型假设,飞机容量为常数 n，机票价格为常数 g，飞行 费用为常数 r。 机票价格按照 来制订，其中 是利润调节因子，如 表示飞机60%满员就不亏本,预订票数量的限额为常数 m(n) ，每位乘客不按时前来登机的概率为 p，各位乘客是否按时登机是相互独立的,每位被挤掉的乘客获得的赔偿金为常数b,西北大学数学系,4 模型建立,先不考虑社会声誉的影响。 公司的经济利益用平均利润（数学期望）S 来衡量,订票的总

7、人数是,有可能超出,航空公司可能从航班中得到的利润为,当有,个人误机时,西北大学数学系,个人误机的概率是 ，由假设2,平均利润 即 ( 数学期望值,设有,由,得,当 给定后，可以求 m 使 最大,西北大学数学系,西北大学数学系,考虑到社会声誉，应该要求被挤掉的乘客不能太多。 而由于被挤掉者的数量是随机的。 用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为衡量标准。 设被挤掉的乘客数超过 人的概率为 ，则,被挤掉的乘客数超过 j 人等价于m位预订票的乘客中不按时前来登机的不超过 m-n-j 人,从社会声誉和经济利益两方面考虑,n,m-n,j,m-n-j,西北大学数学系,所建模型为双目标的优化模型,模型变形,

8、航空公司综合考虑大量的因素，得出的临界人数大约是航班载客量的60%，即,西北大学数学系,西北大学数学系,计算一架载客量为300的飞机所能得到的预期利润，假设,5 模型求解,西北大学数学系,结果表明：当超额订票的乘客数分别为20和39时，可以达到 最大的预期利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率分别为 36%和54%。 当超额订票的乘客数分别为18和36时，可以达到较大的预期利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率却分别为20%和30,西北大学数学系,6 模型推广,1）酒店 酒店接受房间预订主要是建立在诚信之上，因此通常不会再 接受有过失信记录的顾客的预订。一些酒店在接受预订时会 要求顾客交纳押金

9、，以此来确保顾客住房的概率（施行这种 方案的一般是低价酒店，因为它们的周转资金往往不多）， 而另一些酒店则可能会给长期订房或是预付房费的顾客打折。 这种多价格系统的经营方式是可以考虑的,西北大学数学系,3）图书馆 图书馆都有可能购买一些畅销书籍的多种版本。特别是在 学院或大学图书馆里，时常购买一系列课本。某些版本极 有可能仅限在图书馆内，以方便学生们的使用。可以尝试 建立书籍使用的模型,2）汽车出租公司 汽车出租公司一般会保留固定数量的汽车（至少在短期内） 以出租给顾客。出租公司可能会为频繁租借汽车的顾客打折，以此来确保公司能有最低量的收入。而一些长期出租品（一次出租一周或一个月）也会标上优惠

10、的价格，因为这给出了一个至少确定了未来的一段日子会有收入的策略。在预 测一些车辆的预订可能会被取消的情况下，一间公司有可 能充分地留出比它们计划中要多的汽车,西北大学数学系,求解双（多）目标的优化模型 根据对多目标的偏好程度，通过加权组合形式，化为单目标规划问题。 把一个目标作为约束条件，解另一个目标的规划问题,7 注意,西北大学数学系,假设在某一高校里只有两类餐厅，一类是学校公办餐厅，另一类是私人的承包餐厅，通过调查发现，在公办餐厅就餐的学生有60%会回到这类餐厅，而在承包餐厅就餐的学生有50%的回头率，试建立数学模型求解学生在每类餐厅长期就餐的百分比,课堂练习,学生就餐问题,数据拟合方法,

11、最小二乘法,数据拟合建模,给定一组有序的数据点，这些点可以是从实验中测量得到的，也可以是设计员给出的,构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线,构造插值曲线所采用的数学方法称为曲线插值法,希望,测量所得或设计员给出的数据点本身就很粗糙，要求构造一条曲线严格通过给定的一组数据点就没有什么意义,注意到,构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点将更为合理，称之为对这些点进行曲线逼近,构造逼近曲线所采用的数学方法称为曲线逼近法,相应的有曲面插值（逼近）问题,常用的拟合方法有： 1、一般插值法 2、样条插值法 3、最小二乘法,最小二乘法的基本原理,在实验中收集

12、到一组数据,可以由这组数据分析出一个经验公式,其中 为一组待定参数，使得,取到最小值，从而确定出参数 的值,这样就得到由这组数据确定的拟合函数,假设我们预想到一个确定形式的模型，并且已经收集了数据并进行分析。在这里用最小二 乘准则来估计各种类型曲线的参数,拟合直线,用 记作 的最小二乘估计。这时运用最小二乘准则 ，则要求极小化,最优的必要条件是,改写为,将 和 的值全部代入，方程组就变为二元一次代数方程组,斜率,截距,例1 在钢线碳含量对电阻的效应研究中，得到以下数据,试求其线性拟合曲线 ，并估计在碳含量的这一改变过程中对电阻的总效应,对给定的数据点集用最小二乘准则拟合直线,设A与B最小二乘估

13、计为 a ，b,计算得,最小二乘近似模型为,利用Mathematics 软件，可得,拟合幂曲线,对给定的数据点集用最小二乘准则拟合 形式的曲线， 为确定的数，现在来估计 的值,即研究模型 的最小二乘估计,运用最小二乘准则要求极小化,最优的必要条件是,为确定的数,注意,类似的，可以将最小二乘准则用于其它模型。应用该方法的限制在于计算最优化过程中要求的各种导数，令这些导数为零，解这些方程组，求出模型类型中的参数,例2 用下表给出的数据拟合二次曲线,并预测 x=2.25时 y 的值,最小二乘估计 a ，由 确定,计算得,最小二乘近似模型为,由此模型可计算当 x=2.25 时，预测 y 的值为16.1

14、337,经变换的最小二乘拟合,例如，用最小二乘准则拟合模型,最优化的必要条件是,在理论上最小二乘准则很易应用，但在实践上可能是有困难的,研究模型的最小二乘估计,许多简单的模型会产生很复杂的求解过程，或者很难解的方程组。基于这一原因，我们要使用变换，得出近似的最小二乘模型,解这个非线性方程组是不容易的,通过对数据分析研究，发现先变换数据再对变换后的数据拟合直线很方便,例如，图形拟合 ，可以作变换,而对于 和x的图却是直线。对变换后的数据拟合直线，可用于最小二乘准则，简化拟合过程的计算,特别地，如果找到一个方便的变换，问题变成在变换后的变量X和Y间采用 的形式,方程两边取对数得,假设我们想对这数据

15、点集拟合幂曲线,用 记的估计， 记的估计,在变量对 的图中，上方程构成一条直线,是此直线的截距， 是此直线的斜率。用变换后变量和个数据点，有,对于数据,从所给的数据得到,所以方程的最小二乘最佳拟合为,产生,由此模型可计算当 x=2.25 时，预测 y 的值为16.4348,假设仍想对这数据点集拟合二次曲线,仍用 记的估计，对方程 两边取对数得,对于数据,在变量对 的图中，上方程是一条斜率为2 截距为 的直线。利用最小乘法计算得,所以方程的最小二乘最佳拟合为,由此模型可计算当 x=2.25 时，预测,思考,没有变量代换,经变量代换,这两个模型哪个更好,2001年全国大学生数学建模竞赛赛题A,血管的三维重建,曲 线 拟 合,2005年全国大学生数学建