第18课时二次函数的应用

1、第18课时 二次函数的应用,小题热身,C,2某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件 (1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？ (2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元,解：(1)一个月可获利(3020)1055(3025)800(元)； (2)设售价为每件x元时，一个月的获利为y元， 由题意，得y(x20)1055(x25) 5x2330 x4 6005(x33)2845， 当x33时，y的最大值是845， 故当售价定为每件33元时，一个月获利最大， 最大利润是845元

2、,一、必知2 知识点 1根据数量关系列函数解析式并求最大(小)值或设计方案 在生产和生活中，经常会涉及求最大利润，最省费用等问题，这类问题经常利用函数来解答，其步骤一般是：先列出函数解析式，再求出自变量的取值范围，最后根据函数解析式和自变量的取值范围求出函数的最大(小)值 2根据点的坐标，求距离、长度等 在实际问题中，有些物体的运动路线是抛物线，有些图形是抛物线，经常会涉及求距离、长度等问题，一般可以把它转化成求点的坐标问题,考点管理,智慧锦囊】 建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化， 充分运用三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解 决问题，充分运用几何知识、求解析式是

3、解题关键,二、必会2 方法 1建模思想 利用二次函数解决隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，确定抛物线的解析式，通过解析式解决一些测量问题或其他问题，构建二次函数模型是关键 2数形结合思想 数形结合是重要的数学思想，对于函数应用题，解答 选择题的关键是读懂函数图象，解答综合题的关键是运用数形结合思想，先求解析式；求运动过程中的函数解析式的关键是“以静制动”，抓住其中不变的量此类题型是中考的热点考题,三、必明1 易错点 在商品经营规划运营中，经常遇到求最大利润、最大销量等问题，解决此类问题的关键是，通过二次函数的解析式，确定其最值，并注意

4、实际问题的x值要使实际问题有意义,类型之一利用二次函数解决抛物线型问题,1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ (3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米,图181,解析】(1)先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求 出抛物线解析式； (2)由于抛物线的对称轴为直线x6，而隧道内设双向行车道， 车宽为4 m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或 (10，0)，然后计算

5、自变量为2或10的函数值； (3)计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平 距离最小值,图182,10,图183,点悟】利用二次函数解决抛物线型问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案,类型之二利用二次函数解决商品销售问题 2015邵阳为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系：y10 x1 200. (1)求出利

6、润w(元)与销售单价x(元)之间的关系式(利润销售额成本)； (2)当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元,解析】(1)根据“总利润单件的利润销售量”列出二次 函数关系式即可； (2)将得到的二次函数配方后即可确定最大利润 解：(1)wy(x40)(x40)(10 x1 200) 10 x21 600 x48 000； (2)w10 x21 600 x4 800010(x80)216 000， 则当销售单价定为80元时，该公司每天获得的利润最大， 最大利润是16 000元,12015梅州九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：

7、已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元 (1)请用含x的式子表示： 销售该运动服每件的利润是_元； 月销量是_件；(直接写出结果) (2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少,x60,4002x,2水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80 kg的钱，现在可买88 kg. (1)现在实际购进这种水果每千克多少元？ (2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y(kg)与销售单价x(元/千克)满足如图184所示的一次函数关系 求y与x之间的函数关系式； 请你帮王阿姨拿个主意，

8、将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润销售收入进货金额,图184 【解析】(1)设现在实际购进这种水果每千克a元，根据原来买这种水果80 kg的钱，现在可买88 kg列出关于a的一元一次方程，解方程即可,2)设y与x之间的函数关系式为ykxb，将(25，165)，(35，55)的坐标代入，解方程组即可求出y与x之间的函数关系式； 设这种水果的销售单价为x元/千克时，所获利润为w元，根据利润销售收入进货金额得到w关于x的函数关系式为w11(x30)21 100，再根据二次函数的性质即可求解,设销售利润为w元，则 w(x20)(11x440) 11(x30)21 1

9、00， 当x30时，w最大值1 100. 答：将这种水果的销售单价定为30元/千克时，能获得最大利 润1 100元,32014武汉九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1x90)天的售价与销量的相关信息如下表： 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元,1)求y与x的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，每天销售利润最大，最大利润是多 少？ (3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4 800元？请直接写出结果,x45时，y有最大值，最大值为6 050元， 当50 x90时，y120 x12 000， k1200， y随x的增大而减小，

10、当x50时，y有最大值，最大值为6 000元， x45时， 当天的销售利润最大，最大利润为6 050元； (3)41. 【点悟】利用二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到 的问题，解决这类问题是先求出两个变量的一次函数关系，再 求二次函数关系，然后转化为求二次函数的最值,类型之三二次函数在几何图形中的应用 2014成都在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图185所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设ABx m. (1)若花园的面积为192 m2，求x的值； (2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距 离分别是15 m和6 m，要

11、将这棵树围在 花园内(含边界，不考虑树的粗细)， 求花园面积S的最大值,图185,如图186，在ABC中，C90，BC5 m，AC12 m，M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1 m/s；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2 m/s，运动时间为t s. (1)当t为何值时，AMNANM? (2)当t为何值时，AMN的面积最大？并求出这个最大值,图186,解：(1)依题意有AMACCM12t，AN2t. AMNANM， AMAN，即12t2t， 解得t4，即当t4 s时， AMNANM,变式跟进答图,点悟】二次函数在几何图形中的实际应用是数形结合思想的应用，融代数与几何为一体，把代数问

12、题与几何问题相互转化，运用几何知识求解析式是解题关键二次函数与三角形、圆等几何图形结合时，涉及最大面积、最小距离等问题，往往需要建立函数关系式及运用函数的性质解题,喷水池里的学问 如图187，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的距离为1 m处达到距地面最大高度2.25 m，试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式 学生小龙在解答该问题时，具体解答如下,图187 以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图187所示的平面直角坐标系； 设抛物线水流对应的二次函数关系式为yax2； 根据题意可得B点与x轴的距离为1 m， 故B点的坐标为(1，1)； 代入yax2得1a1，所以a1,所以抛物线水流对应的二次函数关系式为yx2. 数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的” (1