八年级数学下册 2.2 一元二次方程的解法（第4课时） 浙教版

1、第2章 一元二次方程,2.2 一元二次方程的解法（第4课时,用公式法解一元二次方程,例1 用公式法解下列方程： （1） x2- x-1=0； （2）(x-2)(3x-5)=1,分析：要求使用公式法解一元二次方程，关键要把方程化为一般形式，弄清a，b，c的值. 第（1）小题为了计算方便可先把系数化为整数，然后再找出a，b，c的值；第（2）小题需先把方程化为一般形式后，再求解,解：（1）方程两边同乘5，得2x2-x-5=0. a=2，b=-1，c=-5，b2-4ac=(-1)2-42(-5)=41. x= ，x1= ，x2= ； （2）方程可化为3x2-11x+9=0. a=3，b=-11，c=9

2、，b2-4ac=(-11)2-439=13. x= ，x1= ，x2=,注意点：用公式法解一元二次方程的关键是先弄清方程中的a，b，c的值，当系数不是整数时，要先把系数化为整数，可使计算变得简单. 当原方程不是一般形式时，先要把它化为一般形式,变式：用公式法解下列方程： （1）x2-2x-8=0； （2）x2+2x-4=0； （3）2x2-3x-2=0； （4）3x(3x-2)+1=0,答案：（1）x1=4，x2=-2； （2）x1=-1+ ，x2=-1- ； （3）x1=2，x2=- ； （4）x1=x2=,一元二次方程的根的判别式,例2 （1）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数

3、根的方程是（ ） A. x2+1=0 B. 9x2-6x+1=0 C. x2-x+2=0 D. x2-2x-2=0 （2）已知关于x的方程x2-2(k-3)x+k2-4k-1=0. 若这个方程有实数根，求k的取值范围； 若这个方程有一个根为1，求k的值,分析：（1）根据根的判别式，若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac0，代入值判断即可；（2）若这个方程有实数根，则b2-4ac0；若这个方程有一个根为1，可将x=1代入方程求k的值,解：（1）D （2）由题意， 得b2-4ac=-2(k-3)2-4(k2-4k-1)0，化简，得-k+50. 解得k5. k的取值范围是k5. 将x=1代入方程

4、，得k2-6k+6=0. 解这个方程，得k1=3- ，k2=3+,注意点：根据方程根的情况求字母系数的取值范围，一般是利用判别式关于字母系数的不等式，解不等式求得范围,变式：若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（ ） A. m-1 B. m1 C. m4 D. m,答案：B,选择合适的方法解一元二次方程,例3 用适当的方法解下列方程： （1）3x+15=-2x2-10 x； （2）2x2-12x+9=0,分析：方程（1）可用因式分解法，方程（2）可用公式法,解：（1）3x+15=-2x2-10 x. 移项， 得3x+15+(2x2+10 x)=0. 因式分解， 得3(x+

5、5)+2x(x+5)=0，即(x+5)(3+2x)=0. 于是，得x+5=0，或3+2x=0. x1=-5，x2=- . （2）2x2-12x+9=0. a=2，b=-12，c=9， b2-4ac=(-12)2-429=72， x= ，x1=3+ ，x2=3-,注意点：解一元二次方程考虑所用方法的一般顺序是：先直接开平方法，再因式分解法，然后考虑配方法或公式法. 对于形如x2=p或(mx+n)2=p（p0）的方程，我们通常采用直接开平方法；对于一边是0，另一边易于分解成两个一次式乘积的一元二次方程，我们通常采用因式分解法. 配方法和公式法适合解所有的一元二次方程,变式：用适当的方法解下列方程（

6、直接写出方程的解和求解方程的方法）： （1）12x2- =0； （2）x2-2x-4=0； （3）5x2=9x+2； （4）5x2+2x=0,答案：（1）x1= ，x2=- . （开平方法） （2）x1=1+ ，x2=1- . （配方法） （3）x1=2，x2=- . （公式法） （4）x1=0，x2=- . （因式分解法,一元二次方程根的判别式的应用,例4 若a，b，c是ABC的三边长，且关于x的方程a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状,分析：应用一元二次方程根的判别式的性质确定三角形的三边a，b，c的关系,解：整理方程，得(a+b)x2-2cx

7、+(b-a)=0. 方程有两个相等的实数根， =0， 即(-2c)2-4(a+b)(b-a)=0，整理，得c2+a2-b2=0，即c2+a2=b2. 以a，b，c为边长的ABC是直角三角形,注意点：一般来说，让我们判定三角形的形状，那么这个三角形一般会是特殊三角形. 如果是从三角形的边出发，那么这个三角形要么是等腰三角形，要么是等边三角形，当然也有可能推出 =(a2+b2-c2)2=0这种结论，得到a2+b2=c2，那它就是直角三角形,例1 不解方程，判断方程的根的情况4x2-3x+1=2,错因：使用根的判别式时，必须先将方程整理求 ax2+bx+c=0（a0）的形式,正答：整理，得4x2-3x-1=0. a=4，b=-3，c=-1， b2-4ac=(-3)2-44(-1)=9+16=250. 原方程有两个不相等的实数根,错答：a=4，b=-3，c=1， b2-4ac=(-3)2-441=9-16=-70. 原方程没有实数根,错答：方程有实数根， b2-4ac= -4（k-1）30，解得k . k-10，解得k1. k的取值范围是k 且k1,例2 已知关于x的方程(k-1)x2+ x+3=0有实数 根，求k的取值范围,正答：方程有实数根， b2-4ac= -4（k-1）30. 解得k ， 又 是二次根式，则