动力学基本方程

1、动力学引,言,动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关,系,动力学中所研究的力学模型是,质点,和,质点系,包,括,刚体,质点,具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以,忽略不计的物体,质点系,由几个或无限个相互有联系的质点所,组成的系统,刚体,质点系的一种特殊情形，其中任意两个,质点间的距离保持不变，也称不变的质点系,工程实际中的动力学问题,棒,球,在,被,球,棒,击,打后，其速度的大,小和方向发生了变,化。如果已知这种,变化即可确定球与,棒的相互作用力,F,v,1,v,2,工程实际中的动力学问题,载人飞船的,交会与对接,A,v,1,B,v,2,工程实际中的动力学问题,航空航天,器,的姿态控,制,

2、牛顿及其在力学发展中的贡献,牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户,家中。在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲,改嫁了，他不得不靠他的外祖母养大,1661,年牛顿进入了剑桥大学的三一学院,1665,年获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了,当时的数学和光学,1665-1666,的两年期间，剑桥,流行黑热病，学校暂时停办，他回到老家。这段时间,中他发现了二项式定律，开始了光学中的颜色实验,即白光由,7,种色光构成的实验。而且由于一次躺在树,下看到苹果落地开始思索地心引力问题。在,30,岁时,牛顿被选为皇家学会的会员，这是当时英国最高科学,荣誉,牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由,7,

3、种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说,牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立,地发明了微积分，给出了二项式定理,牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自,然科学的最重要贡献是他的巨著自然哲学之数学原,理。这本书出版于,1687,年，书中提出了万有引力,理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人,将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学,第,15,章,动力学基本方程,15.1,动力学的基本定律,第一定律,惯性定律,不受力作用的质点，将保持静止或,作匀速直线运动,质点保持其原有运动状态不变的属,性称为,惯性,15.1,动力学的基本定律,第二定律,力与加速度关系定律,m,a,F,在经典

4、力学中质点的质量是守恒的,质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就,是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量,上式是推导其它动力学方程的出发点，称为,动力学基,本方程,质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点,的力的大小，加速度的方向与力的方向相同,d,d,m,t,v,F,15.1,动力学的基本定律,m,P,g,m,P,g,国际计量标准,g,9.80665,m/s,2,一般取,g,9.8,m/s,2,在国际单位制,SI,中，长度、时间、质量为基本量，它们的,单位以米,m,秒,s,和千克,kg,为基本单位。其它量均为导出,量，它们的单位则是导出单位,在地球表面，任何物体都受到重力,P,的作

5、,用。在重力作用下得到的加速度称为,重力加速,度,用,g,表示。由第二定律有,或,2,2,9.78049(1,0.0052884sin,0.0000059sin,2,g,为纬度,15.1,动力学的基本定律,必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点,的加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定,律不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系,称为,惯性坐标系,反之为,非惯性坐标系,第三定律（作用与反作用定律,两个物体间相互作用的作用力和反作用力总,是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时,分别作用在这两个物体上,以牛顿定律为基础所形成的力学理论称,为,古典力学,2,2,1,d,d,n,i,i,

6、m,m,t,r,a,F,2,质点运动微分方程在直角坐标轴上投影,2,2,2,2,2,2,1,1,1,d,d,d,d,d,d,n,n,n,xi,yi,zi,i,i,i,x,y,z,m,F,m,F,m,F,t,t,t,3,质点运动微分方程在自然轴上投影,2,t,n,b,1,1,1,d,0,d,n,n,n,i,i,i,i,i,i,v,v,m,F,m,F,F,t,1,矢量形式的质点运动微分方程,15.2,质点的运动微分方程,15.2,质点的运动微分方程,第一类基本问题,已知质点的运动,求作用在质点上的力,这类问题其实质可,归结为数学上的求导问题,第二类基本问题,已知作用在质点,上的力，求质点的运动,这

7、类问题其实质,可归结为数学上的解微分方程或求积分问,题,例,10.1,例,1,如图，设质量为,m,的质点,M,在平面,oxy,内运动，已知其运动,方程为,x,a,cos,w,t,y,a,sin,w,t,求作用在质点上的力,F,i,j,v,r,F,解,以质点,M,为研究对象。分析运,动：由运动方程消去时间,t,得,1,2,2,2,2,b,y,a,x,质点作椭圆运动。将运动方程对,时间求两阶导数得,2,2,cos,sin,x,a,t,y,b,t,w,w,w,w,代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为,2,2,cos,sin,x,y,F,mx,ma,t,F,my,mb,t,w,w,w,w,2,

8、2,2,2,2,cos,sin,cos,sin,x,y,F,F,ma,t,mb,t,m,a,t,b,t,m,x,y,m,w,w,w,w,w,w,w,w,w,F,i,j,i,j,i,j,i,j,r,力,F,与矢径,r,共线反向，其大小正比于矢径,r,的模，方向恒指向椭圆中心。这种力称为,有心力,y,x,x,b,a,O,M,例,10.3,例,2,从某处抛射一物体，已知初速度为,v,0,抛射角为,a,如不计,空气阻力，求物体在重力单独作用下的运动规律,0,v,v,m,g,解,研究抛射体,列直角坐标形式,的质点运动微分方程,2,2,2,2,d,d,0,d,d,x,y,m,m,mg,t,t,积分后得,x

9、,y,M,2,1,3,2,4,1,2,x,C,t,C,y,gt,C,t,C,初始条件,为,0,0,0,0,0,0,0,0,cos,sin,x,y,t,x,y,v,v,v,v,a,a,a,cos,0,t,v,x,2,0,2,1,gt,t,v,y,轨迹方程为,a,a,2,2,0,2,cos,2,v,gx,xtg,y,由此可见,物体的轨迹是一抛物线,于是物体的运动方程为,确定出积分常数为,1,0,2,0,3,4,cos,sin,0,C,v,C,v,C,C,a,a,15.3.1,刚体绕定轴的转动微分方程,1,2,n,F,F,F,r,r,r,L,L,主动力,约束力,2,1,N,N,F,F,2,t,et,

10、it,i,i,i,i,i,i,i,n,en,in,i,i,i,i,i,i,m,r,m,r,F,F,m,m,r,F,F,a,a,a,w,对刚体内任一质点,根据质点动力,学基本方程,第一式两边同时乘以,可得,i,r,et,it,i,i,i,z,i,z,i,m,r,r,M,F,M,F,a,r,r,对整个刚体则有,et,it,i,i,i,z,i,z,i,et,e,z,i,z,i,m,r,r,M,F,M,F,M,F,M,F,a,r,r,r,r,15.3.1,刚体绕定轴的转动微分方程,d,d,z,z,J,M,F,t,w,r,或,z,z,J,M,F,a,r,则有,2,2,d,d,z,z,J,M,F,t,r,

11、或,刚体定,轴,转动微,分方程,称为刚体对转轴,z,轴的转动惯,量,2,z,i,i,J,m,r,令,2,1,n,z,i,i,i,J,m,r,15.3.2,刚体对轴的转动惯量,1,简单形状物体的转动惯量计算,1,均质细直杆对一端的转动惯量,3,d,3,2,0,l,x,x,J,l,l,l,z,2,3,1,ml,J,z,l,m,l,由,得,4,2,0,2,d,2,4,R,O,A,A,R,J,r,r,r,2,2,2,mR,m,R,R,m,J,i,i,z,2,均质薄圆环对中心轴的转动惯量,2,d,i,i,i,A,m,r,r,3,均质圆板对中心轴的转动惯量,2,A,m,R,式中,2,2,1,mR,J,O,

12、或,15.3.2,刚体对轴的转动惯量,2,回转半径（惯性半径,m,J,z,z,2,z,z,m,J,或,2,C,z,z,J,J,md,3,平行轴定理,C,z,d,z,z,式中,轴为过质心且与,轴平行的轴,为,C,z,与,轴之间的距离,即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过,质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量,与两轴间距离平方的乘积,15.3.2,刚体对轴的转动惯量,2,2,1,1,C,z,i,J,m,x,y,2,2,2,y,x,m,r,m,J,i,i,z,2,1,2,1,d,y,x,m,i,i,i,i,m,d,y,m,d,y,x,m,2,1,2,1,2,1,2,证明,2,C,z,z,J,J,md,0,15.3.2,刚体对轴的转动惯量,4,组合法,O,J,求,l,d,已知：杆长为,质量为,圆盘半径为,质量为,1,m,2,m,盘,杆,O,O,O,J,J,J,2,1,3,1,l,m,J,O,杆,2,2,2,2,2,2,2,1,d,l,m,d,m,J,O,盘,8,3,2,2,2,ld,l,d,m,8,3,3,1,2,2,2,2,1,ld,l,d,m,l,m,J,O,解,15.3.2,刚体对轴的转动惯量