分析法和综合法

1、分析法和综合法一. 教学内容：几何证明的分析法与综合法专题讲座二. 教学目标： 1. 掌握证明一个命题的一般步骤。 2. 灵活掌握几何证明时常用的两种思考方法：分析法和综合法。 3. 掌握对一些较复杂的几何问题，能够采用“两头凑”的思考方法去寻求证明的途径。 4. 进一步培养学生的逻辑思维和推理论证的能力。三. 教学重点、难点：重点：掌握几何证明的分析法和综合法及两头凑的方法。难点：寻求证明的方法和途径。四. 几何证明方法指导： 1. 证明一个命题的一般步骤（1）按题意画出图形。（2）分清命题的题设和结论，结合图形，在已知一项中写出题设，在求证一项中写出结论。（3）探求证明途径。（4）在证明一

2、项中写出证明过程。 2. 证明命题正确的关键在于找出正确的证明方法或途径，这是最困难的，也正是我们力求研究和解决的问题。 3. 介绍两种几何证明时常用的思考方法：（1）分析法定义：要证明一个命题正确，为了寻找正确的证题方法或途径，我们可以先设想它的结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们的成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这样一种思维方法就叫做分析法。可简单地概括为：“执果索因”。意思就是：“拿着结果去寻找原因”。思路：举例说明其证明命题正确的思路：若要证明如下命题：“若A成立，则D成立。”用分析法思考时，其思路可如下图所示：（应从下往上看）

3、从结论开始，即从D开始往上寻求其成立的条件，假设C、C1、C2都能使D成立，再寻求其成立的条件什么能使C、C1、C2成立，设B、B1能使C成立，B2能使C1成立，B3、B4能使C2成立，这一切原因，固然都可使D成立，但究竟哪个是题设A的结果呢？检查之后，设发现B是，这样就由未知的D上溯到已知的A，因而就获得了证明的思路：DCBA，即D可由C得出，C又可由B得出，B又可由已知的A得出，至此显然命题得证。（2）综合法：定义：证明一个命题的正确时，我们先从已知的条件出发，通过一系列已确立的命题（如定义、定理等），逐步向前推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法，就叫做综合法。可简单地概括为：“由因导

4、果”，即“由原因去推导结果”。思路：要证明定理“若A成立，则D成立”，用综合法思考时，其思路可由下图所示：从已知条件开始，故从A开始推演，寻找可以到达D的思路，但由A所得的结果往往不止一个，可能有好多个。设B、B1、B2都是A的结果，同样由B、B1、B2又可得好多结果，设由B可得C、C1，B1可得C2，B2可得C3、C4，在这些C中，只要有一个能得出D即可，思考至此便可得到：ABCD这个证明的思路了。若C中还没有一个能得出D的，可如上一样，再往下寻求，直至能得出D为止。（3）分析法与综合法的特点：分析法的特点是从要证明的结论开始一步步地寻求其成立的条件，直至寻求到已知条件上。综合法的特点是从已

5、知条件开始推演，一步步地推导结果，最后推出要证明的结果。（4）分析法与综合法的优缺点：证几何题时，在思索上，分析法优于综合法，在表达上分析法不如综合法。分析法利于思考，综合法宜于表述，在解决问题中，最好合并使用。对于一个新问题，我们一般先用分析法寻求解决，然后用综合法有条理地表述出来。 4. “两头凑”的证题方法。对于一些较复杂的几何问题，我们可以采用“两头凑”的方法去寻求证明的途径。“两头凑”即先从已知条件出发，看可以得出什么结果，再从要证明的结论开始寻求，看它的成立需具备哪些条件，最后看它们的差距在哪里，从而找出正确的证题途径。【典型例题】 例1. 已知，如下图，1=2，3=4，AB=AC

6、求证：AE=AD分析法：先用分析法来分析此题。说明：分析法是从结论开始逐步往上逆求，最后归结到已知条件上，在书写证明时，为了叙述方便，往往还要逆过来，从已知条件开始叙述，因此下面写出如下证明过程：证明：1=21+BAC=2+BACBAD=CAE在ABD和ACE中ABDACE（ASA）AE=AD（全等三角形的对应边相等） 例2. 已知梯形ABCD的腰CD上有一点E，EA、EB分别平分DAB和CBA，则AB=AD+BC。分析：我们先用综合法思考此题：、证明：ABCD是梯形，CD是腰AD/BCDAB+ABC=180又EA、EB分别平分DAB和ABC AEB=180-（BAE+ABE） =180-90

7、=90在BA上截取BF=BC又BE=BE，EBF=EBCBEFBEC（SAS）BEF=BEC（全等三角形的对应角相等）FEB+AEF=90CEB+DEA=90AEF=AED在AFE与ADE中AEFAED（ASA）AF=ADAB=AF+BF=AD+BC 例3. 如图，ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC交AC于D，CEBD的延长线于E。 求证：BD=2CE。分析：我们用“分析法”的方法来分析此题。先由条件“BD平分ABC和CEBD”想到延长CE、BA相交于F，然后想到如下分析思路：下面再用综合法写出证明过程。证明：延长CE、BA相交于F在FBE和CBE中FBECBE（ASA）CE=EF

8、2CE=CF在RtBEF中，2=90-F在RtABC中，BAC=90，1=90-F1=2在ABD和ACF中ABDACFBD=CFBD=2CE 例4. 已知：梯形ABCD中，腰AB=DC，AC为对角线求证：AC2=AB2+ADBC分析：我们用“两头凑”的方法分析此题，分析过程如下：下面用综合法，写出证明过程。证明：作AEBC，DFBC在RtAEC和RtABE中根据勾股定理得： 梯形ABCD中，AB=DC，AEBC，DFBCBF=AD，BE=CF【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 如图，B、E、F、D在一条直线上，AB=CD，B=D，BF=DE求证：（1）DFCBEA（2）AFECEF 2. 已知ABC中，AB=AC，P为底边BC上任一点，PEAB，PFAC，BHAC，求证：PE+PF=BH。 3. 如图，已知：AB=AC，BE=EC求证：BD=DC 4. （1）如图甲所示，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边ABD和等边BCE，AE交BD于F，DC交BE于G，求证：AE=DC，BF=BG（2）如图乙所示，如果A、B、C不在一直线上，那么这时AE=DC和BF=BG是否仍然成立？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由。【试题答案】 1. 证明：（1）BF=DE即BE=DF在DFC与BEA中（2）