数列求和常用的

1、 数列求和常用的五种方法 数列求和常用的五种方法 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. )a?an()n?1n( 等差数列求和公式：1、 n1d?na?S1n22na1)(q?1? 2、等比数列求和公式：nqa?a)q1a(?S?n11n)q?1(?q1?1?q?n1? 3、 )n?1?k?n(Sn21k?n1? 、42)1nS?k2n(n?1)(n61?kn1? 、 523)S?k1?n(nn21?k1?已知 的前，求n项和. 例1n23?logx?xx?x?x?33log211? 解： 由 ， 由等比数列求和公式得?xlogx?xlog?log

2、2?3332log3211)(1?n)xx(1?121 =n32x?x?xx?Sn1nx1?21?2二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a b的前n项和，其中 a 、 b 分别是nnnn等差数列和等比数列. 例2 求和： 1n?32x1)?x5x?7x?(2n31?S?n解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比1n?x1n(2?)数列 的通项之积1?nx ?n1?12n? 当，2时?1xn2n?1?S?1?3?57?n2 当时x?1 设 n342x)?(2n?xS?1x?3x1?5x?7xn （设制错位） 得（错位 n1324n

3、?x?(2n?2x?2x2?x1?2x)?2x?1(?x)S?1n 相减）：得求和公式再利用等比数列的1n?x?1 nx)?121?x?(2n(1?x)S?nx?1n1n?)x(1)2n?1(2n?1)xx?( ?Sn2)x(1?的等比数列，a是首项为，数列例3.已知a，公比也为a1?aa?0,n 令? 。的前，求数列项和bN)?ba?lga(n?Snnnnnn 解析：nnaalgb?n?a?a,nn n32a?naalg?3a)?a?S?(?2n1?n234alga?naaS?(a?2a)?3n 得：-1nn2?a)aa?na?lg?a?a(1?)S(nalga? 。na1?n?Sna)1?

4、(n2)a?(1?是等差数列，则数列点评：设数列的等比数列，数列bann? bann 的前项和 求解，均可用错位相减法。Snn 三、反序相加法求和就是将一个数这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，. 列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)a(a?n1 11和）求，都有（1对任意例4函数。?f(x)f(1?x)?)f(x)(fRx?221n?1 )()?ffnn1n?12?，数2（）数列满足：的值；a)()?f(1)?f()a?f(0?f()?fnnnnn? 列是an164，），。给与证明（3列等差数吗？请?b?S?32nn1a?4nn222 试比较与的大小。STbT?

5、b?b?nnnn2111111n?111，可得解：（ 1）令,(f()?f?x?()?f)f)?()?f(1?4nnnn222112n? （2）)?f(1f()?ff(a?f0)?()?()?nnnn121n?n?2 )?(1?af()?f)?f)?f()f()0?f(nnnnn11n?1 )1?)(n?0f(?(?f)(a2?f0?(1)f)f()?f1)?(n2nn1n? ?an44111111 ，（3）)?1(?1?T16(?)?16?bnn222n?n1)?(?21?23nn2316 S?32?nn 四、分组法求和若将这类数列有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，适当拆开，可分为

6、几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再 . 将其合并即可111 n，项和：例5求数列的前2?,?1?1,?4,3n?7,?12n?aaa111 解：设)2?(?3n?)S?(1?1?(?4)?(?7)?n1?n2aaa 将其每一项拆开再重新组合得111 )n?2?)?(1?4?7?31S?(n1n2?aaa （分组）n)?1n?1)n(3n(3（分组 a1时， 当?S?nn22 求和）1?1n?1n1)a?(3n?an)(3n?a 时，当?1a?S?n12a?12?1a. n项和6例 求数列n(n+1)(2n+1)的前 解：设23k?3kk?k(k1)(2k?1)?2aknn? 23)?

7、(2k1)3?kkS?kk(?1)(2k?n11k?k? 将其每一项拆开再重新组合得 nnn? S（分组） 23k?k2k?3n1?1k?k?1k 233322)?n?1?n)?3(?2?n)?(12?12(?2?222)1?n(n)2)1nn(?1)(n?1?n(n(n?)n?12)(n ?2222 五、裂项法求和裂项法的实质这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 使之能消去一些项，然后重新组合，是将数列中的每项（通项）分解， 通项分解（裂项）如：最终达到求和的目的. ?1sin）2 （ （1） ?n)tan?tan(n1)(n?1)?f(a?fnn?)1ncoscos(n?2121n)1(111）4 ）（ 3 （?)a?1?(?a?nn1n?22n?1?1)(2n?1)2(2n1?1?)nnn(n1111 ）（5?a?n)2n?1n?2)2n(n?1)(n?)(1n(n?)(11?2n?12(n?1)n11 (6)?,则Sa?1nnnnn?n1n)1)n(n?1?n(n212)1)2(2n?2n?(n?111. 的前n 求数列项和7例 ?,?1?3n?21n21 （裂项） 解：设 n1?na?n1?n?n111 则（裂项求和） ?S?n1?3n1?2?n? 11?n?)1?(21)?(3?2)?(n?nn122，求数中，在数列例8 a，又?b?a?nnna?a1