平行线之间的动点问题

1、 平行线之间的动点问题平行线的判定与性质1.判定方法:(1) 同角相等,两直线平行;(2)内错角相等,两直线平行;(3)同旁内角互补,两直线平行;(4)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.2.性质:(1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补.3.相同点：平行线的判定和性质研究的都是两直线被第三条直线所截的图形，可以说这个图形是它们共同的、必备的前提条件。4.区别：平行线的性质和平行线的判定中的条件和结论恰好相反：平行线的“判定”，是为了判断两条直线是否平行，就要先研究同位角、内错角、同旁内角的数量关系，当知道了“同位角相等”或“内错角相等”

2、或“同旁内角互补”时，就可以判定这两条直线平行。它们是由“数”到“形”的判断。平行线的“性质”，是已经知道两条直线平行时，就可以推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的数量关系，即“平行线”这种图形具有的性质。它们是由“形”到“数”的说理。1、(1)光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有1=2，3=4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由(2)光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线O

3、C的夹角为42，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？(即求MN与水平线的夹角)(3)如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CDBAF=110，DCF=60，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t解：（1）平行理由如下：如图，3=4，5=6，1=2，1+5=2+6，ab；（2）入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，1=2，入射光线a与水平线OC的夹角为42，b垂直照射到井底，1+2=180-42-90=48，1=

4、48=24，MN与水平线的夹角为：24+42=66；（3）存在如图，AB与CD在EF的两侧时，BAF=110，DCF=60，ACD=180-60-3t=120-3t，BAC=110-t，要使ABCD，则ACD=BAF，即120-3t=110-t，解得t=5；此时（180-60）3=40，0t40，CD旋转到与AB都在EF的右侧时，BAF=110，DCF=60，DCF=360-3t-60=300-3t，BAC=110-t，要使ABCD，则DCF=BAC，即300-3t=110-t，解得t=95，此时（360-60）3=100，40t100，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，BAF=110，DCF

5、=60，DCF=3t-（180-60+180）=3t-300，BAC=t-110，要使ABCD，则DCF=BAC，即3t-300=t-110，解得t=95，此时t110，95110，此情况不存在综上所述，t为5秒或95秒时，CD与AB平行解析：（1） 根据等角的补角相等求出3与4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定ab；（2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得1=2，然后根据平角等于180求出1的度数，再加上42即可得解；（3）分AB与CD在EF的两侧，分别表示出ACD与BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解；CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别

6、表示出DCF与BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出DCF与BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解2、如图1，CE平分ACD，AE平分BAC，EAC+ACE=90(1)求证：ABCD；(2)如图2，由三角形内角和可知E=90，移动直角顶点E，使MCE=ECD，当直角顶点E点移动时，问BAE与MCD否存在确定的数量关系？并证明；(3)如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时(点C除外)CPQ+CQP与BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由当点Q在射线CD的反向延长线上运动时(点C除外

7、)CPQ+CQP与BAC有何数量关系？猜想结论，不需说明理由证明：（1）CE平分ACD，AE平分BAC，BAC=2EAC，ACD=2ACE，EAC+ACE=90，BAC+ACD=180，ABCD；（2）BAE+MCD=90；过E作EFAB，ABCD，EFABCD，BAE=AEF，FEC=DCE，E=90，BAE+ECD=90，MCE=ECD，BAE+MCD=90；（3）如图3：ABCD，BAC+ACD=180，QPC+PQC+PCQ=180，BAC=PQC+QPC；如图4：ABCD，BAC=ACQPQC+PCQ+ACQ=180，PQC+QPC+BAC=180解析：（1） 根据角平分线的性质可得

8、BAC=2EAC，ACD=2ACE，再由EAC+ACE=90可得BAC+ACD=180，进而得到ABCD；（2）过E作EFAB，证明EFABCD，可得BAE=AEF，FEC=DCE，再由E=90，可得BAE+ECD=90，进而得到BAE+MCD=90；（3）根据平行线的性质结合三角形内角和定理可得CPQ+CQP与BAC数量关系3、(1)如图1，AC平分DAB，1=2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；(2)如图2，在(1)的条件下，AB的下方两点E，F满足EBF=2ABF，CF平分DCE，若F的2倍与E的补角的和为190，求ABE的度数；(3)如图3，在前面的条件下，若P是BE上一点，G

9、是CD上任一点，PQ平分BPG，PQGN，GM平分DGP，下列结论：DGP-MGN的值不变；MGN的度数不变可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并值（1）答：ABCD证明：1=2，ABCD；（2）解：设ABF=x，则EBF=2x，ABE=ABF+EBF=x+2x=3x，根据三角形的内角和定理可得，E+EBF=F+ECF，根据三角形的外角性质，1=E+ABE=E+3x，ABCD，1=DCE，CF平分DCE，ECF=DCE=1=（E+3x），E+2x=F+（E+3x），整理得，2F-E=x，F的2倍与E的补角的和为190，2F+180-E=190，代入得，x+180=190，x=10，A

10、BE=3x=30；（3）解：如图，根据三角形的外角性质，1=BPG+B，PQ平分BPG，GM平分DGP，GPQ=BPG，MGP=DGP，ABCD，1=DGP，MGP=（BPG+B），PQGN，NGP=GPQ=BPG，MGN=MGP-NGP=（BPG+B）-BPG=B，根据前面的条件，B=30，MGN=30=15，DGP-MGN的值随DGP的变化而变化；MGN的度数为15不变解解析：（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可；（2）设ABF=x，则ABE=3x，根据三角形内角和定理整理得到E+EBF=F+ECF，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义表示出ECF=1，然后整理得到E、F的关

11、系式，再根据F与E的补角的关系列出等式，然后整理即可求出x，从而得解；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得1=BPG+B，再根据平行线的性质以及角平分线的定义表示出MGP、DPQ，根据两直线平行，内错角相等可得NGP=GPQ，然后列式表示出MGN=B，从而判定正确4、长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，OA=5，OC=3，点B在第三象限(1)求点B的坐标；(2)如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标；(3)如图2，M为x轴负半轴上一点，且CBM=CMB，N是x轴正半轴上一动点，MCN的平分线CD

12、交BM的延长线于点D，在点N运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由解：（1）四边形OABC为长方形，OA=5，OB=3，且点B在第三象限，B（-5，-3）（2）若过点B的直线BP与边OA交于点P，依题意可知：ABAP=OAOC，即3AP=53，AP=2OA=5，OP=3，P（-3，0），若过点B的直线BP与边OC交于点P，依题意可知：BCPC=OAOC，即5PC=53，PC=OC=3，OP=，P（0，-）综上所述，点P的坐标为（-3，0h或（0，-）（3）延长BC至点F，四边形OABC为长方形，OABCCBM=AMB，AMC=MCFCBM=CMB，MCF=2CMB过点

13、M作MECD交BC于点E，EMC=MCD又CD平分MCN，NCM=2EMCD=BME=CMB-EMC，CN7=NCF=MCF-NCM=2BMC-2DCM=2D，=解析：（1）根据第三象可点的坐标性质得出答案；（2）利用长方形OABC的面积分为1：4两部分，得出等式求出AP的长，即可得出P点坐标，再求出PC的长，即可得出OP的长，进而得出答案；（3）标先求出MCF=2CMB，即可得出CNM=部NCF=MCF-NCM=2BMC-2DCM，得出答案解：（1）四边形OABC为长方形，OA=5，OB=3，且点B在第三象限，B（-5，-3）（2）若过点B的直线BP与边OA交于点P，依题意可知：ABAP=O

14、AOC，即3AP=53，AP=2OA=5，OP=3，P（-3，0），若过点B的直线BP与边OC交于点P，依题意可知：BCPC=OAOC，即5PC=53，PC=OC=3，OP=，P（0，-）综上所述，点P的坐标为（-3，0h或（0，-）（3）延长BC至点F，四边形OABC为长方形，OABCCBM=AMB，AMC=MCFCBM=CMB，MCF=2CMB过点M作MECD交BC于点E，EMC=MCD又CD平分MCN，NCM=2EMCD=BME=CMB-EMC，CN7=NCF=MCF-NCM=2BMC-2DCM=2D，=解析：（1）根据第三象可点的坐标性质得出答案；（2）利用长方形OABC的面积分为1：

15、4两部分，得出等式求出AP的长，即可得出P点坐标，再求出PC的长，即可得出OP的长，进而得出答案；（3）标先求出MCF=2CMB，即可得出CNM=部NCF=MCF-NCM=2BMC-2DCM，得出答案5、如图，已知直线ABCD，A=C=100，E、F在CD上，且满足DBF=ABD，BE平分CBF(1)直线AD与BC有何位置关系？请说明理由(2)求DBE的度数(3)若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使BEC=ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由（1）ADBC证明：ABCD，A+ADC=180，又A=CADC+C=180，ADBC；（2）解：ABCD，ABC=1

16、80-C=80，DBF=ABD，BE平分CBF，DBE=ABF+CBF=ABC=40；（3）存在解：设ABD=DBF=BDC=xABCD，BEC=ABE=x+40；ABCD，ADC=180-A=80，ADB=80-x若BEC=ADB，则x+40=80-x，得x=20存在BEC=ADB=60解析：（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明ADC+C=180，即可证得ADBC；（2）由直线ABCD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得ABC的度数，又由DBE=ABC，即可求得DBE的度数（3）首先设ABD=DBF=BDC=x，由直线ABCD，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可

17、求得BEC与ADB的度数，又由BEC=ADB，即可得方程：x+40=80-x，解此方程即可求得答案6、已知直线l1l2，且l3、l4和l1、l2分别交于A、B、C、D四点，点P在直线AB上运动设ADP=1，DPC=2，BCP=3(1)如果点P在A、B两点之间时(如图)，探究1、2、3之间的数量关系(要求说明理由)；(2)此时，若1=30，3=40，求2的度数；(3)如果点P在A、B两点外侧时，猜想1、2、3之间的数量关系(点P和A、B不重合)(直接写出结论)解：（1）2=1+3，理由为：证明：过P作PMl1，如图所示：由l1l2，得到PMl2，1=DPM，3=CPM，2=DPM+CPM=1+3

18、；（2）1=3三，3=4三，2=1+3=7三；（3）3=1+2，理由为：证明：l1l2，3=4，又4为PDQ的外角，4=1+2，则3=1+2解析：（1）1、2、3之间的数量关系为2=1+3，理由为：过P作PM平行于l1，由l1l2，利用平行于同一条直线的两直线平行，得到PM平行于l2，由PM平行于l1，利用两直线平行内错角相等得到1=DPM，由PM平行于l2，利用两直线平行内错角相等得到3=CPM，而2=DPM+CPM，等量代换可得证；（2）将1和3的度数代入第一问的结论2=1+3中，即可求出2的度数；（3）1、2、3之间的数量关系为3=1+2，理由为：由l1l2，利用两直线平行同位角相等得到

19、3=4，又4为三角形PDQ的外角，利用三角形的外角性质得到4=1+2，等量代换可得证7、如图，已知两条射线OMCN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且C=OAB=108，F在线段CB上，OB平分AOF，OE平分COF(1)请在图中找出与AOC相等的角，并说明理由；(2)若平行移动AB，那么OBC与OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使OEC=2OBA？若存在，请求出OBA度数；若不存在，说明理由解：（1）OMCN，AOC=180-C=180-108=72，ABC=180-O

20、AB=180-108=72，又BAM=180-OAB=180-108=72，与AOC相等的角是AOC，ABC，BAM；（2）OMCN，OBC=AOB，OFC=AOF，OB平分AOF，AOF=2AOB，OFC=2OBC，OBC：OFC=；（3）设OBA=x，则OEC=2x，在AOB中，AOB=180-OAB-ABO=180-x-108=72-x，在OCE中，COE=180-C-OEC=180-108-2x=72-2x，OB平分AOF，OE平分COF，COE+AOB=COF+AOF=AOC=72=36，72-x+72-2x=36，解得x=36，即OBA=36解析：（1）根据两直线平行，同旁内角互补

21、可得求出AOC，ABC，再根据邻补角的定义求出BAM即可得解；（2）根据两直线平行，内错角相等可得OBC=AOB，OFC=AOF，再根据角平分线的定义可得AOF=2AOB，从而得到比值不变；（3）设OBA=x，表示出OEC，然后利用三角形的内角和定理表示出AOB、COE，再根据角平分线的定义根据AOB+COE=AOC列出方程求解即可8、已知，BCOA，B=A=100，试回答下列问题：(1)如图，求证：OBAC(2)如图，若点E、F在线段BC上，且满足FOC=AOC，并且OE平分BOF则EOC的度数等于_；(在横线上填上答案即可)(3)在(2)的条件下，若平行移动AC，如图，那么OCB：OFB的

22、值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值(4)在(3)的条件下，如果平行移动AC的过程中，若使OEB=OCA，此时OCA度数等于_(在横线上填上答案即可)（1）由BCOA得B+O=180，所以O=180-B=80，则A+O=180，根据平行线的判定即可得到OBAC；（2）由OE平分BOF得到BOE=FOE，加上FOC=AOC，所以EOF+COF=AOB=40；（3）由BCOA得到OCB=AOC，OFB=AOF，加上FOC=AOC，则AOF=2AOC，所以OFB=2OCB，（4）设AOC的度数为x，则OFB=2x，根据平行线的性质得OEB=AOE，则OEB=EOC+AOC=40+x，再根据三角形内角和定理得OCA=180-AOC-A=80-x，利用OEB=OCA得到40+x=80-x，解得x=20，所以OCA=80-x=60（1）证明：BCOA，B+O=180，O=180-B=80，而A=100，A+O=180，OBAC；（2）解：OE平分BOF，BOE=FOE，而FOC=AOC，EOF+COF=AOB=80=40；（3）解：不改变BCOA，OCB=AOC，OFB=AOF，FOC=AOC，AOF=2AOC，OF