指数与对数运算教案

1、指数与对数运算1.根式的性质 （1）当n为奇数时，有 （2）当n为偶数时，有（3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：(2)零指数幂 (3)负整数指数幂 (4)正分数指数幂 (5)负分数指数幂 (6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义3.有理指数幂的运算性质(1) (2) (3)4.对数运算性质：如果则1）； 2）；3）。4）对数换底公式：常用对数换底公式：一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1、log89log23的值是（）A、23B、1 C、32D、22、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（ ）A、1c=1a+

2、1bB、2c=2a+1b C、1c=2a+2bD、2c=1a+2b3、若a1，b1，p=logb（logba）logba，则ap等于（ ）A、1B、b C、logbaD、alogba4、设x=（log1213）1+（log1513）1，则x属于区间（）A、（2，1）B、（1，2） C、（3，2）D、（2，3）5、若32x+9=103x，那么x2+1的值为（）A、1B、2 C、5D、1或56、已知2lg（x2y）=lgx+lgy，则xy的值为（）A、1B、4 C、14D、14或47、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（）A、仅有一根B、有两个正根 C、有一正根和一个负根D、有两个负根8、如

3、果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7lg5=0的两根为、，则的值是（）A、lg7lg5 B、lg35 C、35 D、135二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9、（2n+1）222n14n=_；2log120.31=_；log0.2558=_10、log（21）（3+22）=_；log89log2732=_；（lg5）2+lg2lg50=_11、若f（x）=4x，则f1（4x）=_，若f（x）=ax12，且f（lga）=10，则a=_12、方程（4x+4x）2（2x+2x）+2=0的解集是_13、方程xlgx=10的所有实数根之积是_14、不查表，求值：lg5lg2+lg

4、223log321=_15、不查表求值：2log23+log（2+3）（32）2102+lg2=_三、解答题（共7小题，满分0分）16、若，求 及 的值；17、（1）已知log310=a，log625=b，试用a，b表示log445（2）已知log627=a，试用a表示log181618、化简：x1x23+x13+1+x+1x13+1xx13x13119、若、是方程lg2xlgx22=0的两根，求log+log的值20、解下列方程（1）logx+2（4x+5）log4x+5（x2+4x+4）1=0； （2）32x+5=53x+2+2；21、解关于x的方程（1）log（x+a）2x=2（2）lo

5、g4（3x）+log0.25（3+x）=log4（1x）+log0.25（2x+1）；（3）（3+22）x+（322）x=6； （4） lg（ax1）lg（x3）=122、若方程log2（x+3）log4x2=a的根在（3，4）内，求a的取值范围23、已知a0，a1，试求使方程loga（xak）=loga2（x2a2）有解的k的取值范围答案与评分标准一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1、log89log23的值是（）A、23B、1C、32D、2考点：对数的运算性质。分析：根据log89=23log23，从而得到答案解答：解：log89log23=23log23log23=23故选A

6、点评：本题考查对数的运算性质2、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（）A、1c=1a+1bB、2c=2a+1bC、1c=2a+2bD、2c=1a+2b考点：指数函数综合题。专题：计算题。分析：利用与对数定义求出a、b、c代入到四个答案中判断出正确的即可解答：解：由a，b，c都是正数，且3a=4b=6c=M，则a=log3M，b=log4M，c=log6M代入到B中，左边=2c=2log6M=lg36lgM，而右边=2a+1b=2lg3lgM+lg4lgM=lg324lgM=lg36lgM，左边等于右边，B正确；代入到A、C、D中不相等故选B点评：考查学生利用对数定义解题的能力，以及

7、换底公式的灵活运用能力3、若a1，b1，p=logb（logba）logba，则ap等于（）A、1B、bC、logbaD、alogba考点：指数式与对数式的互化。专题：计算题。分析：利用对数运算中的换底公式进行转化是解决本题的关键再利用对数式和指数式之间的关系进行求解解答：解：由对数的换底公式可以得出p=logb（logba）logba=loga（logba），因此，ap等于logba故选C点评：本题考查对数的换底公式的运用，考查对数式与指数式之间的转化，考查学生的转化与化归能力4、设x=（log1213）1+（log1513）1，则x属于区间（）A、（2，1）B、（1，2）C、（3，2）D、

8、（2，3）考点：对数的运算性质；换底公式的应用。专题：计算题；函数思想。分析：由题意把两个对数换成以13为底得对数，化简后合并为一个对数，再利用函数y=log13x的单调性，求出x的范围解答：解：由题意，x=（log1213）1+（log1513）1=log1312+log1315=log13110；函数y=log13x在定义域上是减函数，且12711019，2x3故选D点评：本题考查了换低公式和对数的运算性质的应用，一般底数不同的对数应根据式子的特点换成同底的对数，再进行化简求值5、若32x+9=103x，那么x2+1的值为（）A、1B、2C、5D、1或5考点：有理数指数幂的运算性质。专题：

9、计算题；换元法。分析：由题意可令3x=t，（t0），原方程转化为二次方程，解出在代入x2+1中求值即可解答：解：令3x=t，（t0），原方程转化为：t210t+9=0，所以t=1或t=9，即3x=1或3x=9所以x=0或x=2，所以x2+1=1或5故选D点评：本题考查解指数型方程，考查换元法，较简单6、已知2lg（x2y）=lgx+lgy，则xy的值为（）A、1B、4C、14D、14或4考点：对数的运算性质。分析：根据对数的运算法则，2lg（x2y）=lg（x2y）2=lg（xy），可知：x2+4y24xy=xy，即可得答案解答：解：2lg（x2y）=lg（x2y）2=lg（xy），x2+4y

10、24xy=xy（xy）（x4y）=0x=y（舍）或x=4yxy=14故选C点评：本题主要考查对数的运算性质7、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质。专题：数形结合。分析：方程log2（x+4）=2x的根的情况转化为函数图象的交点问题，画图：y1=log2（x+4），y2=2x的图象解答：解：采用数形结合的办法，画图：y1=log2（x+4），y2=2x的图象，画出图象就知，该方程有有一正根和一个负根，故选C点评：本题将零点个数问题转化成图象交点个数问题，数形结合是数学解题中常用

11、的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质8、如果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7lg5=0的两根为、，则的值是（）A、lg7lg5B、lg35C、35D、135考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；对数的运算性质。专题：计算题。分析：由题意知，lg，lg是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7lg5=0的两根，依据根与系数的关系得lg+lg=（lg7+lg5），再根据对数的运算性质可求得的值解答：方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7lg5=0的两根为、，lg，lg是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7lg5=0的两根，lg+l

12、g=（lg7+lg5），lg=lg35，的值是135故选D点评：本题是一元二次方程与对数运算交汇的题目，考查学生整体处理问题的能力，本题容易出现的错误是，误认为方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7lg5=0的两根为、，则=lg7lg5，导致错选A二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9、（2n+1）222n14n=212n；2log120.31=53；log0.2558=310考点：有理数指数幂的运算性质。分析：利用有理指数幂的运算化简（2n+1）222n14n，用对数性质化简后两个代数式解答：解：（2n+1）222n14n=22n+22n12n=212n2log120.31

13、=2log21031=2log253=53；log0.2558=log22235=310故答案为：212n，53，310.点评：本题考查有理指数幂的运算性质，对数的运算性质，是基础题10、log（21）（3+22）=2；log89log2732=109；（lg5）2+lg2lg50=1考点：对数的运算性质。专题：计算题。分析：第一个式子：找出3+22和21的联系，利用对数的运算法则求解即可；第二个式子：利用换底公式化为同底的对数进行运算，注意到8和32可化为2的幂的形式，9和27 化为3 的幂的形式第三个式子：2=105，50=510，都转化为lg5的形式，可得出结果解答：解：3+22=（2+

14、1）2=（21）2，所以log（21）3+22=log（21）（21）2=2；log89log2732=lg9lg8lg32lg27=2lg33lg25lg23lg3=109（lg5）2+lg2lg50=（lg5）2+lg105lg510=（lg5）2+（1lg5）（1+lg5）=1故答案为：2；109；1点评：本题考查对数的运算、对数的换底公式等知，属基本运算的考查在运算时，要充分利用对数的运算法则11、若f（x）=4x，则f1（4x）=x，若f（x）=ax12，且f（lga）=10，则a=10或1012考点：反函数；函数的值；对数的运算性质。专题：计算题。分析：（1）本题可由原函数f（x）

15、的解析式先求出反函数f1（x）的解析式，最后将自变量取值4x代入反函数f1（x）的解析式，结合对数函数运算性质可得答案，（2）由自变量求解函数值可得x与a的等式，进而用自变量x表示a后代入函数解析式，从而可得仅含变量x的方程，由此解出x的值解答：（1）由f（x）=4x得f1（x）=log4x，所以f1（4x）=log44x=x，故答案为x（2）令x=lga得 a=10x所以f（lga）=f（x）=（10x）x12=10x2x2=10=1012，故x212x=12解得x=1或12，代入a=10x，所以a=10或1012故答案为10或1012点评：第一小题主要考查反函数知识和对数函数的运算性质，是

16、对基础知识的考查，第二小题在考查函数值的基础之上，主要考查对数与指数之间的互化，以及指数幂运算性质，其中包括对解一元二次方程等基础的考查，难度较大12、方程（4x+4x）2（2x+2x）+2=0的解集是0考点：指数函数综合题。分析：本题形式可以观察出，此方程是一个复合函数型的方程，需要先解外层的方程，求出内层的函数值，再解内层方程，求出方程的解，并写成解集的形式解答：解：令t=2x+2x0，则4x+4x=t22原方程可以变为t22t=0，故t=2，或者t=0（舍）故有2x+2x=2即（2x）222x+1=0（2x1）2=02x=1即x=0故方程的解集为0故应填0点评：本题考查解指数与一元二次函

17、数复合的方程，所用的方法为换元法，此类方程的特点是由外而内，逐层求解13、方程xlgx=10的所有实数根之积是1考点：对数的运算性质。分析：方程两边取对数，化简方程，然后求解即可解答：解：方程xlgx=10的两边取常用对数，可得lg2x=1，lgx=1，所以x=10或x=110实数根之积为 1故答案为：1点评：本题考查对数的运算性质，是基础题14、不查表，求值：lg5lg2+lg223log321=3考点：对数的运算性质。分析：根据对数运算法则且lg5=1lg2，可直接得到答案解答：解：lg5lg2+lg223log321=1lg212lg2+32lg222=0故答案为：0点评：本题主要考查对

18、数的运算法则，属基础题15、不查表求值：2log23+log（2+3）（32）2102+lg2=190考点：指数函数综合题；对数函数图象与性质的综合应用。专题：计算题。分析：根据换底公式和对数的定义化简得到即可求出值解答：解：2log23+log（2+3）（32）2+102+lg2=2log23log222log（2+3）（2+3）11022=92200=193故答案为193点评：考查学生灵活运用换底公式的能力，运用指数函数和对数定义的能力三、解答题（共7小题，满分0分）16、（1）已知log310=a，log625=b，试用a，b表示log445（2）已知log627=a，试用a表示log1

19、816考点：换底公式的应用；对数的运算性质。分析：（1）先用换底公式用a表示lg3，再用换底公式化简log625=b，把lg3代入求出lg2，再化简log445，把lg3、lg2的表达式代入即可用a，b表示log445（2）先用换底公式化简log1816，由条件求出lg3，再把它代入化简后的log1816 的式子解答：解：（1）log310=a，a=1lg3，log625=b=2lg5lg2+lg3=22lg2lg2+lg3=22lg2lg2+1a，lg2=2aba（b+2），log445=lg452lg2=2lg3+lg52lg2=2lg3+1lg22lg2=2a+12aba（b+2）22a

20、ba（b+2）=3b+ab+44a2b（2）log627=a=3lg3lg2+lg3，lg3=alg23a，log1816=4lg22lg3+lg2=4lg22alg23a+lg2=124aa+3点评：本题考查换底公式及对数运算性质，体现解方程的思想17、化简：x1x23+x13+1+x+1x13+1xx13x131考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算。专题：计算题。分析：利用立方差，立方和公式，把3个分式的分子分别化成因式乘积的形式，然后化简，即可得到结果解答：解：x1x23+x13+1+x+1x13+1xx13x131=（x131）（x23+x13+1）x23+x13+1+（x13+1

21、）（x23x13+1）x13+1x13（x13+1）（x131）x131=x131+x23x13+1x23x13=x13点评：本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，是基础题18、若、是方程lg2xlgx22=0的两根，求log+log的值考点：对数的运算性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系。专题：计算题。分析：利用对数的原式法则化简方程；将方程看成关于lgx的二次方程，利用根与系数的关系得lg+lg=2，lglg=2；利用换底公式将待求的式子用以10为底的对数表示，将得到的等式代入求出值解答：解：原方程等价于lg2x2lgx2=0，是方程的两个根所以lg+lg=2，lglg=2所以l

22、og+log=lglg+lglg=（lg+lg）2lglglglg=4+22=3即log+log=3点评：本题考查对数的运算法则、考查二次方程根与系数的关系、考查对数的换底公式19、解下列方程（1）logx+2（4x+5）log4x+5（x2+4x+4）1=0；（2）32x+5=53x+2+2；考点：对数的运算性质；有理数指数幂的运算性质。专题：计算题；转化思想；换元法。分析：（1）应用对数换底公式，换元法，解一元二次方程，然后还原对数解答即可（2）直接换元，解一元二次方程，然后再解指数方程即可解答：解：（1）logx+2（4x+5）log4x+5（x2+4x+4）1=0化为logx+2（4x

23、+5）2logx+2（4x+5）11=0令t=logx+2（4x+5）上式化为：t2t1=0即t2t2=0解得t=1，t=2当logx+2（4x+5）=1时解得x=1或x=94都不符合题意，舍去当logx+2（4x+5）=2时有x2=1，解得x=1（舍去），x=1（2）32x+5=53x+2+2令t=3x+2上式化为3t25t2=0解得t=13（舍去），t=2即 3x+2=2 x+2=log32所以x=log322=log329点评：本题考查对数的运算性质，有理指数幂的运算，考查学生换元法，转化思想，注意方程根的验证，是中档题20、解关于x的方程（1）log（x+a）2x=2（2）log4（3

24、x）+log0.25（3+x）=log4（1x）+log0.25（2x+1）；（3）（3+22）x+（322）x=6；（4） lg（ax1）lg（x3）=1考点：对数的运算性质。专题：计算题。分析：利用等价转化思想将这些方程都转化为与之等价的代数方程，通过求解代数方程达到求解该方程的目的注意对数中真数大于零的特点（1）要注意对数式与指数式的转化关系；（2）利用对数运算性质进行转化变形；（3）注意到两项的联系，利用整体思想先求出整体，进一步求出方程的根；（4）利用对数的运算性质进行转化与变形是解决本题的关键注意对字母的讨论解答：解：（1）该方程可变形为2x=（x+a）2，即x=1a12a（当a1

25、2时），当x=1a12a时，x+a=112a0，故舍去因此该方程的根为x=1a+12a（当a12时），当a12时，原方程无根（2）该方程可变形为log43x3+x=log41x2x+1，即3x3+x=1x2x+1，整理得x27x=0，解出x=0或者x=7（不满足真数大于0，舍去）故该方程的根为x=0（3）该方程变形为（2+1）2）x+（21）2）x=6，即（2+1）x+（21）x=6，令t=（2+1）x，则可得出t+1t=6，解得t=322=（21）2，因此x=2该方程的根为2（4）原方程等价于&ax10&x30&ax1x3=10，由ax1x3=10得出ax1=10x30，该方程当a=10时没有根，当a10时，x=29a10，要使得是原方程的根，需满足ax10，且x30解出a（13，10）因此当a（13，10）时，原方程的根为x=29a10，当a（，1310，+）时，原方程无根点评：本题考查代数方程的求解，注意方程的等价变形，注意对数形式方程的真数大于零的特征，注意对所求的根进