高一数学人教版A版必修二课件：4.2.3 直线与圆的方程的应用

1、第四章 4.2 直线、圆的位置关系,4.2.3直线与圆的方程的应用,1.理解直线与圆的位置关系的几何性质； 2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题； 3.会用“数形结合”的数学思想解决问题,问题导学,题型探究,达标检测,学习目标,问题导学 新知探究 点点落实,知识点坐标法解决几何问题的步骤,用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示 问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过 ，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论,代数运算,返回,答案,题型探究 重点难点 个个击

2、破,类型一直线与圆的方程的应用,例1某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m.现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过,反思与感悟,解析答案,解建立如图所示的坐标系,依题意，有A(10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(5,0)，E(5,0). 设所求圆的方程是(xa)2(yb)2r2,所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2(y10.5)214.52(0y4). 把点D的横坐标x5代入上式，得y3.1. 由于船在水面以上高3 m,33.1， 所以该船可以从桥下通过,反思与感悟,解此方程组，得a0，b10.5，r14.5,反思与感悟,解决直线与圆的实际应用题的步骤： (1)审题

3、：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知； (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素； (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知； (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去,跟踪训练1如图，一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为_米,解析答案,解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖 直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C， 圆的方程设为x2(yr)2r2， 水面所在弦的端点为A，B，则A(6，2)， 将A(6，2)代入圆的方程，得r10， 圆的方程为x2(y10)2100. 当水面下降1米

4、后，可设点A(x0，3)(x00)， 将A(x0，3)代入圆的方程，得x0 ， 当水面下降1米后，水面宽为2x0 米,类型二坐标法证明几何问题,例2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD,解析答案,反思与感悟,证明以AB所在直线为x轴，O为坐标原点， 建立平面直角坐标系，如图所示， 设|AB|2r，D(a,0,圆O：x2y2r2,EF平分CD,反思与感悟,反思与感悟,1)平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下： 建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题 的几何元素，将实际或平面问题转化为代

5、数问题. 通过代数运算，解决代数问题. 把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论. (2)建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则： 若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴. 常选特殊点作为直角坐标系的原点. 尽量使已知点位于坐标轴上. 建立适当的直角坐标系，会简化运算过程,跟踪训练2如图，直角ABC的斜边长为定值 2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线 BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值,证明如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系， 于是有B(m,0)，C(m,0)，P(n,0)，Q(n,0). 设A(x，y)，由已知，点A在圆x2y

6、2m2上. |AP|2|AQ|2|PQ|2 (xn)2y2(xn)2y24n2 2x22y26n22m26n2(定值,解析答案,类型三直线与圆位置关系的应用,例3一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60 km处，受影响的范围是半径长为20 km的圆形区域(如图).已知港口位于台风中心正北30 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响,解析答案,反思与感悟,解建立如图所示的直角坐标系，取10 km为单位长度， 由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6,0)，(0,3,反思与感悟,即x2y60， 台风区域边界所在圆的方程为x2y24. 由点到直

7、线的距离公式，得圆心到直线的距离,所以直线x2y60与圆x2y24相离， 因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响,反思与感悟,针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题,返回,跟踪训练3设半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为31，问A、B两人在何处相遇,解析答案,返回,解由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立直角坐标系，如

8、图， 设A、B两人的速度分别为3v km/h，v km/h， 设A出发a h，在P处改变方向，又经过b h到达相遇点Q， 则P(3av,0)，Q(0，(ab)v)， 则|PQ|3bv，|OP|3av，|OQ|(ab)v. 在RtOPQ中，|PQ|2|OP|2|OQ|2得5a4b,由PQ与圆x2y29相切,1,2,3,达标检测,4,解析答案,1.一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过() A.1.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m,解析如图， 圆半径|OA|3.6，卡车宽1.6， 所以|AB|0.8,B,1,

9、2,3,4,解析答案,2.据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响.从现在起经过约_h，台风将影响A城，持续时间约为_h(结果精确到0.1 h,1,2,3,4,解析以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立直角坐标系， 则台风中心的移动轨迹是yx， 受台风影响的区域边界的曲线方程是(xa)2(ya)22502. 依题意有(300a)2a22502,从现在起经过约2.0 h，台风将影响A城，持续时间约为6.6 h,答案2.06.6,1,2,3,4,3.设村庄外围所在曲线的方程可用(x2)2(y3)24表示，村外一小路方程可用xy20表示，则从村庄外围到小路的最短距离为_,解析答案,1,2,3,4,解析答案,4.已知集合A(x，y)|xym0，集合B(x，y)|x2y21.若AB，则实数m的取值范围是_,解析如图， A(x，y)|xym0 表示直线xym0及其右下方区域， B(x，y)|x2y21表示圆x2y21及其内部， 要使AB，则直线xym0在圆x2y21的下方,规律与方法,1.利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数