《弹性力学》第十二章薄板弯曲

1、第十二章 薄板弯曲,第十二章 薄板弯曲,概述 第一节 基本假设 第二节 基本方程 第三节 横截面上的内力 第四节 薄板的边界条件 第五节 薄板弯曲的直角坐标求解 第六节 圆形薄板的轴对称弯曲 第七节 变分法求薄板的位移,薄板弯曲,概述,将坐标原点取于中面内的一点，x 和y 轴在中面内，z 垂直轴向下，如图所示,我们把平分板厚度的平面称为中面,当薄板受有一般载荷时，总可以把每一个载荷分解为两个分量，一个是垂直于中面的横向载荷，另一个是作用于中面之内的纵向载荷。对于纵向载荷，可认为它沿薄板厚度均匀分布，按平面应力问题进行计算。本章只讨论由于横向载荷使薄板发生小挠度弯曲所引起的应力、应变和位移,薄板

2、弯曲,第一节 基本假设,薄板小挠度弯曲问题，通常采用如下假设,1）板厚不变假设,即：在垂直于中面的任一条法线上，各点都具有相同的挠度,2）中面法线保持不变假设,垂直于中面方向的正应变 很小，可以忽略不计。 即 ，由几何方程得 ，从而有,薄板弯曲,在变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，并垂直于弯曲后的中面。即,4）应力 对变形的影响很小，可以略去不计。亦即认为,薄板弯曲,第二节 基本方程,按位移求解薄板弯曲问题。取薄板挠度 为基本未知量，把所有其它物理量都用 来表示,1）几何方程,在薄板的中面上取一微小矩形ABCD如图所示。它的边长为dx和dy，载荷作用后，弯成曲面ABCD。设A点的挠度为

3、，弹性曲面沿x和y方向的倾角分别为 和 ，则,薄板弯曲,B点的挠度为,D点的挠度为,对z进行积分，并利用 ，得,于是应变分量用 表示为,薄板弯曲,所以应变分量又可写成,薄板弯曲,薄板弯曲,2）物理方程,不计 所引起的应变，物理方程为,把应力分量用应变分量表示，得,薄板弯曲,上式说明，主要的应力分量 沿板的厚度线性分布,将应力分量用挠度 表示，得,薄板弯曲,将应力分量用挠度 表示的物理方程代入上式，并化简得,由于挠度 不随z 变化，且薄板在上下面的边界条件为,薄板弯曲,将前面二式对z 进行积分，得,再由平衡微分方程第三式，得,将 用挠度 表达式代入，并化简得,1,薄板弯曲,由于挠度 不随z 变化

4、，且薄板有边界条件,将（1）式对z 积分，得,设在薄板顶面上每单位面积作用的载荷q(包括横向面力和横向体力），板上面的边界条件为,将 的表达式代入该边界条件，得薄板挠曲微分方程,薄板弯曲,薄板挠曲微分方程也称为薄板的弹性曲面微分方程，它是薄板弯曲问题的基本微分方程,薄板弯曲,第三节 横截面上的内力,在薄板横截面上取一微分六面体，其三边的长度分别为 ,如图所 示。在垂直于x 轴的横截面上，作用着正应力 和剪应力 。由于 和 在板厚上的总和为零，只能分别合成为弯矩 和扭矩 ；而 只能合成横向剪力,显然，在垂直于x 轴的横截面上，每单位宽度之值如下,薄板弯曲,同理,薄板弯曲,将上节给出的应力分量与挠

5、度 之间关系代入，并积分 得,上式称为薄板弯曲问题中内力与变形之间的弹性方程,薄板弯曲,薄板弯曲,显然，沿着薄板的厚度，应力分量 的最大值发生在板面， 和 的最大值发生在中面，而 之最大值发生在载荷作用面。并且，一定载荷引起的应力分量中， 在数值上较大，因而是主要应力； 及 数值较小，是次要的应力；挤压应力 在数值上最小，是更次要的应力。因此，在计算薄板的内力时，主要是计算弯矩和扭矩,薄板弯曲,第四节 薄板的边界条件,以图示矩形板为例,1 固定边,假定OA 边是固支边界，则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即,2 简支边,假设OC 边是简支边界，则边界处的挠度和弯矩My,薄板弯曲,等于零,即

6、,由于,则简支边OC 边界条件可写成,薄板弯曲,3 自由边,板边CB 为自由边界，则沿该边的弯矩、扭矩和横向剪应力都为零，即,由于扭矩可以变换为等效的剪力，故第二及第三个条件可合并为,薄板弯曲,将Mx、Qx、Mxy与 的关系代入，得自由边界CB 的边界条件为,薄板弯曲,第五节 薄板弯曲的直角坐标求解,用位移法求解薄板弯曲问题，通常采用半逆解法。首先设定具有待定系数的薄板挠度 的表达式；其次利用薄板曲面微分方程和边界条件，确定待定常数；最后由挠度与应力分量的关系，求得应力分量,例1 试求边界固定的椭圆形薄板在承受均布载荷q 后的最大挠度和最大弯矩,解：在图示坐标下，椭圆薄板的边界方程为,薄板弯曲

7、,设挠度的表达式为,其中C为常数。设n为薄板边界外法线，则在薄板的边界上应有,注意到,显然所设挠度 的表达式满足固定边界条件,薄板弯曲,将挠度 的表达式代入弹性曲面微分方程,得,从而,内力,薄板弯曲,最大挠度为,薄板弯曲,例2 试求图示四边简支，承受均布载荷 的矩形薄板之最大挠度,解：取图示坐标系,设,则在x=0及x=a边界上，边界条件,自然满足,将 的表达式代入弹性曲面微分方程,薄板弯曲,得,将 展为傅立叶级数,薄板弯曲,薄板弯曲,挠度的表达式,若a=b，则,可见，在级数中仅取两项，就可以达到较高的精度,薄板弯曲,第六节 圆形薄板的轴对称弯曲,求解圆板弯曲问题时，采用极坐标较方便。如果圆形薄

8、板所受的横向载荷是绕z 轴对称的（z 轴垂直板面向下），则该弹性薄板的位移也将是绕z 轴对称的，即 只是r 的函数，不随 而变,一、弹性曲面微分方程,参照直角坐标下的弹性曲面微分方程。极坐标下，圆形薄板轴对称弯曲时，曲面微分方程可写成,或,薄板弯曲,二、内力,展开后得,该微分方程的通解为,其中 是任意一个特解,从薄板内取出一个微分单元体，图示。在 r 为常量的横截面上，弯矩和横向剪力分别为Mr 和 ；在 为常量的横截面上，则为 和 。由于是轴对称问题，故没有扭矩,薄板弯曲,把x 轴和y 轴分别转到这个微分单元体的r 和 方向，则利用坐标转换公式，有,薄板弯曲,三、应力分量,利用坐标转换公式，同

9、理有,将应力分量用内力表示有,薄板弯曲,例3 半径为a的实心圆板，周边固支，受均布载荷 及圆心处的集中力P 作用，求挠度,解：由题意知，本题为圆板轴对称弯曲，挠曲线方程为,取特解,知通解为,由实心圆板中心处的挠度 应有界知,从板中取出半径为r 的部分圆板，由z方向的平衡条件给出,薄板弯曲,由 得,由 得,故板的挠度,薄板弯曲,第七节 变分法求薄板的位移,薄板小挠度弯曲时， 为微量，可略去不计。此时弹性薄板的变形能,用挠度 表示,薄板弯曲,其中A为薄板面积,对于板边固定的任意形状板，以及板边界处 的多边形（板中无孔洞），由分步积分公式得,对于固定板， 即,对于沿板边 的矩形板，总有 或,因此,薄

10、板弯曲,即弹性板的变形能简化为,例4 求四边简支矩形板 在均布载荷 作用下的挠度,解：用里兹法。取板的挠度为如下重三角级数,薄板弯曲,在均布载荷 作用下，外力势能V 为,总位能,薄板弯曲,由此得出,故,薄板弯曲,练习12.1 矩形薄板具有固定边OA，简支边OC及自由边AB和BC，角点B处有链杆支承，板边所受荷载如图所示。试将板边的边界条件用挠度表示,x,y,z,M0,q,o,A,C,B,a,b,解：（1）OA边,2）OC边,后一式用挠度表示为,薄板弯曲,3）AB边,用挠度表示为,4）BC边,薄板弯曲,用挠度表示为,5）在B支点,薄板弯曲,练习12.2 有一块边长分别为a 和b 的四边简支矩形薄板，坐标如图所示。受板面荷载 作用，试证 能满足一切条件，并求出挠度、弯矩和反力,x,y,z,o,a,b,解： 不难验证 能满足所有简支边,的边界条件，由挠曲面方程,可确定 ，从而求出挠度、弯矩和反力,薄板弯曲,薄板弯曲,薄板弯曲,练习12.3 有一半径为a 的圆板，在 r=b 处为