流体力学教材

1、第3章 流体运动学本章从几何的观点研究流体的运动，不讨论运动产生的动力学原因。3.1 流动图形观察为了对流体的运动有一个感性认识，下面观察几种典型的流动。1. 雷诺（Reynolds）实验早在1883年，英国物理学家O. Reynolds就对圆管内的粘性流体运动进行了实验。雷诺试验装置如图3.1.1。水流通过水平放置的玻璃圆管从水箱中流出。我们用小口径滴管从上游注入红墨水来观察管内水流的流动状态。管流速度很慢时，红墨水沿着管轴线平稳流动，成为一条直线，如图3.1.1a所示。这时红墨水的形状反映管中水流是沿管轴一层层平稳的流动的，这种流动状态称为层流。随着水流速度的逐渐加大，红墨水所形成的细线开

2、始出现波动，如图3.1.1b所示。这种波动表明管中水流已不稳定，水流不仅有沿管轴方向的分速度，而且还产生了垂直于轴线方向的分速度，水流从层流的流动状态开始过渡为另一种流动状态。当水流速度增大超过某一数值后，红墨水很快和水流混杂在一起，如图3.1.1c所示。这时流体各部分之间相互混和，除了沿管轴的速度外，还产生了不规则的各个方向的脉动速度，这种流动状态称为湍流，亦称紊流。雷诺实验表明：粘性流体运动存在两种不同的流动状态层流和湍流。Reynolds用各种不同管径的圆管重复了上述实验，结果发现流动由层流至湍流的转变不仅仅取决于管内的流速，而是与管内平均流速U，圆管直径d，流体密度以及流体粘性系数等4

3、个物理量组成的无因此数 （3.1.1）有关。为纪念Reynolds的这一发现，这个无因次数就称为Reynolds数，一般以符号Re表示。由层流转变成湍流时的Reynolds数称为临界Reynolds数，一般用来表示。Reynolds当时从实验求出的，工程中通常取2000。必须指出，并不是一个确定的常数，它是随圆管入口处水流的扰动大小等实验条件不同而有所变化的。扰动大，就低；反之扰动小，就高。Reynolds以后许多研究者的大量试验表明，可以在很大的范围内变动，例如若仔细设计圆管入口形状可以减小扰动。竟可高达上述数字的十倍乃至数十倍，有人曾成功地把它提高至40000，它是否存在上限，现在还不清楚

4、，当然我们不能就此而怀疑它的存在。但的下限确实存在，其值与Reynolds的实验值2300大致相符，Re低于这一下限，扰动能随时间自然衰减，流动处于稳定的层流状态，Re高于这一下限的层流是不稳定的，稍有扰动就立即会转变成湍流。由层流至湍流的转变是可逆的，就是说如果圆管内的流动一开始便是湍流，当逐步降低管内流速时，可以在某一Re使湍流回复到层流状态，所以我们可以把作为判断粘性流体流动是层流还是湍流的准则。为层流，为湍流。Renolds数有着鲜明的物理意义，它表示流体运动中惯性力与粘性力之比。Re愈大，流体粘性所影响的范围就愈小。的极限情况就是理想流体。2. 烟风洞试验烟风洞是利用烟流法观察空气流

5、过物体的流动图形的设备，见图3.1.2所示。用电阻丝将矿物油加热，或用其它方法产生烟，然后通过等距离分布的并排金属管将烟引入烟风洞中。这些管子装在物体前面，气流带着烟流过物体，这些烟便明显的使人看出气流的流动。图3.1.3 (a)，(b)，(c)，(d)为同一机翼不同攻角时的流动图形。流动图形的特点是：流体流过机翼时，烟流变密，流速加大，压力降低。机翼前部烟流分叉的地方称为驻点，该点速度为零。在物体尾部某一区域烟流被冲散，这里流动极不规则，称为尾迹或尾涡区。随着攻角的增大，机翼上面的烟流变密，下面的烟流变稀，上面流速变大，压力降低，而下面流速变小，压力增大。上下两表面的压力不能相互平衡，产生了

6、向上的压力差，即升力。攻角愈大，上下两表面烟流的稀密程度相差愈大，压力相差愈大，因而升力愈大，同时机翼后部的尾涡区也变宽。当攻角增大至某一值后，机翼背面尾涡区过于扩大，旋涡的脱落和运动使机翼产生剧烈的振动，同时升力迅速降低，阻力急剧增大，这种现象称为“失速”。3. 卡门涡街将一圆柱体垂直放入水槽中，在圆柱体前面撒上白色漂浮物，可以观察水流的流动图形。观察发现，在水流流速很慢时，将出现两个粘附在圆柱体后面的对称的漩涡。当水流速度增大到某一数值范围后，在圆柱体后面形成两列交错排列，转向相反，周期性的漩涡，其图形如图3.1.4所示，称为卡门涡街。电线在风中发声，潜艇的通气管在水中抖颤并发出噪声，都是

7、由于卡门涡街的存在而引起的。 通过以上试验现象，我们对流体的运动状态有了一定的感性认识，接下来我们将借助拉格朗日方法和欧拉方法对流体的运动作进一步的研究。3.2描述流体运动的两种方法描述流体的运动有两种方法：拉格朗日（Lagrange）法和欧拉（Euler）法。3.2.1 拉格朗日（Lagrange）法拉格朗日法着眼于流体质点，它的基本思想是：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化。拉格朗日法是离散质点运动描述方法在流体力学中的延续。 由于流体质点是连续分布的，肉眼无法区分，因此要研究某个确定的流体质点的运动，就必须有一个表征这个质点的办法，以使它和其它的质点区分

8、开来。通常以流体质点在初始时刻时的空间坐标作为区分不同流体质点的标志。取不同值表示不同的流体质点。将初始时刻坐标和时间变量称为拉格朗日变数，则流体质点的位移、温度、压力等物理量是拉格朗日变数的函数， （3.2.1）流体质点的位移函数描绘的就是质点的轨迹。因此，流体质点的速度是位移对时间的导数 （3.2.2）加速度为 （3.2.3） 因为拉格朗日坐标（）对指定的流体质点是常量，与时间无关，因此上面位移和速度对时间的导数是偏导数而不是全导数。在上面三个表示式中（）取不同的值，表示不同流体质点的物理量随时间的变化。 （拉格朗日法侧重于对流体质点细节的描述），例如，描述各流体质点在运动过程中所走的路径

9、如何，在运动过程中各物理量是如何变化的等等。但多数情况下我们更关心由不同流体质点所占据的固定空间点上的物理量。例如，求航行的船体表面上的压力分布时，我们不需要跟踪流体质点，而是着眼于船体表面上的固定空间点，这时拉格朗日法就不方便了。3.2.2 欧拉（Euler）法 欧拉法着眼于空间点，又称空间点法。它的基本思想是：考察空间每一点的物理量及其变化。 空间点坐标和时间变量称为欧拉变数，欧拉法中空间任一点的物理量是欧拉变数的函数，如 ， （3.2.4）被流体所占据的空间称为流场。可见欧拉法是一种场的方法，（3.2.4）式分别表示流场的速度分布、密度分布和压力分布，或称为速度场、密度场和压力场。因此，

10、欧拉法中可以借助于场论知识研究流动问题。 流体质点和空间点是二个完全不同的概念，它们既有区别，又有联系。流体质点是大量分子构成的流体团，而空间点是没有尺度的几何点。所谓空间一点的物理量就是指占据该空间点的流体质点的物理量，所谓空间点上物理量对时间的变化率就是占据该空间点的流体质点的物理量对时间的变化率。3.2.3 质点导数流体质点的物理量对时间的变化率称为该物理量的质点导数。 对于Lagrange法，给出的就是流体质点的运动和物理量，故任一流体质点所具有的物理量的质点导数就等于该物理量对时间的偏导数。当时 （3.2.5）就是质点的加速度。 对Euler法而言，给出的是物理量在空间的分布，对于一

11、个确定的空间点，在不同时刻被不同的流体质点所占据，故不能简单的将质点导数理解为物理量对时间的偏导数，下面推导欧拉法中质点导数的表示式。ByxM图3.2.1 如图3.2.1所示，设时刻位于空间点上流体质点的速度为，具有物理量，经时间，该质点经一段距离，运动到点，物理量成为。根据质点导数的定义，物理量的质点导数为 （3.2.6）利用Taylor级数展开式有 将上式代入（3.2.6）式右端，并略去高阶项得 （3.2.7）或 （3.2.8）这就是用欧拉法表示的物理量的质点导数，也称物质导数。称为质点导数算子= （3.2.9） 由（3.2.8）式可见，欧拉法的质点导数由两部分组成： 称为局部导数，表示在

12、一固定空间点，由于时间的变化而引起物理量的变化。它反映了流场的不定常性。若物理量不随时间而变，则=0。 称为迁移导数或对流导数，表示在同一时刻，由于空间位置的变化而引起物理量的变化，它反映了流场的不均匀性。若物理量在空间上均匀分布，则。 在 以上推导中，为任意物理量。当时，为欧拉法的质点加速度，即 （3.2.10）式中为当地加速度或局部加速度，为迁移加速度或对流加速度。类似地当时，密度的质点导数为 （3.2.11）为应用方便，下面给出质点加速度（3.2.10）式在直角坐标、柱面坐标和球坐标系中的表示式： 直角坐标系（）中 （3.2.12）柱坐标系中，利用（0.7.16）式，代入得 （3.2.1

13、3）球坐标系中，代入得 （3.2.14） 其中。 拉格朗日法和欧拉法的转换Lagrange法和Euler法是从不同的着眼点来表达流体的运动，它们之间可以相互转换。下面以速度为例给出 的转化。 1. Lagrange法转变到Euler法Lagrange法表示的质点位移方程式（3.2.1）在直角坐标系中为 （3.2.15） 由于时，因此上式表示在以后任意时刻质点的位置与该质点初始时刻位置是一一对应的连续函数关系，因此式（3.2.15）必存在反函数 （3.2.16）将上式代入（3.2.2）式，就得到了用Euler变数表示的速度分布 （3.2.17）2. Euler法转换到Lagrange法欧拉法中通

14、过点的流体质点的轨迹为，由Euler变数表示的速度场（3.2.17）式，有 （3.2.18）积分得通解 （3.2.19）其中积分常数由初始条件确定。若时，则 （3.2.20）由上式可得,将它们代入（3.2.19）式，即得Lagrange变数表示的位移方程式（ 3.2.15），再将其代入（3.2.17）式即得拉格朗日变数表示的速度分布。 例3-1 已知Lagrange变数下的速度表达式为， ，时，。试求：（1）时的质点分布；（2）流体质点的运动规律；（3）Lagrange变数表示的质点加速度；（4）Euler变数表示的速度和加速度。 解（1）由关系式（3.2.2）得 ， （a）积分得轨迹方程 ，

15、 （b）将已知的初始条件时代入（b）式，得 ，则轨迹方程（b）式成为 ， （c）代入得流体质点的分布规律为 ， （2）在（c）式中代入，得质点的运动轨迹方程 ， （3）对已知的速度分布求偏导，得加速度 （d）（4）将轨迹方程（c）的逆函数 ， （e）代入已知的Lagrange速度表示式，得Euler变数下的速度分布 ， （f）再将（e）式代入（d）式，得Euler变数下的加速度， （g） Euler法的加速度也可以利用（3.2.10）对式直接求解，读者可自己完成。3.3描述流体运动的基本概念 3.3.1 定常流动和非定常流动 流体在运动过程中，若物理量不随时间而变，则称为定常流动，否则称为非定

16、常流动。在定常流动中，物理量仅是空间坐标的函数 （3.3.1）它的局部导数等于零，即。 流动是否定常与所选取的参考坐标系有关。例如，一艘小船在平静的湖面上作等速直线滑行时，站在船上的观察者（坐标系取在船上）看到船体周围的流动是定常的。而站在岸上（坐标系在大地上）的观察者看到的某一固定区域的流动却是非定常的，因为船经过该区域时，流动受扰而随时间变化。 3.3. 2 均匀流动和非均匀流动流体在运动过程中，若物理量均不随空间位置而变，则称为均匀流动或均匀场，否则称为非均匀流动或非均匀场。在均匀流动中，物理量仅是时间的函数 （3.3.2）它的迁移导数。3.3.3 平面流动和轴对称流动流体是在一定空间域

17、运动的，也就是说都属于三维空间流动。平面流和轴对称流是两种特殊的三维流动。 1. 平面流动如果能在流场中作出一个相互平行的平面族，使得每个流体质点都只在一个对应的平面内运动，并且所有这些平面上对应点的流动情况相同，这样，只要知道平面族中任意一个平面上的流动情况，就可以知道整个流场的流动情况。若令直角坐标系或柱坐标系的轴垂直于平行平面族，则流场的物理量与无关 （3.3.3）流线流线yQzpDQyz图3.3.1这种流动称为平面流动或二维平面流动。例如，流体沿垂直于轴线方向绕过无限长圆柱体和机翼（见图3.3.2）的流动就是平面流动。 2. 轴对称流动POrz图3.3.1 如图3.3.2所示，以轴为轴

18、线作子午面，若流场中所有流体质点都只在对应的子午面上流动，并且所有午面上对应点的流动情况相同，这样，只要知道任意一个子午面上流体的流动情况，就可以知道整个流场的流动情况。如图3.3.2所示的柱面坐标系和球面坐标系中，流动的物理量只是空间坐标或和时间的函数， （3.3.4）图3.3.2这种流动称为轴对称流动。它也是一种二维流动。例如，绕圆球的流动就是轴对称流动。 3.3.4 迹线和流线 1. 迹线流体质点的运动轨迹称为迹线。Lagrange法中位移函数（3.3.1）式 （3.3.5）就是质点的轨迹线方程，给定Lagrange变数就得到该质点的迹线。 Euler法中质点迹线需由速度场积分求出。若给

19、定Euler速度场，流体质点经过时间移动了距离，则该质点的迹线微分方程为 （3.3.6）直角坐标系中为 （3.3.7）其中表示质点的坐标，它是时间的函数。式（3.3.7）是由三个一阶常微分方程构成的方程组，给定起始时刻时质点的坐标，积分（3.3.7）式即得该质点的迹线方程。 2. 流线流线是速度场的矢量线。在任意时刻，它上面每一点处曲线的切向量都与该点的速度向量相切。如烟风洞实验中的烟流就是流线。 根据流线的定义（见矢量线的表示式（0.1.2），得流线的微分方程式为 （3.3.8）在直角坐标系中为 （3.3.9）其中时间为参数，积分时作常数处理，表示t时刻的流场的速度分布情况。式（3.3.9）

20、是由两个一阶常微分方程构成的方程组，积分得流场的流线谱，积分常数取不同的值表示不同的流线。 流线具有如下几个性质： （1）对于非定常流场，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重合，对于定常流场，任何时刻通过同一空间点的流线都是相重合的。（2）同一时刻，过空间一点只有一条流线，这是因为同一时刻流场中一点处的速度只有一个值。换句话说，流线不能相交（速度等于零的驻点和速度等于无限大的奇点除外）。（3）流线直观地描绘了流场的速度分布，流线的走向反映了流速方向，流线的疏密程度反映了流速的大小分布见3.5.1节。 迹线和流线都是用来描述流场几何特性的，它们最基本的差别是：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲

21、线，与拉格朗日观点相对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与欧拉观点相对应。在定常运动中，流线与迹线重合。 例3-2 已知流场的速度分布为，试求：（1）时过点的流线，（2）时位于点的流体质点的迹线。 解（1）： 由流线微分方程（3.3.9）式得 （a）即 （b）将时间变量作为常参数，积分（b）式得 （c）其中是积分常数，取不同值表示流场中不同的流线。依题意，将，代入上式确定常数，得时过点的流线方程 （2）：由（3.3.7）式得轨迹的微分方程 由得将其代入（d）式中，积分得 （e）式中和为积分常数，取不同值对应于不同的流体质点迹线。由初始条件，得。因此时位于点的质点的迹线参数方程

22、为 （f）c(a)c(b)图3.3.3也可以消去（f）式中的时间变量，得到该质点在连续时间内描绘的迹线方程 3.3.5 流面和流管 某一时刻由通过流场中任一给定曲线（非流线）上的所有流线构成的曲面称为流面，如图3.3.3所示。简单地讲，流面是由流线组成的空间曲面。若给定的曲线为封闭曲线，则流面是一管形曲面，我们将这管形曲面称为流管，如图3.3.3b所示。截面积很小的流管称为微元流管。 流面由流线组成，因此流面上任一点的流速与该点流面的法向量相垂直，即流面上 上式表明流体不能穿过流面或流管，流管就像真实的管子一样将其内外的流体分开。流线过流段面过流断面图3.3.4顺便说明总流和过流断面的概念。如

23、果流管的一部分或全部取在固壁上，则管内整股流体称为总流，如河流、水渠、水管中的水流及风管中的气流都是总流。与总流的流线相垂直的断面称为过流断面，如图3.3.4所示。当流线是平行的直线时，过流断面是平面，否则是曲面。 6. 流体线、流体面及其保持性 在实际中常遇到由流体质点组成的几何面，如液滴表面，波浪表面等。由确定的一组连续排列的流体质点组成的几何曲线或曲面分别称为流体线或流体面。显然，流体线和流体面是拉格朗日法的观点，而前面讲述的流线、流面和流管是欧拉法的观点。 流体线或流体面在运动过程中可以伸展、变形，但不能断裂。具体地讲，流体始终保持连续，质点间的相邻关系不能改变，这一性质称为流体线或流

24、体面的保持性。换言之，流体面在运动过程中，始终保持为由原来那些质点组成的流体面。 3.3.7 流量 在流场中任取一曲面S， 为曲面S的单位外法向量，如图3.3.5所示。若已知速度场，则 （3.3.10）表示单位时间内通过曲面S的流体的体积，称为体积流量。类似地， （3.3.11） （3.3.12）分别表示单位时间内通过曲面S的流体质量和重量，称为质量流量和重量流量。3.4连续方程图3.4.1nvS 连续方程是质量守恒定律在流体力学中的具体形式。 3.4.1. 积分形式的连续方程 在流场中任取一空间固定的封闭曲面（控制面），设其包围的流体体积为（控制体），为曲面的单位外法向量，如图3.5.1所示

25、。若封闭曲面S内既无源也无汇，根据质量守恒定律，单位时间内流出封闭曲面的净质量必等于其中流体质量的减少 即 （3.4.1）这就是Euler型连续性方程的积分表达式。它反映了控制面上速度分布与控制体内密度之间的积分关系。上式中由于控制体不随时间变化，因此偏导数可直接移到积分号内。 若流动定常，连续方程式（3.4.1）简化为 （3.4.2）即单位时间内流入和流出闭曲面的流体质量相等。 若流体不可压缩，式（3.4.1）进一步简化为 （3.4.3）图3.4.2即单位时间内流入和流出封闭曲面的流体体积相等。 若控制面的一部分与流管重合，设和分别为流管的任意两个截面，是和所截流管的侧面积，和分别为两截面的

26、平均速度，如图3.4.2所示。由于流管侧面没有流体的流入、流出，。由连续方程（3.4.2）可得沿流管定常流动的连续方程为 （3.4.4a） （3.4.4b）上式表明定常流动中通过流管任一截面的质量流量相等。 若流体不可压缩流动，沿流管的连续方程（3.4.4b）进一步简化为 （3.4.5） 或 （3.4.6）即在不可压缩流动中，流管的截面积与流速成反比，截面积小的地方流速快，截面积大的地方流速慢。12图3.4.3 对于平面流动，上式表明：流线间距大的地方流速慢，流线间距小的地方流速快。换句话说流线的疏密反映了流速的大小。 例3-3 某瞬时水流通过具有自由面的蓄水通道如图3.4.3所示，已知通道截

27、面积，自由面截面积，截面上流动均匀，设流动定常，试求该瞬时自由水面高度的变化率。 解； 取控制面如图虚线所示，设自由面上水位变化是均匀的，并设控制面上流体的出流速度为，由不可压缩流体的连续方程（3.4.3）式得 即 得。该瞬时自由面的下降速度为。 3.4.2 微分形式的连续方程利用Gauss公式将（3.4.1）式中的面积分化为体积分，合并体积分得 （3.4.7）由于体积具有任意性，故上式等于零的充要条件是被积函数等于零 （3.4.8）这就是微分形式的连续方程，它反映了无源（汇）流场中空间任意点上速度和密度间的微分关系，也就是说，流体的速度不是任意给定的，它要满足连续方程。 若流动定常，连续方程

28、（3.4.8）简化为 （3.4.9）若流体不可压缩，式（3.4.8）进一步简化为 （3.4.10）在直角坐标系中连续方程（3.4.8）式表示为 （3.4.11）柱面坐标系中，利用（0.7.8）式，并代入得连续方程 （3.4.12）在球面坐标系中，代入得连续方程 （3 .4.13）例3-4不可压缩平面流场的两个速度分量为，其中为常数，求速度。 解： 由不可压缩流体的连续方程（3.4.8）得 则 解此偏微分方程得 函数待定。3.5流体微团的运动分析我们知道，流体在运动过程中可能发生变形或旋转，本节将对流场中流体微团的运动进行分析，只要流体微团的运动清楚了，整个流场的运动也就知道了。所谓流体微团是指

29、由大量流体质点组成的具有线性尺度效应（如膨胀、变形、旋转等）的微小流体团。下面首先给出同一时刻内流体微团中任意两点（和点）速度之间的关系亥姆霍兹速度分解定理，然后从几何上分析经时间后流体微团中各点位置的变化，弄清流体微团的运动。 3.5.1 亥姆霍兹（Helmholtz）速度分解定理V速度为，与相距的点的速度为。利用台劳展开并略去高阶小量有 （3.5.1）图3.5.1记，上式可写成 （3.5.2）利用爱因斯坦求和符号，式（3.5.1）和（3.5.2）可简写为 （3.5.3）当时，对应于，对应于，对应于。 是一个二阶张量，它可以进一步分解为一个对称张量和一个反对称张量之和，见式（0.2.12c）

30、，即 （3.5.4）其中，等号右端第一项 （3.5.5）是一个对称张量，称为流体的变形速率，亦称变形张量。因为对称张量，故只有六个独立分量，写成矩阵形式为 （3.5.6）式（3.5.4）等号右端第二项 （3.5.7）是一个反对称张量，表示流体的旋转。因，且时，因此只有三个独立的分量。它相应于一个向量，即 （3.5.8）称为流体微团的旋转角速度。 将式（3.5.4）代入式（3.5.3）得点的速度为 （3.5.9a）或 （3.5.9b）其中。式（3.5.9）就是流体微团中任意两点间速度关系的一般形式，称作亥姆霍兹速度分解定理。这一定理表明流体微团中任意一点的速度可分解为，三部分。下面从几何上分析流

31、体微团的运动，并说明式（3.5.9）中每一项的含义。 3.5.2 流体微团的运动分析 1. 平移运动 式（3.5.9）中，右端第一项是流体微团中参考点的平移速度，其它任意一点的运动都是该点运动基础上的迭加。平移速度代表流体微团的平移运动。 2. 线变形运动 分析（3.5.9）式中变形速率主对角线上三个分量所代表的运动。不失一般性，在流体微团（图3.5.2a）中过点作两条相互垂直的流体线段和，、点的速度如图3.5.2b所示。线段上，点相对于点具有方向的速度增量；线段上，点相对于点具有方向的速度增量。在这两个速度增量的作用下，经过时间，线段伸长，运动至，线段伸长，运动至。因此轴和轴方向流体线的相对

32、伸长为和，则 表示方向流体线单位时间内的相对伸长，称为方向流体线的线变形速率。 为方向流体线的线变形速率。 同理 为方向流体线的线变形速率。 线变形速率代表流体团的线变形运动。 我们将流体微团的体积在单位时间内的相对变化称为流体微团的体积膨胀速率，即 （3.5.10）可见，流体微团的体积膨胀速率等于三个方向上的线形变速率之和，也就是流体速度场的散度。换言之，速度场的散度反映了流体微团体积的膨胀或收缩。 3. 角变形运动 分析式（3.5.9）中变形速率非对角线上分量所代表的运动。在图3.5.2b中，点相对于点具有方向的速度增量，点相对于点具有方向的速度增量。在这两个速度增量的作用下，使得相邻两层

33、流体产生角变形，经过时间，线段转动角，运动到，线段转动角，运动到，有， （3.5.11）对应的角速度为 ，则平面上两垂直流体线的平均角变形速率为 （3.5.12）同理可得和平面上的平均角变形速率 （3.5.13） （3.5.14）角变形速率，和代表流体微团的角变形运动。 4 旋转运动 分析式（2.5.9）中所代表的运动.由图3.5.2b可见，因点与点在方向的速度分量不同，使得绕过点平行于轴的转动轴旋转，转动角速度为 点与点在方向的速度分量不同，使得绕过点平行于轴的旋转轴转动，转动角速度为则平面上互为垂直流体线和绕过点且平行于轴的转动轴平均旋转角速度为 同理可得和平面上互为垂直流体线的平均旋转角

34、速度为 写成矢量形式 （3.5.15） 旋转角速度代表流体微团的旋转运动。通常称 为涡量。它等于流体微团平均旋转角速度的两倍。总之，流体微团的运动由三部分组成：（1）以速度作平移运动；（2）绕某瞬时轴以平均角速度作旋转运动，不引起流体微团形状的改变；（3）纯变形运动，包括以线变形速率为的线变形运动和以角变形速率为的角变形运动。前者使流体微团的体积膨胀或缩小，后者使流体微团发生角变形。需要强调说明一下，流体微团的旋转运动与刚体旋转运动是不同的，刚体的旋转是刚体作为一个整体以同一个角速度旋转，而流体微团中过点不同流体线的旋转角速度是不同的，流体微团的旋转角速度是所有这些流体线旋转角速度的平均值。

35、综上所述，亥姆霍兹速度分解定理将流体微团中任意一点的速度分解为三部分：（1）与点相同的平移速度；（2）绕点转动引起的速度；（3）变形引起的速度。相应地，流体微团的运动由平移、旋转和变形（包括线变形和角变形）三种形式组成。而这种旋转与变形源于流体速度场的不均匀性。 亥姆霍兹速度分解定理对于流体力学的发展有着深远的意义。正是由于将旋转运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能将流体的运动划分为有旋运动和无旋运动，从而对它们分别进行研究,先研究较简单的无旋运动，再研究较复杂的有旋运动。正是由于把流体的变形运动从一般的运动中分离出来，才使得我们有可能将流体的变形速率与应力联系起来，这对粘性流体运动规律的

36、研究有重大意义。 3.5.3 有旋运动和无旋运动若流场中流体微团的旋转角速度或速度场的旋度，则称流体的运动是无旋的，或称无旋运动；否则，流体的运动是有旋的或称有旋运动。判断流体运动是否有旋的充要条件是速度场的旋度是否等于零。因为流体微团很小，通常肉眼无法看到，因此不能凭肉眼直觉地判断流体运动是否有旋。我们通常看到的紊乱的流动只是有旋运动的一种形式，有些运动看似平稳，但可能是有旋的。下面通过两个例子来说明这个问题。 例3-5 已知流场的速度分布为 ，求流体质点的运动轨迹线和旋转角速度。 解：由题意知流动定常，迹线与流线重合，因此求出流线也就求出了迹线。将速度分布代入流线微分方程，有 (a) (b

37、) 图3.5.3 积分得流线方程 可见流体质点作圆周运动，如图3.5.3a所示。 由式（3.5.8）得流体微团的旋转角速度 ， 可见流体运动是有旋的。 例3-6 已知速度分布为 ，。求流体质点的轨迹线和旋转角速度。 解：由题意知流线 或迹线方程为 解得 可见流体质点也作圆周运动，但它的旋转角速度为 即流动是无旋的，如图3.5、3.6所示。 比较上述两个例子可见，两个流场的流体质点都作圆周运动，但例35的流体运动有旋，例36的流体运动无旋。3.6有旋运动的一般性质3.6.1涡线、涡管、涡通量和环量的概念 为了直观地描述有旋运动中涡量的分布情况，与速度场中的流线、流管和流量类似，在有旋场中引入涡线

38、、涡管和涡通量的概念。 1.涡线涡线是涡量场的矢量线，即任意时刻，涡线上每一点的切向量都与该点的涡向量相切，即。这就是涡线的微分方程，在直角坐标系表示为 （3.6.1）与流线类似，涡线也具有瞬时性，积分时时间变量作常数处理，表示时刻流场中涡量的分布情况 2.涡管 某一时刻，由涡量场中任一封闭曲线C（非涡线）上所有涡线组成的管状曲面称为涡管。截面积无限小的涡管称为涡束（或涡线）。3.涡通量 涡量场的通量称为涡通量，也称为涡强。取空间任意曲面，为单位法向量，则通过曲面的涡通量为 （3.6.2）涡通量反映了旋涡作用的强弱程度。 4.速度环量 在速度场中任取一封闭曲线，则速度沿曲线C的线积分 （3.6

39、.3）称为速度环量。3.6.2 速度环量定理（斯托克斯定理） 在斯托克斯公式（0.6.4） （3.6.4）中，令矢量为流体速度，则有速度环量定理 （3.6.5a）或 （3.6.5b）其中是开口曲面的边界线，它的走向与的法线方向符合右手螺旋法则（见图0.6.1）。速度环量定理表明，沿任意开口曲面边界线的速度环量等于通过该曲面的涡通量。也就是说，速度环量也是表示旋涡强度的量。 若将曲面S划分为部分，设通过其中的涡强为，则通过曲面S的通量等于各部分面积的涡通量之和。 3.6.3 涡管强度守恒定理在同一瞬时，沿涡管长度各截面的涡通量保持不变，即 （3.6.6）图3.6.1证明如下：某一瞬时，在涡管上任

40、取两个截面，设它们与涡管的交线分别为，所截出的涡管面积为，如图3.6.1所示。因封闭曲线既是截面S的边界周线，同时又是截面和侧面所构成帽状曲面的边界线，根据速度环量定理（3.6.5）式有 （3.6.7）其中为沿封闭曲线的速度环量。因涡管表面与涡量相切，上式最右端的第二项积分为零，于是 （3.6.8） 若涡量在截面上均匀分布，记为，由上式得 （3.6.9） 可见，涡量与截面积成反比，截面积大涡量小，截面积小涡量大。若截面收缩可为零，则涡量或流体旋转角速度将增至无穷大，这在物理上是不可能的。由涡管强度守恒定理可得到如下结论：涡管不可能在流体中开始或终止，它只能自成封闭形，或开始或终止于边界面 图

41、3.6.2 或伸展到无穷远，如图3.6.2所示。如吸烟者吐的烟圈呈圆圈形，自然界中的龙卷风开始和终止于地面与云层等边界面。3.7 无旋运动的势函数在场论中我们知道，无旋场就是有势场，存在势函数，它和速度之间有如下关系 （3.7.1） （3.7.2）称为速度势。若已知速度场，将式（3.7.1）两边点乘，得速度势 （3.7.3） 此曲线积分与路径无关，时间t为参数，积分时当作常数处理。速度势函数具有如下几个性质： 1.速度势沿任一方向的方向导数等于速度在该方向上的投影 在（3.7.1）式等号两边点乘方向的单位向量，有，再由梯度的性质可知 （3.7.4）性质1得证。 在柱坐标系中速度和速度势之间的关

42、系为 （3.7.5） （3.7.6） 2.等势面与流面垂直 由梯度的性质可知，势函数的梯度垂直于等势面，即速度垂直于等势面。而流面与速度相切，因此等势面与流面垂直。在平面流动中等势线与流线垂直。 3.不可压缩流体的势函数为调和函数 满足Laplace方程且具有二阶连续偏导数的函数称为调和函数。将（3.7.1）式代入不可压缩流体的连续方程（3.4.10）得 （3.7.7）直角坐标系中 （3.7.8）通常我们将不可压缩流体的无旋流动称为势流。 4.势函数具有可叠加性 若为几种流动的速度势，都满足拉普拉斯方程，。令 （3.7.9）因为拉普拉斯方程是线性的，故 （3.7.10）可见叠加后新的势函数仍然满足拉普拉斯方程，即速度势具有叠加性。由此，当求解某一复杂的流动时，可以通过一些简单流动的叠加来得到。3.8 流