Matlab应用之动力学与振动

1、第6章 动力学与振动,教学目标 介绍Matlab在动力学与振动中的应用，分别用于轨迹，单自由度和多自由度线性与非线性系统的自由振动和强迫振动的分析,学习要求 能够运用Matlab基本原理，对物体的运动轨迹和单自由度系统进行简单的动力学分析,目录,6.1 轨迹 6.2 单自由度系统 6.3 多自由度系统 习题,6.1 轨迹,举例说明:重力场中有两个物体,其中质量为m2的物体固定,而质量为m1的物体绕m2做平面圆周运动.做圆周运动的m1物体的轨道半径用变量r表示,角度用变量a表示,6.1 轨迹,例6.1：卫星绕地球转动时，m2等于地球的质量，m1等于卫星的质量，r为卫星球心与地球球心间的距离。其运

2、动轨迹由下列方程组决定,式中： ，其中t是时间变量，p为物体在地球表面做圆周运动的周期。在地球表面，r=6.373x106 m,6.1 轨迹,用龙格库塔法可以实现求解： 引入新状态变量,建立函数文件Orbit.m function xd=Orbit(t,x) xd=x(2) x(1)*x(4)2-4.0*pi2/x(1)2 x(4) -2.0*x(2)*x(4)/x(1,6.1 轨迹,三组初始条件(t=0,由初始条件建立执行文件execute_61.m initcond=2 0 0 1.5;1 0 0 2*pi;2 0 0 4; tspan=linspace(0,5,1000); option

3、s=odeset(RelTol,1e-6,AbsTol,1e-6 1e-6 1e-6 1e-6); lintype=k- b-. r-; for i=1:3 t,x=ode45(Orbit,tspan,initcond(i,:),options); polar(x(:,3),x(:,1),lintype(2*(i-1)+1:2*i); hold on end text(0.5,-1.2,椭圆轨迹); text(-1.2,1,圆轨迹); text(1.75,2,双曲线轨迹,6.1 轨迹,常微分方程的数值求解函数,程序运行结果,6.1 轨迹,6.2 单自由度系统,6.2.1 概述,一.力学模型,弹

4、簧质量阻尼系统,其中：振体质量为m，弹簧的线性系数为k，非线性系数为a，阻尼系数为c，外力F（t,6.2 单自由度系统,二. 运动微分方程,用x表示系统的位移，则运动微分方程为,式中,固有频率,非线性系数,阻尼因子,6.2 单自由度系统,引入新变量转化状态空间方程形式,6.2 单自由度系统,6.2.2 线性系统的自由振动,一.运动微分方程,当 时，得到线性振动系统的自由振动方程,6.2 单自由度系统,二.MATLAB求解,编写方程对应的函数文件FreeOscillation.m,0,三种阻尼系数( )（1）阻尼系数为0.1时是欠阻尼情况（2）阻尼系数为1时是临界阻尼情况（3）阻尼系数为5时是过

5、阻尼情况,function xdot=FreeOscillation(t,x,zeta,Alpha) xdot=x(2);-2.0*zeta*x(2)-x(1)-Alpha*x(1)3; end,6.2 单自由度系统,由初始条件（位移和速度均为1时, ）建立执行文件(execute_62.m,zeta=0.1 1.0 5.0; Alpha=0.0,0.0,0.0; tspan=linspace(0,40,400); %生成0-40的四百个线性点 lintype=char(-k,-k,-.k); for i=1:3 t,x=ode45(FreeOscillation,tspan,1 1,zeta

6、(i),Alpha(i); figure(1); plot(t,x(:,1), lintype(i,:); % x(:,1)为位移 hold on figure(2); plot(x(:,1),x(:,2),lintype(i,:); % x(:,2)为速度 hold on end,6.2 单自由度系统,figure(1); xlabel(Time( tau); ylabel(Displacement x( tau); title(Displacement as a function of( tau); axis(0 40 -1.5 1.5); plot(0,40,0,0, k-) legen

7、d(zeta=0.1, zeta=1.0, zeta=5.0) figure(2); xlabel(Displacement x(tau); ylabel(Velocity); title(Phase portrait); axis(-2.0 2.0 -2.0 2.0); legend(zeta=0.1, zeta=1.0, zeta=5.0,续上,6.2 单自由度系统,程序运行结果,6.2 单自由度系统,6.2.3 非线性系统的自由振动,1、运动微分方程,一.非线性弹簧系统,6.2 单自由度系统,2、Matlab求解,编写常微分方程对应的函数文件FreeOscillation.m,funct

8、ion xdot=FreeOscillation(t,x,zeta,Alpha) xdot=x(2);-2.0*zeta*x(2)-x(1)-Alpha*x(1)3; end,与例6.2相同，只是改变了Alpha的值，可以直接借用例6.2的函数文件,6.2 单自由度系统,由初始条件建立执行文件(execute_63.m,程序如下,zeta=0.2;Alpha=0.00,-0.25,-0.25; x0=-2.00,-2.00,-2.00;v0=2.00,2.00,2.31; tspan=linspace(0.0,30.0,401); lintyp=char(-k,-k,-.k); options

9、=odeset(RelTol,1e-8,AbsTol,1e-8 1e-8); d=char(Linear:x_0=-2 v_0=2 alpha=0,. Nonlinear:x_0=-2 v_0=2 alpha=-0.25,. Nonlinear:x_0=-2 v_0=2.31 alpha=-0.25,6.2 单自由度系统,for i=1:3 t,x=ode45(FreeOscillation,tspan,x0(i) v0(i),options,zeta,Alpha(i); figure(1) plot(t,x(:,1),lintyp(i,:); hold on figure(2) plot(x

10、(:,1),x(:,2),lintyp(i,:); hold on end,续上,6.2 单自由度系统,figure(1) xlabel(tau); ylabel(x(tau); axis(0.0,30.0,-3.0,3.0); legend(d(1,:),d(2,:),d(3,:); figure(2) xlabel(x(tau); ylabel(dx/dtau); axis(-2.0,3.0,-2.0,3.0); legend(d(1,:),d(2,:),d(3,:,续上,6.2 单自由度系统,程序运行结果,6.2 单自由度系统,二、非线性阻尼系统,1、运动微分方程,式中，常量 为摩擦系数

11、， 为物体的重量，k为线性弹簧的系数。干摩擦力是速度的分段函数，用signum表示。速度为正时， signum取+1，速度为负时，signum取-1. 如果弹簧的弹性力不能克服干摩擦力，系统将停止振动。即当,6.2 单自由度系统,引入新变量将方程转化一阶方程形式,两边同时求导,两边同时求导,6.2 单自由度系统,function xdot=FrictionOscillation(t,x,d) % 非线性阻尼系统ode文件 if abs(x(1)=d end,2、Matlab求解,编写常微分方程对应的函数文件FrictionOscillation.m,6.2 单自由度系统,由初始条件(d=0.8

12、6,初始条件a（3.0，0.0），b（5.0，0.0）)建立执行文件(execute_64.m)，求数值解,d=0.86;x0=3.0,5.0;v0=0.0,0.0; tspan=linspace(0,12,120); options=odeset(AbsTol,1e-3,1e-3); lintyp=char(-k,-k); for i=1:2; t,x=ode45(FrictionOscillation,tspan,x0(i),v0(i),options,d); figure(1); plot(t,x(:,1),lintyp(i,:); hold on figure(2) plot(x(:,

13、1),x(:,2),lintyp(i,:); hold on end,6.2 单自由度系统,figure(1) xlabel(tau); ylabel(x(tau); axis(0.0,12.0,-4.0,6.0); plot(0,12,0,0,k-); legend(x_0=3.0,v_0=0.0,x_0=5.0,v_0=0.0); figure(2) xlabel(x(tau); ylabel(dx/dtau); text(2.5,0.5,(3.0,0.0); text(4.5,0.5,(5.0,0.0); plot(-4,6,0,0,k-,0,0,-6,4,k-); axis(-4.0,

14、6.0,-6.0,4.0,续上,6.2 单自由度系统,程序运行结果,6.3 多自由度系统,6.3.1 多自由系统的固有频率问题,一、力学模型,二、运动微分方程,三、Matlab求解,例6.5 三自由系统的振动模态及固有频率 设k1=100N/m， k2=50N/m， m1=m2=m3=100kg,求特征值与特征向量的程序如下,k=100,-100,0;-100,150,-50;0,-50,50 m=diag(100,100,100) VibrationMode,EigenValue=eig(k,m,附录：ode45函数,如果系数矩阵A的特征值连乘积小于零，且绝对值最大和最小的特征值之比（刚性比

15、）很大，则称此类方程为刚性方程,ode是Matlab专门用于解微分方程的功能函数。该求解器有变步长（variable-step）和定步长（fixed-step）两种类型。不同类型有着不同的求解器，其中ode45求解器属于变步长的一种，采用Runge-Kutta算法； ode45表示采用四阶，五阶Runge-Kutta单步算法,截断误差为(x)3。解决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程,附录：ode45函数,T,Y=ode45(fun, TSPAN,Y0) T,Y=ode45(fun, TSPAN,Y0,options) T,Y= ode45(fun, TSPAN,Y0,options,P

16、1,P2,) T,Y,TE,YE,IE= ode45(fun, TSPAN,Y0,options,P1,P2,调用格式,说明,输出变量T为返回时间列向量；解矩阵Y的每一行对应于T的一个元素，列数与求解变量数相等。 fun为函数句柄，为根据待求解的ODE方程所编写的ode文件（odefile）； TSPANT0 TFINAL是微分系统yF(t,y)的积分区间；Y0为初始条件 options用于设置一些可选的参数值，缺省时，相对于第一种调用格式。P1，P2，的作用是传递附加参数P1，P2，到ode文件。当options缺省时，应在相应位置保留，以便正确传递参数,附录：ode45函数,所谓的odef

17、ile实际上是一个Matlab函数文件，一般作为整个求解程序的一个子函数，表示ode求解问题 ode文件的最简单格式必须有一个自变量t和函数y作为输入变量，一个y的导函数作为输出变量。其中自变量t不论在ode文件中是否使用都必须作为第一输入变量，y则必须作为第二输入变量，位置不能颠倒。 可以向ode文件中传递参数，数目不受限制,odefile,附录：ode45函数,为了能够解出方程，要用指令odeset确定求解的条件和要求。在MATLAB中，求解方程组的指令都有默认的求解的条件和要求（由结构数组options表示），但可以用odeset修改或重新建立,odeset,options=odeset(name1,value1,name2,value2,)options=odeset(oldopts,name1,value1,name2,value2,)options=odeset(oldopts,newopts)odeset,语句格式如下,附录：ode45函数,第一种调用格式是指定各个参数的取值，对不指定取值的参数，取默认值。在不引起混淆的情况下，参数名可以只键入前面的几个字母，也不必区分大小写，如用“abst”表示AbsTol.但数值的输入必须格式正确，否则仍采用默认值。 第二种格式使用了原来的优化选项，但对其中的参数1等指定了新值。 第三种格式合并