数值分析简明教程课后习题答案

1、算法1、(，题1)用二分法求方程x3 x 1 0在1,2内的近似根，要求误差不超过10-3.2、(，题2)证明方程f(x) ex10x2在区间0,1内有唯一个实根；使用二【解】由二分法的误差估计式| x xk |i b ak 11k 110 3，得到2傀2k 12k 1 1000 .两端取自然对数得k 3ln1018.96，因此取k9，即至少需In 2二分9次.求解过程见下表。kakbkXkf(Xk)符号012+123456789分法求这一实根，要求误差不超过 1 10 2。2【解】 由于f (x) ex 10x 2，则f (x)在区间0,1上连续，且f(0) e010 0 210， f (1

2、) e110 12 e 80，即卩 f(0) f(1)0，由连续函数的介值定理知，f(x)在区间0,1上至少有一个零点.又f (x)ex 10 0，即f (x)在区间0,1上是单调的，故f (x)在区间0,1内有唯一实根由二分法的误差估计式|x* Xk | 齐 十 j 10 2，得到2k 100. 两端取自然对数得k活2 33219 66438，因此取k 7,即至少需二分7次.求解过程见下表。kakbkXkf(Xk)符号0011234567差1.（,题8）已知e=，试问其近似值xi2.7 , X22.71 , x2=, X32.718各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。【解】有效数字：1

3、 因为 |e x1 | 0.018280.0521 因为 |e x2 | 0.008280.05 -2因为 |e x3 | 0.000280.0005110 ，所以人 2.7有两位有效数字；110 ，所以X22.71亦有两位有效数字；1 310 3，所以X32.718有四位有效数字;2| eX1 |0.051r 111.85% ;X12.7| ex2 |0.051r 21.85% ;X22.71| eX3 |0.0005n nd qa 0/r3U.UI84 % 0X32.718评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字;（2）近似数的所有数字并非都是有效数字2.（，题9）设x1

4、2.72，x22.71828，x30.0718均为经过四舍五入得出的近似值,试指明它们的绝对误差（限）与相对误差（限）。【解】10.005 , r12 0.000005 ,1X1r230.00005 ,r30.0052.722X23X31.84 100.0000052.718280.000050.07181.846.96 1010评经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位3.（,题 10）已知 x1 1.42 , x20.0184 , x3 184 10 4 的绝对误差限均为 0.5 10问它们各有几位有效数字？【解】 由绝对误差限均为0.5 10 2知有效数字应从小数

5、点后两位算起，故X, 1.42，有三位；x20.0184 有一位；而 x3 184 10 4 0.0184，也是有一位。泰勒插值和拉格朗日插值1、(，习题1)求作f (x) sinx在节点x0 0的5次泰勒插值多项式p5(x)，并计算P5 (0.3367)和估计插值误差，最后将p5 (0.5)有效数值与精确解进行比较。【解】由f (x) f(4) (x) sinxP5(X)sinx,求得 f (x) cosx ； f (x)si nx ；(x) cosx ； f (6)(x)si nx，所以(2)f(X0)f (3)(x) cosx ；(5)f(x。)(X)(X X。)2!f(2) (0)22

6、!(x x。)2(5)f(X0)(X X0)55!f (5)(0)55!X131XX3!5!5r插值误差：R5(x)| f(6)( )|(X X0)6!p5(0.3367)0.33670.33673!2.0260.3367R5 (0.3367)6!故取 p5(0.3367)0.33037 ,与精确值|sin(63f(0.3367)较，在插值误差的精度内完全吻合!f(0) f (1)(0)x10 60.5) 6!50.3367 5!(x X。)66，右X 6!0.5，则0.3303742887，而10 5，精度到小数点后5位,sin (0.3367)0.330374191 相比2、(，题12)给

7、定节点X01,X1 1,X2 3, X3 4，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：(1) f(x) 4x3 3x 2 ；(2) f(x) x4 2x3f (4) ( ) 3【解】依题意，n 3，拉格朗日余项公式为R3(x) f(x Xi)4! i 0(1) f (4)(x)0 t R3(x)0 ；(2) 因为f(x)4!，所以（4）（R3（X）4!)(x1)( x 1)(x3)(x4)(x 1)(x1)( x 3)(x 4)i012Xisin(xi)3、（，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算sin（0.3367）的近似值并估计误差。(4)( ) 3【解】依题意，n 3，拉格

8、朗日余项公式为R3（x）（1） 线性插值4!(xi 0Xi)因为x 0.3367在节点X。和Xi之间，先估计误差Ri(x)f( )(x2!Xo)(XXi)sin()2max(x x0 )(x1 x)(x X)(X1 x)0八1 丿R(x)R(x)0.0122XX1X0X1104 ;须保留到小数点后 4为，计算过程多余两位。t y(X1-Xo)2/4/ y=(X-Xo)(X-X1)XXisin（X。）XX0si n(xjX1 X01(x x0 )si n(xj (x1x)si n(x0)X1 X01(0.3367 0.0210.01670.020.32)si n( 0.34)(0.34 0.33

9、67)si n(0.32)sin(0.34)0.0033 sin(0.32)0.3304（2） 抛物线插值 插值误差：Rz(x)f()3 (x X)(x xj(x X2)3!cos()6(X Xo)(Xix)(x X2)max( x x0)(x1 x)(x2 x)0.013抛物线插值公式为:P2（X）(x xj(x X2)(X0 X1)(X X2)10.022P2 (0.3367)1102sin (Xo)(XiX)(X2 x)y=(x-xo)(x-xi)(x-x2)Max=3(x 1-Xo)3/8xi0 X0(x X)(X X2)(Xisin（X。）X)(X1 X2)(X X)(X2sin(

10、x-i)(x xj(x x)(X2 Xj(X2 X0)x)si n(xjsin (x2)(Xix)(x Xo)sin (x2)卫4 3.84450.022sin (0.32)38.911sin( 0.34)2.7555sin( 0.36)笙 3.84450.02sin (0.32)38.911sin( 0.34)2.7555sin (0.36)0.33037439经四舍五入后得:P2 (0.3367)0.330374，与 sin (0.3367)0.330374191精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合!分段插值与样条函数1、（，习题33）设分段多项式 S（X）3X2x32xbx2cx 1是

11、以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数【解】依题意，要求 S（x）在x=1节点b.c的值函数值连续：S (1)13 12即: bc 1一阶导数连续:S (1)3 12即: 2bc1(2)解方程组（1）和（V ,得b 2,32XXS(x)22x32x3x 1由于S(1)3 21 26 2阶导数亦连续。2 13b 12c 11S (1)，2 1 612 2b 1cs(1)，c3，即0x 11x 21 2 2S(1)，所以S(x)在x=1节点的二12、已知函数 y2 的一组数据，X。 0,Xi 1,x22 和 y 1,yi 0.5, y2 0.2 ,1 x（1）求其分段线性插值函数；（2）计算

12、f （1.5）的近似值，并根据余项表达式估计误差。【解】（1）依题意，将x 分为0,1和1,2两段，对应的插值函数为Sdx）和S2（x），利用拉格朗日线性插值公式，求得S1（x）丄旦 y。X。 洛xX1X。y1X。 10.50 1 1 00.5x 1 ；S2（x）丄虽力X1 X2XX2X1X1y20.50.20.3x 0.8(2) f (1.5)11 1.520.30769230769 ，而 S2(1.5)0.3 1.50.80.35，实际误差为：| f (1.5) S2(1.5)| 0.04230.05。由 f (1)(x)2x(1f (x)2(1 3x2)2、3 (1 X )f(3)(x)

13、24x(1 x2)2、4 (1 X )知M2 f （2）（1）0.5，则余项表达式R(x)I f (2)(2!|(x 1)(x2)|M22!0.520.540.06250.5曲线拟合1、（，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组:2x 4y 113x 5y 3x 2y 62x y 7【解】构造残差平方和函数如下：2 2 2 2Q(x, y) (2x 4y 11)(3x 5y 3) (x 2y 6)(2x y 7),分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：Q(x,y)0 :6x y 17(1)，xQ(x,y)0 :3x 46 y 48(2)，y解方程组（1）和(2),得46 17486 483 1

14、7x3.04029,y1.241762732735 369321.5 5327 271.45 7277699 5327 53272、（，习题37）用最小二乘法求形如ya bx2的多项式，使之与下列数据相拟合。【解】令XbX为线性拟合，根据公式,公式43），取 m=2 a仁0，N=5,求得5aXi5a Xii 15b Xi2i 12aXii 155a bi 15b xii 12Xi5yii 1Xi yi(1)2Xi yiXiyiX (=x2)X 2( =Xi4)X y i (=Xi 2yi)19193611303216859256253906253149961923521470893814442

15、085136441936374809615753277277699依据上式中的求和项，列出下表将所求得的系数代入方程组（1）和（2），得i 15ao 5327b271.4(1)5327a。72776993369321.5271.4 7277699 369321.5 5327779遁810.97258 ；80115665 7277699 5327 5327議 0.05004 ；即:y 0.97258 0.05004x2。机械求积和插值求积1、(，习题3)确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所 具有的代数精度：hh f(x)dxAf( h)(A1 f (0)A f (h

16、)；11130f(x)dxA0f(4)A1f(2)A2f(-)；410f(x)dx1f(0)4A0 f(x)。C1 )令 f (x)1, x,x2时等式精确成立，可列出如下方程组:【解】A0 A,A, 2h02h34h，3 验证，对f (x) x3公式亦成立，而对1, x,x2时等式精确成立，可列出如下方程组:(1)(2)(3). 1A0 A2(1)解得:h .A0A2, A133(2)令 f (x)A0A03A02A1 A212A112A1即:f(x)hf(x)dx f( h)3x4不成立，故公式(4f(0)f(h)，可以1)具有3次代数精度。验证，对解得：A0 A2, A13f (x) x

17、3公式亦成立,3A2227 A21 3，而对即:即:f(x)2、(，16f(x)(3)令f(x) 1, x时等式精确成立,1 10 f(x)dx 4 f(0)x3不成立，故公式(3)1 1 f (x)dx 匚2f(；)4故公式(34233x4不成立,可解得:3 2f ()，可以验证，对4 3具有2次代数精度。14,x1 并指明该求积公式的代数精度。习题6)给定求积节点x0公式，【解】依题意，先求插值求积系数:1 3dx0 x为340131xXof(x)x2试构造计算积分4dx2 (1x2-x)241 3f( )2f()，可以2 42)具有3次代数精度。公式亦成立，而对10 f (x)dx的插值

18、型求积44Xo11X 44 dx14z 12(2x1x)插值求积公式:10 f(x)dxAk f(xk)k 0f(4)当f(x)1,1左边=0 f (x)dx1;右边=-21;左=右;当f(x)1左边=o f (x)dx；右边=2i ；左=右；当f(x)1,左边=o f (x)dx1 ；右边=32故该插值求积公式具有一次代数精度。梯形公式和Simpson公式Xf(x)0034526659分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分I1、(，习题9)设已给出f(x) 1 e xsin4x的数据表,10 f (x) dx的近似值。【解】(1 )用复化梯形法：0, b 1, n 5, h - nT5T5n

19、1 h-f(Xk)f(Xk 1)k 0 2竽f(0.00) 20.125 1.00000 21.28358(2)用复化辛普生法：0,b1,n2,hn14h-f(a)20.251f(Xk)f(b)1S2S2f(0.25)(1.655342 .5n 1 hh【f(xQ 4f (x 1) k 06k 二0.5 f (0.00) 4 f(0.25)f (Xkf(0.50)1.55152f (0.75)f(1.00)1.06666)0.72159J加(a)6f (0.75) 21n4 f (xkf (0.50)丄)21f(Xk)f(b)1f(1.00)6S21.00000 10.888 3.10304

20、0.721591.3093911c2、(，习题10)设用复化梯形法计算积分 |exdx，为使截断误差不超过 丄10 5，问02应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？【解】(1)用复化梯形法,a 0, b 1, f (x)f(x)f(x)ex，设需划分n等分， h 0.001,x00.8 h 0.799,x20.8 h 0.801,则则其截断误差表达式为:I Rt | | ITn(b a)312n2max f(依题意，要求I Rt |105，即e 112n2210e 1056212.849，可取n213。(2)用复化辛普生法,0,b1, f(x)f(x)f(x)ex，截断误差

21、表达式为:| Rs | | ISn |(b a)54180(2n)maxf(288影(1e2880n4 ；依题意，要求| Rs |-10 5，即2e2880n411。5e 10514403.70666，可取n 4，划分8等分。数值微分1、(，习题 24)导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式f(X0)13f(xo) 2h4f(X1)f(X2)(51)f(X1)1f(xo) 2hf(X2)(52)f(X2)1f(Xo)4f(xJ 3f (X2)(53)2h【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为 f (n 1)() nR(xQ f(xQ p(xj -X X

22、j)(n 1)! j 0j k由三点公式(51)、(52)和(53)可知,n 2,hX1 X。R(x0)(2 1)-0)(2 1)!2(X。 Xj)应(X。X2 X1，则X1)(xX2)Sh2R(xJf(21)( 1)(2 1)!2(X1 Xj)-j 0j 1f( 1)3!(X1X0)(X13!X2)R(X2)f(2J2(X2 Xj)写 2)(X2X)(X2X1)(21)!j 0j 23!叫h26叫h231八习题设已给出f(X)k的数据表，Xf(x)试用三点公式计算f(1.0), f(1.1), f(1.2)的值，并估计误差【解】已知x01.0, X!1.1, x21.2, h捲x0 x2捲0

23、.1，用三点公式计算微商:f(1.0)3f (1.0)4f (1.1) f (1.2)13 0.25004 0.2268 0.20662 0.10.2470f(1.1)f(1.0)f (1.2)0.25000.20660.2170f(1.2)f(x)1护(1.0)仆1 ;(1 x)2；3f (1.2)f(x)(1 x)f(x)10.2500 0.16 ；(1 x)4；4 0.2268 3 0.20660.1870f(x)24(1 x)5 ，用余项表达式计算误差R(1.0)R(1.1)R(1.2)0.00250.001250.04967f( 0)以 24 0.12 hr33(11.0)5f(1

24、2240.12-h53!3!(11.0)f( 2k2240.1233(1 1.1)3、(,习题 26)设 f (x)si nx，分别取步长h 0.1,0.01,0.001，用中点公式(52)计算f(0.8)的值，令中间数据保留小数点后第6位。【解】中心差商公式：f(a) f(a h) f(a h)，截断误差：R(h)匸血 h2。可2h3!见步长h越小，截断误差亦越小。(1) h 0.1, x00.8 h 0.7, x20.8 h 0.9,则1 1f(0.8) sin(0.9) sin(0.7)0.7833270.6442180.695545 ；2h2 0.1 h 0.01, x00.8 h 0

25、.79, x20.8 h 0.81,则1 1f(0.8) si n(0.81) sin (0.79)0.7242870.7103530.69672h2 0.01f(0.8)命sin(0.801) sin(0.799)12 0.010.718052 0.7166590.6965而精确值 f(0.8)cos(0.8)0.6967067，可见当 h 0.01时得到的误差最小。在h 0.001时反而误差增大的原因是f （0.8 h）与f（0.8 h）很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。1 2y 2 2y (0 x 4)，y(0)0。1 xEuler格式1、

26、（，题1）列出求解下列初值问题的欧拉格式(1)y2 x2y(0 x 0.4)，y(0)1，取 h 0.2 ；(2)yyx2yx(1 x 1.2)，y(0)1，取 h 0.2 ；【解】（1）yn1 ynhyn yn h(x；y；)yn0.22 2(Xnyn）；（0 2化简后，yn 1 yn 0.4yn，计算结果见下表。1 Xn1、（，题7）用改进的欧拉方法求解上述题2，并比较计算结果。【解】 因为y f（x,y） y xy2（0 x 0.6），h 0.2，且y（0）1，则改进的欧拉）yn1Yn2Gnyn、h( 2)yn0.22(y;yn)。XnXnXnXn2、（，题 2）取 h0.2，用欧拉方法

27、求解初值问题I yy xy2(0 x0.6)，y(0) 1。【解】欧拉格式：yn 1ynhyn ynh(yn2Xnyn) yn0.2 (ynXnyf) ； 化简后，yn1 0.8yn 0.2xny2，计算结果见下表。n0123Xn%3、（，题3）取h 0.1，用欧拉方法求解初值问题2x1并与精确解y2比较计算结果。1 x【解】欧拉格式:yn 1 yn1hyn yn h(厂2Xn22yn) yn0.22y2)；公式:yp yn hf(Xn,yn)ycyn hf(Xn,yp) (yp y22 2ynh(ynXnyn)0.8yn 0.2Xnyn2 2ynh(ypXnyp)yn 0.2 (yp Xny

28、p)。n0123Xnypycnynyn 1计算结果见下表。与原结果比较见下表n0123Xnynyn(改进)龙格-库塔方法1、(，题11)用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题y 8 3y，y(0)2，试取步长【解】h0.2计算y(0.4)的近似值，要求小数点后保留4位数字。Yn 1ynh(K162K2 2K3K4)K1f (Xn,yn)K2f(Xn1, yn2hQ)；2K3f(Xn1 , yn22K4f (Xn1, ynha)四阶经典的龙格-库塔方法公式:列表求得y(0.4)如下:nXnyn012迭代法及收敛定理1、（，题1）试取Xo1，用迭代公式Xk !20xk 2xk 10（k 0,1,2

29、,），求方程323x 2x 10x 200的根，要求准确到10。【解】 迭代计算结果列于下表kXk| Xk-x k-1 |kXk| Xk-x k-1 |1N6N2N7N3N8N4N9Y5N因为 I x9 x8 | 0.00082 10 3，所以 xx9 1.36906 。2、（，题2）证明方程a,b，使迭代过程x 1 cos x有且仅有一实根。试确定这样的区间2Xk 1cosxk 对 x02a, b均收敛。【证明】设：g（x）-COSX，则当2x R时,g(x)1COSX21 12,2，且一阶导数g(x)sinx连续，|g(x)| |2X。R均收敛。（压缩映像定理），方程1 .sin x |2X 1cosx有且仅有一实根。2所以迭代过程Xk 1证毕3、（，题4）证明迭代过程xk 1Xk21对任意初值XkX。1均收敛于-2 。【证明】设：g （ x）X1,因为一2一阶导数g(x)11，根据压缩映像定理，迭代公式初值X01均收敛。假设kim XkX ，对迭代式XkXk2丄，则XX2，解得x 2，因 x1 cosxk 对22，所以 g(x) . 2 。Xk 1Xk丄对任意2 Xk两边取极限，则有Xk 2不在x 1范围内，须舍去。2x。证毕牛顿迭代法1、(，题17)试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4位有效数字:(1)X3 3x 1 0，x0 2(2) x2 3x ex