椭圆离心率问题

1、、椭圆离心率的 1、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目 如图，0为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交0A于B, P、Q在椭圆上，PD丄L于D, QFL AD于 F,设椭圆的离心率为 e,则e= |e= | Q； |e=yAOpe= |评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，2aI AO | =a, | OF | =c,有；T 丨 AO | =a, | BO | = 有。 c2 2x y题目1：椭圆 h + =1(ab 0)的两焦点为 R a b的两边，则椭圆的离心率eF2，以FF2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF

2、2的中点B,连接BFi,把已知条件放在椭圆内，构造 FiBE分析三角形的各边长及关系。解：丁| F1F2 | =2c | BF | =c | BE | 活cc+ 3c=2a2 2X y变形1:椭圆h + =1(ab 0)的两焦点为Fi、F2，点P在椭圆上，使 OPF为正三角形，求椭圆离a b心率解：连接 PF2，则 I 0F2| = | OF | =| OP| , / FiPR =90 图形如上图，e3-12 2X y变形2:椭圆尹+話=1(日比0)的两焦点为Fi、F2,AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PFi丄X轴,PE / AB,求椭圆离心率解:v| PFF2 Fi | =2c | OB

3、| =b | OA| =aPH / ABI PF1 |I F2 F1 | a又/ b=a2-c22 厂 2 a =5c e=点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率二、运用正余弦定理解决图形中的三角形2 2X y题目2:椭圆 p + =1(ab 0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，/ ABF=90，求ea b解:a2+b2+a2 =(a+c) 2 =a 2+2ac+c2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以 a2e2+e-1=0 e=2x变形：椭圆ra+ j=1(ab 0) , e=-1 + 2 5A是左顶点,F是右焦点，B是

4、短轴的一个顶点，求/ ABF点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90 引申：此类e=鳥二的椭圆为优美椭圆性质：1、/ ABF=90 2、假设下端点为Bi ,则ABFB四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于 长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有 关e的方程式。2 2x y题目3:椭圆十+ L=1(ab 0)，过左焦点Fi且倾斜角为60的直线交椭圆与 AB两点，若丨FiA | =2 |a bBF | ,求 e解：设 | BF | =m 贝U| AF | =2a-am在厶AFF2及厶

5、BF1F2中，由余弦定理得:| BF | =2a-m a2 - c2=m(2a-c)2(a 2-c2)=m(2a+c):2a-c两式相除亦T2e=3题目4:椭圆2 2X y+ b=1(ab 0)的两焦点为Fi(-c, 0)、F2 (c,0)P是以| F1F2 |为直径的圆与椭圆的一个交点，且/ PF1F2 =5 / PF.Fi ,求 e分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用解：由正弦定理：| FiF2 | FiP| PF2|sin F iPH =sin F iF2P=sin PF iF2根据和比性质：| FiF2 |1 FiP | + | PE |sin F iPF? - sinF iFz

6、P+sin PF iF?变形得：| FiF2 |sin F iPF?| PH | + | FiP | =sin F iF2P +sin PF 尸22c=2a=e/ PFiF2 =75 / PFzFi =i5 sin90 e= sin75 +sini5 点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知sin F iPF2e=sin F HP +sin PF 丘2 2X y变形 i:椭圆一厂 +L=i(ab 0)的两焦点为 Fi (-c， 0)、F2 (c,0)a bP是椭圆上一点，且/ FiPF2 =60，求e的取值范围分析：上题公式直接应用。解：设/ FiF2P=a，则/ F2FiP=i20

7、- asin F 1PF2e=sin F 1F2P +sin PF 1F2sin60 sin a +sin(120 - a )12sin( a +30变形2:已知椭圆2x+42 y 4T=1 (t0) F 1F2为椭圆两焦点,M为椭圆上任意一点(M不与长轴两端点重合)设/ PF1F2 = a ,/ PF2F1 = 3 若 an 令 tan 3 v,求e的取值范围分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。解;根据上题结论e=sinFsin F 辟sin( a +3 )1F2P +sin PF 1F2sin a +sin 32sin a +3 cos a + 32sincos -2 2a + 3a

8、- 32 cos 2sinacos cos3.)s -sin2+sina . 3亍忙a . 3sin 1- tanaytan=e1- tana3tan 2 21 1-e111t 一 veb 0)，斜率为1,且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，0你0有a=(3,-1)共线，求法一：设 A(X1,y 1) ,B(x 2,y 2)2 2 2 2 2 2b x +a y =a by=x-c(a 2+b2)x 2-2a 2cx+a2c2-a 2b2=02a2c2a2c-2b 2cx+X2= 72 y 1+y2= 2c= 2r?a +ba +ba +bOAOB=(X1+X2,y 刊2)与( 3，-1

9、 )共线，则-(X1+X2) =3(yi+y2)既 a 2=3b2 e=法二：设AB的中点22Xiy孑+b2=122X2孑+y2-=1yi-y2b2X1 +X 2X1-X2a2y 1+y2贝U 2ONtOA+OB四、6/. 1=-角(-3)既 a2=3b2-得:由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。2 2Xy -题目6：椭圆 訂+*L=l(ab 0)的两焦点为Fi (-c , 0)、F2 (c,0)，满足MF MF =0的点M总在椭圆内 部，则e的取值范围/ Ovev#2 2X y题目7：椭圆 p + =1(ab 0)的两焦点为Fia b(-c，0)、F2 (c,0) ，P为右准线L上一

10、点，FiP的垂直平分析：t MFMF =0 以F1F2为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点 解：二 c2c分线恰过F2点，求e的取值范围分析：思路1,如图FiP与F2M垂直，根据向量垂直，找思路2:根据图形中的边长之间的不等关系，求b、c的不等关系。解法一:Fi (-c , 0)F 2 (c,0) P(2a c，yo )M(2a -ccy02 ，2丿打b2既（莎,MF =-(b2PF MF =02a(+c, y 0 )b2-c,2cy。厂)=o2a(-+c) b22T-c)+2 y0 2_=0a2-3c 2w 0i3 w e -cc3c2a c2t a 则 PF =-(+c, yc943c2

11、 a2 总结：对比两种方法，不难看岀法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧 妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方 法，值得大家注意。离心率为高考的一个重点题目，多以选择题或解答题的第一问形式岀现，望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。椭圆中与焦点三角形有关的问题2 2X y题1：椭圆1的焦点为F、F2,点P为其上动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是设计意图：从习题入手，不陌生，并且让学生明白本节课内容有很强的实用价值。（二）问题的分析与引导问题分解：问题1.椭圆X2y41的焦点为Fi、F2,点

12、P为其上一点，当f1pf2为直角时，点P的横坐标是问题2.而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系解题的关键在于点动，发现 f1PF2的大小与点P的位置有关，究竟有何联系，成了大家探索的焦点。设计意图：把一个看似未知的问题转化为几个“已经具备的经验”可以解决的问题，是数学常规解题策略，这个任务不可能一蹴而就，但可以水滴石穿。性质一：当点P从右至左运动时，F1PF2由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时，f1pf2达到最大。3.“性质一”是为什么呢你能证明吗提示：“这节课我们研究的是焦点三角形，在三角形中，求角的最值往往可转化为求什么

13、的最值”学生 思考后回答：求某个三角函数的最值。问题3:解三角形中我们常用的理论依据是什么问题4:究竟转化为求哪种三角函数的最值，经大家演算、试验，悟岀“欲求F1PF2的最大值，只需求cos F1PF2的最小值”（面对 cos F1PF2=迈旦 如何求最小值，有的同学尝试后发现若用2 | PF1 | | PF2 |两次均值不等式，则两次不等号方向相反，达不到目的。能否少用一次均值不等式求岀最值呢学生们发现分子变化的部分是| PF1 |22| PF2 |，分母变化的部分是2 | PF1 | PF2 |，二者的关系是|PF1 |2 |PF2 |22| PF1 | PF2 |2|PF1 | |PF2

14、| 4a2 2|PF1| |PF2|，于2b2是目标式可分成两部分| PF1 | | PF? |最后对| PF1 | | PF2|利用均值不等式，即可大功告成。设计意图：在课堂教学和作业中渗透两个 角及基本不等式的应用。7： 3是我们一直致力在研究的课题，本例很好地体现了三从而求得当| PF1 | | PF2 |，即点2b2与短轴端点重合时，cos F1 PF2有最小值为2aF1PF2有最大值。此题结果为3.5 3、51，问题5:由上面的分析，你能得出cos f1PF2与离心率e的关系吗性质二：已知椭圆方程为2 2X y1(a b 0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2a b中

15、F1 PF2,则 cos21 2e .(当且仅当动点为短轴端点时取等号)设计意图：进一步的挖掘,可以让问题简单化，应用价值就更高,“看似一小步，其实一大步” ！2 2题2：已知F1、F2是椭圆笃 爲 1(a b0)的两个焦点，椭圆上一点 P使a bF1PF290 ，求椭圆离心率e的取值范围。思路：由焦点三角形性质二,cos 9001 2e2.r 尹03 p2x变式1 :已知椭圆2a2每 1(a b 0)的两焦点分别为F1, F2,若椭圆上存在一点P,使得bF1PF21200,求椭圆的离心率e的取值范围。简解：由椭圆焦点三角形性质可知 cos120011 2e2.即1 2e22于是得到e的取值范

16、围是-,1 .2追问：何时取等号2 2xv变式2 :若椭圆1的两个焦点F1、43F2，试问：椭圆上是否存在点P，使 FfF290存在，求出点P的纵坐标；否则说明理由。 简解：两种做法：方法一：设PF1的纵坐标的绝对值方法二：cos90m, PF2yP3，故1 2e2n，可以得到p的纵坐标为3 或-3.n 4，故mn 6，所以411，但椭圆离心率为，不在范围内，故不存在。两种解法，答案不一致，原因2直接为“问题引入2”埋下伏笔，有承上启下的作用。设计意图：两个练习题，层层递进，练习(三)问题引入2 (一道很普通的错题)2 2X y题3: P是椭圆一 丄一 1上的点，Fl, F2是椭圆的焦点，若F

17、fF2 ，贝U PF1F2的面543积等于。多数同学：利用椭圆定义和余弦定理列出方程组，消元，求出I PF! | | PF2 |，代入面积公式。问大家：“既然面积可求，那么| PF! |、丨PF2 I也一定可求，请大家计算一下| PFi |、| PF2 |的值”。同学们利用根与系数的关系构造一个以| PF1 |、丨PF2 |为根的一元二次方程，发现此方程判别式小于0,无实根，究竟怎么回事，同学们陷入思考中。两种解法，两种结果，谁对准错，难以定夺，同学们自发地探索起分歧的原因。经讨论、交流、思考，发现题目岀错，利用刚才一探索岀的规律，当点P与短轴端点重合时，FfF2有最大值，查表求得是57，因此

18、，给定椭圆上不存在点P,使F1 PF232 2问题1:已知椭圆C: x-1 （ab0） ，Fi、F2是两个焦点，对于给定的角0，探a2 b2求在c上存在点P，使FfF2的条件。尽量让学生得到：存在点 P的条件可相应得到：F1 BF2。（B为椭圆短轴的一个端点）设计意图：要学生养成仔细审题的习惯，就必须从课堂开始训练 问题2:怎样改动，使上面不是一个错题2X改动一：P是椭圆 -521上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若4F1PF2PF1F2的面积等于2X改动二：P是椭圆4y21上的点，F，F2是椭圆的焦点，若F1PF2PF1F2的面积等于问题3:改动的依据是什么（F1PF2F1BF2,b为短轴的一

19、个端点）设计意图：自己编题,体会题目如何来，要考什么。题4:若F1、2xf2是椭圆二a2y1（a b 0）的两个焦点，P是椭圆上一点，且b2F1PF2解：设PF1m5PF2n ，2 2 -22m n 2mn cosF1F24c由椭圆定义得 m n2a 222由得：mn2( ac)2b求椭圆的面积。由余弦定理得沖二P1 cos1 cosF1PF21-mn sin22 sin b2性质三：若Fl、F2是椭圆则 S f1PF2b2 ta n 。2继续看题2:已知F2是椭圆1eos22xy2.2ab22xy2.2abb2%1(a1(a0）的两个焦点，P是椭圆上一点，且 FfF2求椭圆离心率e的取值范围

20、。思路二：利用焦点三角形性质，从面积角度考虑不妨设短轴一端点为 Bb2 tan 452cbe2e2a0）的两个焦点当然，若用公式去解同学们编制的题目将是易如反掌的。 如果把图形特殊化，使 PF丄F1F2,我们可以得到：性质四:过椭圆焦点的所有弦中通径（垂直于焦点的弦）最短，通径为2b22.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足围是（C ）（09江西）y2 x2题5：已知椭圆C1:221（a b 0）的右顶点为A（1,0），过G的焦点且垂直长轴的弦a b长为1 .求椭圆G的方程；这就是09年浙江省高考理科试题。展示评分标准。设计意图：从高考角度岀现，进一步体现实用价值。问题：考察两个定点的位置还有

21、哪些可能。定点可以是长轴顶。恒、中心、短轴顶点，甚至可能是坐标轴上任一点或椭圆内的一点【课堂测试】2 2r已知F|、F是椭圆C : -2岭 1(aa bb 0）的两个焦点，p为椭圆C上的一点，且PF1 PF2。若 PF1F2的面积为9，则b（09上海）uuun uuuLrMF1 MF20的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范15 B (0，2 C - (0,D 子x22 o3.已知椭圆 y l(a 1)的两个焦点分别为Fi，F2，P为椭圆上一点，且 F1PF2 60，则a| PFi | | PF21的值等于.2 2xV4 (选做)设椭圆飞 21(a b 0)的左、右焦点分别为Fi, F2,

22、A是椭圆上的一点，ab1AF2F|F2，原点O到直线AF|的距离为一 OF1 .证明a J2b ；3椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等 .一.焦点三角形的形状判定及周长、面积计算x2 y2例1椭圆1上一点P到焦点的距离之差为2，试判断 PF1 F2的形状.16 12解：由椭圆定义:IPF1 | PF2 | 8,1 PF1 |IPF2 I 2. | PF1 | 5,| PF2 I 3.2又 | FF2 | 4，故满足：| PF2 |2 2| f1f2 |

23、pf1 | ,故pf1f2为直角三角形性质一：2 2xV已知椭圆方程为221(a b 0),两焦点分别为FF?,设焦点三角形 PF1F2中ab,则 S f1PF2F1PF2b2ta n 。22 2性质二：已知椭圆方程为丫夕 1( a ba2b20),左右两焦点分别为F1, F2,设焦点三角形PF1 f2，若 F1PF2最大，则点p为椭圆短轴的端点证明：设P(xo, yo),由焦半径公式可知：PF1 a ex,， PF1a ex,在 F1PF2 中, cosPF1I2 Ipf2 IF1F2I22|PFPF2|(IpfJPF2I)2 2PF1IPF24c22IPFJPF2I4a2 4c2 ,4b2

24、 12b2-2 22a e X。12 PF1 PF22(a ex,)(a ex,)22ax0axoa性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径b2(垂直于焦点的弦)最短，通径为2a性质四：已知椭圆方程为2 x2 a1(a b 0),两焦点分别为F1, F2,设焦点三角形PF1F2中F1PF2,则 cos2e2.证明：设PF1r1, PF2r2,则在F1PF2中，由余弦定理得:cos2 212F1F22222(A r2)2叩2 4c22222a 2c 1222 22a 2c2 22a 2c 11 2e2.r1r2 22( 丁)2a2命题得证。2x(2000年高考题)已知椭圆va1(a b 0)的两焦点分别

25、为F1, F2,若椭圆上存在一点P,使得F1 PF21200,求椭圆的离心率e的取值范围。简解：由椭圆焦点三角形性质可知cos120012e2.即 1122e2于是得到e的取值范围是v3 1J 22x性质五：已知椭圆方程为2a2殳 1(a b0),两焦点分别为F1, F2,设焦点三角形 PF1F2，PF1F2PF2F1,则椭圆的离心率esi n( ) sin sinPF1 F2PF2F1由正弦定理得:F1F2PF2由等比定理得:F1F2sin (180oF1F2sin(2csinsinPF1 PF2sin sinPF1 PF22asin( ) si n( ) sin sinsinsin.e C

26、 空)a sin sinF1F2丨是丨PF I和I PF |的等差中项.已知椭圆的焦点是 F* 1, 0）、F2（1 , 0） , P为椭圆上一点，且I（1）求椭圆的方程；若点P在第三象限，且/ PFF2= 120,求tan FPF解：(1)由题设 2 I F1F2 I = | PF 丨 + 丨 PFI.2a= 4,又 2c= 2，: b= .,3.椭圆的方程为=1.设/ rpf = e，则/ PFR = 60 e椭圆的离心率e 2sin3 sin(60osin (180)sin 120o sin(60o )整理得：5sin e = . 3 (1 + cos e )sin1 cos故 tan

27、52.35tan RPF=tan e =12511圆锥曲线中（椭圆离心率）的基本范围问题1.2X已知点P在椭圆一21内，F| , F2是椭圆的两个焦点求PF1PF2的范围.PFPFQFIPFPQQFPFPQQFQF2a故2PF1PF2222 22.已知点P在椭圆x21(a b 0)a b上, F1 , F2是椭圆的两个焦点，求点 P位于何处时F|PF2最大（焦点三角形两个基本关系）解：设 f1pf2，在F1PF2 中,cosPFPF22 4c22 PF1 PF2因为PF1 PF2即cosPF12a，所以4 a2cos2 PF1 gPF2 4c22PF1 PF2,2b2 , 1，而PF1PF2P

28、F12a时取得在0, 上是减函数）2a2，所以cos 的最小值是在PF2(cos，即点p为椭圆短轴上的顶点.3. 已知椭圆22xy2,2ab1(ab 0) 上, Fi , F2是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点F1PF21200，求椭圆离心率的范围.解法一： 解2b2RPF2，由上题cosPF1 PF2卑1，a21所以 cos12002 222b , a 2c1212aa解法二：设Pxo, yo，则PF|a ex0，PF2 a ex。，则 PR PF22 2e xo ；F1PF2 中,0cos120PF|PF2|2 4c2 即 22 PF1 PF2PF1IIPF2，因为X0a，所以 4b2 a2，3a2234c ， e ，又 0 e 1 故 e22x4. 已知椭圆pa b2岭1(ab 0）的长轴两端点为A、B，如果椭圆上存在点QAQB