有关三角形全等的几何证明题的正向思维与逆向思维

1、有关三角形全等的几何证明题的正向思维与逆向思维摘要：数学以实践为源头， 又以实践为终结， 扎实的数学理论知识和灵活的数学思维， 都是为了将数学知识运用于解决实际问题中， 形成合理的思维模式。初二， 学生学习有关三角形的几何证明题， 做题的时候， 我发现许多学生不能把理论和实际操作有效的结合， 证明思维混乱。因此本文仅对初中二年级下册有关三角形全等的几何证明题思维模式作一探讨和总结。关键词：初中数学； 几何证明；1 正向思维：分析题目中的每一个重要条件， 产生结果， 寻找关系入口， 逼近问题1.1 已知线段相等， 怎样用例1:已知如图1, 在ABC中， AB=AC, 点D, E在边BC上， 且B

2、D=CE.求证：∠ADE=∠AED.图1图2分析：已知线段AB=AC, 标在图上观察， 这两条线段集中在同一个三角形中， 那么等边推等角， 得到∠B=∠C.已知线段BD=CE, 标在图上观察， 这两条线段没有集中在同一个三角形中， 那么找三角形， 证明ΔABD和ΔACE全等。得到AD=AE, AD、AE这两条线段在同一个三角形中， 等边推等角∠ADE=∠AED.或由全等得到∠ADB=∠AEC, 再去推导∠ADE=∠AED.1.2 已知线段的垂直平分线， 怎么用例3:如图2, 在Δ

3、ABC中， AB=AC, ∠BAC=120°， EF为AB的垂直平分线， EF交BC于F, 交AB于E.求证：CF=2BF.分析： （1） 、AB=AC, ∠BAC=120°知道∠B=∠C=30°， 这里许多学生一下子可能考虑不到AB=AC跟∠BAC=120°之间的关系， 教师可引导学生逐步分析、发现、总结； （2） 、EF为AB的垂直平分线， 优先考虑特征， 连接AF, 则AF=BF, 一条线索走到底， 那么∠BAF=∠B=30°， 则∠FAC=120°-30°=90&de

4、g;， ∠AFB=120°、∠AFC=60°；在直角ΔAFC中， ∠C=30°， 敏感30°所对的直角边等于斜边的一半， 因此AF=CF, 转化为2倍关系则CF=2AF, 即CF=2BF.1.3 已知角的角平分线， 怎么用已知角平分线， 要么走定义;, 要么走特征;.定义：给两个小角起名字;∠1, ∠2等等， 则两个小角相等， 等于大角的二分之一。特征：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。2 逆向思维：从问题出发， 推导分析， 向已知条件靠拢2.1 求证两条线段相等， 怎么操作基本方法：若求证的两条线段没有

5、在同一个三角形中， 那么可以围绕求证的两条线段找三角形， 证明三角形全等。若求证的两条线段， 在同一个三角形中， 也可以通过证明等腰三角形来说明这两条线段相等。其他方法：求出这两条线段的长度；或借助中间关系;, 例如找第三条线段， 证明这两条线段都与第三条线段相等。或借助方向;, 例如借助要求证的这两条线段所在的方向;, 证明还存在两对其他线段上的相等关系， 通过加;或减;再证明这两条线段相等。2.2 求证两个角相等， 怎么操作基本方法：若这两个角没有在同一个三角形中， 那么围绕这两个角找两个三角形， 证明全等。若这两个角在同一个三角形中， 那么也可以证明等腰三角形来求证这两个角相等。其他方法

6、：求出这两个角的度数；或借助中间关系;, 例如找第三个角， 证明这两个角都与第三角存在关系。或借助平行关系;由两直线平行推导三类角;, 例如两直线平行， 同位角相等；两直线平行， 内错角相等。例2:如图3, D是等边ΔABC的边AC上的一点， 且BD=CE, ∠ABD=∠ACE.求证：、ΔADE是等边三角形。、∠DBC=∠DEC.图3图4分析：已知等边ΔABC, 则AB=AC=BC, ∠BAC=∠ACB=∠CBA=60°；已知BD=CE, 标在图上观察， 这两条线段没有在同一个三角形中， 找三角

7、形证明ΔABD和ΔACE全等；已知∠ABD=∠ACE, 标在图上观察， 这两个角度没有在同一个三角形中， 则还是指向证明ΔABD和ΔACE全等。用SAS证明全等， 得到AD=AE, ∠BAD=∠CAE=60°；最后证明ΔADE是等边三角形。：走关系;重新加工的方法。已知∠ABD=∠ACE, ∠ABD、∠ACE都是60°的一部分， 则60°-∠ABD=60°-∠ACE即∠DBC=∠DEC. （求证∠DB

8、C=∠DEC, ∠DBC是60°的一部分， ∠DBC=60°-∠ABD=60°-∠ACE.观察图， 外角定理60°-∠ACE=∠DEC.所以∠DBC=∠DEC.）2.3 求证线段的垂直平分线， 怎么操作第一种做法：定义。既证明垂直， 又证明平分。第二种做法：特征的逆定理。到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。例4:如图4在ΔABC中， AD平分∠BAC, DE⊥AB, 垂足为E, DF⊥AC, 垂足为F.求证：AD垂直平分EF.分析：已知AD平分∠BAC, 走定义∠BAD=∠CAD, 走特征ED=FD.不论走定义还是走特征， 都能证明ΔAED和ΔAFD全等， 得到AE=AF, 所以点A在线段EF的垂直平分线上。因为ED=FD, 所以点D也在线段EF的垂直平分线上， 因此AD垂直平分EF.第二种做法：考虑定义的证明方法。2.4 求证角平分线， 怎么操作第一种做法：定义。证明两个小角相等。第二种做法：特征的逆定理。到角平分线两边距离相等的点， 在这个角的角平分线上。理论和实践的结合， 靠的