电磁场与电磁波例题详解

1、实用标准第1章矢量分析例1.1求标量场(x y)2 z通过点M(1,0,1)的等值面方程。解：点M的坐标是xo 1, yo O,zo 1，则该点的标量场值为(xo yo)2 zo0。其等值面方程为：(x y)2 z 0 或z (x y)21.2 求矢量场 A axXy2 ayX2yazzy2的矢量线方程。解：矢量线应满足的微分方程为dx2xydy2x ydz2y z从而有dx2xydx2xydy2x ydz2y z解之即得矢量方程C|X2y，c1和c2是积分常数。例1.3求函数xy2 z2 xyz在点(1， 1， 2)处沿方向角3的方向导数。解：由于2M (1,1,2) y yzM (1,1,

2、2) x1,M (1,1,2)yM (1,1,2)O,M (1,1,2) 2z xy M (1,1,2) z121cos,cos,cos222文档所以M COS lxcos ycos 1 z例1.4求函数xyz在点(5,1,2)处沿着点(5,1,2)到点(9,4,19)的方向导数。解：点(5,1,2)到点(9,4,19)的方向矢量为l ax(9 5) ay (4 1) az(19 2) ax4 a3 az17其单位矢量lax cosay cosazcos439x . 3149y .314az314yz (5,1,2)2,(5,1,2)yXg 10,石 I)xy(5,1,2)所求方向导数 cos

3、 xcos ycos z123、314例1.5已知x2 2y2 3z2 xy 3x 2y 6z，求在点(0,0,0)和点(1,1,1)处的梯度。解：由于ax(2x y 3) ay (4y x 2)az(6z6)所以(0,0,0)ax 3ay 2 az6 ，(1,1,1)ax6ay 3例1.6运用散度定理计算下列积分：ISaxXz2 ay(x2y z3) az(2xy y2z) dS2 2 2S是z 0和z axJ所围成的半球区域的外表面2解：设：A axXz2 ay(x2y z3) az(2xy y2z)则由散度定理Ad AdSs可得Ad(z2 x2 y2)dr2dsindrd d2_a 4d

4、 2 si nd r dr0 0 025a5例1.7试求 A和 A:Aaxxy zayX zazX yA(r,z)2arr cos2 . azr sinA(r,)arr sin1 . 1 a sin a 2 cos3(1)rr2 32 2解:(1)AxAyaxayazxyzAxAyAzxyAaxayazxyz2 332 2xy zx zx yax(2x2y x3) ay(3xy2z22xy2) az(3x2z 2xyz3)Azz1 - (r3cos r一 (r2sin ) 3r cos z1arraaz1arraazrrArrAzAzrr2 r cos0z 2 .r sinrrA0)(0 2r

5、 sin)az(0ra1 2 ar(r cos rarr cosar2 sin )2r s inazr sin (3)“1/ 2“、1 A、A 2 (r Ar)(sin )r rr si n1311. 2 x2(r sin )rsi n(sin )r rr3si n22 cosr1_Ar sin1(cos )r sin rarrar sina1A2 .r sinrArrAr sinA1arrar sina2 r sinr1r sinsinsincosr12_r sinar( cos 20) ra (0丄 sin 2 )2r2rsin a (0 r cos )例1.8在球坐标中，已知Pe cos

6、4 r2其中Pe、0为常数,试求此标量场的负cos21ar 3.a cosa cosr sinr梯度构成的矢量场，即E解：在球坐标戏中,ar r1rsinarpe cos( rpe cosar *34 rpe cos2)ar 23orPe30r(ar 2cos例1.9在由r 52)0r1 Pe( a -rPe sin3 orpe cos(宁刃 r 40rsin )4 04 ra sin )4围成的圆柱形区域上，对矢量r sinAarrpecosaz2z 验证高斯散度定理。解：因为要求验证高斯散度定理，即需要根据给出条件分别计算Ad和:A dS，得到二者结果相同的结论。s在柱坐标系下，有A 丄一

7、 (rA1丄一3)0 (2r) 3r 2r rrz r rz在由r 5，z 0和z 4围成的圆柱形区域内取一个小体积元d ，可知d rdrd dz，其中 Or 5、02 、0 z 4，故524524Ad(3r 2)rdrd dz (3r 2)rdr d dz 150 241200而r 5，z 0和z 4围成的圆柱形区域的闭合外表面由三部分构成：圆柱上表面Si(面元矢量dS1azrdrdz 4 )、圆柱下表面S2 (面元矢量dS2azrdrd ，z 0)和圆柱侧表面S3 (面元矢量dS3 ar rddz， 05)，故有:：sAdS A dS1S15 2 / 2 (aj0 04 2 / 20 0

8、(arr58 rdrdS2AdS2S3 AdS3az2z) azrdrd(aj2az2z) ( azrdrd )例 1.100 04 2512002125az 2z) ar rd dz r 524125d dz0 024Ad1200，即证。现有三个矢量场A、A ar sincosa cos cosa sin ，Barz2 sin2a z cosaz2rzsi n，2C ax (3y2x) ayX2 az2z。哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量的旋度表 示？解：本题考查的是矢量场的场源关系， 即:标量函数的梯度是一个有散无旋 的场，并根据发散场旋度为零，漩涡场散度为零进

9、行反推故先分别求出矢量的散度和旋度:2(Ar)r r1z 2.一(r sin r r0cosr sin(sinarrarsin a1r sinrArrArsin Aarra1 A r sincos cos )rsin arsin ( sin )1-2 r sinsincosr cos cosrsin sin1arraaz1arraazrrzrrzBrrBBz2 . z sin2rz cos2rz sin)2r sinB0(z2 cos(2rz sin ) z1 r(rz sin1(rBr) r r1BzzaxayazaxayazxyzxyzCxCyCz3y22x x22z2020Caz(2x

10、6y)C2yCxxCzz故B可以由一个标量函数的梯度表示，C可以由一个矢量的旋度表示第2章静电场与恒定电场例2.1已知半径为a的球内、 外的电场强度为下式所示，求电荷分布Eo2 a2r(r a)3rr(r a)E ar E0 5332a2a解：由高斯定理的微分形式E ，得电荷密度为 o E0用球坐标中的散度公式A(Sn A可得:r rr si nrsin1 2 a22 (r Ep)0 (r a)r rr(r a)1 2 r r15222 r Eo (53 亍)oEo 3 (a r )r r2a 2a2a例2.2 一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是azPo，求极化电荷分布解：建立球坐标系，

11、让球心位于坐标原点极化电荷体密度为PazPo0极化电荷面密度为PSP n azP0 arPo cos例2.3 一个半径为a的导体球，带电量为 Q,在导体球外套有外半径为b的同 心介质球壳， 壳外是空气，如图2.1所示。求空间任一点的D、E、P以及束缚 电荷密度。图2.1解：由介质中的高斯定律可知,在r a区域内：D dSsDr 42r Q，故 DQar 4 r2由本构方程DoEr oEE 得:介质内(a rb):1dar-rP4 roEar1 Q4 r2介质外(bl处的电场为Er3ql22 or42SoEz-d4 0 0a zrdrsoz1 -0 (z 2 op r r 0 r rr2)3/2

12、2 o(a2 z2)1/2上述结果适用于场点位于z0时。但场点位于zl时,将以上结果带入电场强度表达式并忽略高阶小量，得出Er3ql22 or4图2.5例2.11真空中有两个点电荷，一个电荷q位于原点，另一个电荷(a,0,0)处，求电位为零的等位面方程。q/2位于解：由点电荷产生的电位公式得电位为零的等位面为q4 orq2o1其中r (x2iz2)2，ri(xa)2等位面方程简化为2ri4(x2 2 2 ,a) y z x2z21111ll2、221-(12-3 二)(rl)r(1-)2rrrr1111ll2i x222 (12-)(rl)r(1t)2rrrr此方程可以改写为22a24a34a

13、2 a这是球心在（一,0,0）,半径为一的球面。33例2.12如图2.6所示，一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴方向，介质柱的高度为L，半径为a，且均匀极化，求束缚体电荷分布及束缚面电荷分布。图2.6解：选取圆柱坐标系计算，并假设极化强度沿其轴向方向，P Poax如图示，由于均匀极化，束缚体电荷为P 0。在圆柱的侧面，注意介质的外法向沿半径方向 n ar，极化强度在z方向，故在顶面，外法向为nax，故P ar 0spP ax P0在底面，外法向为nax，故spP ( ax)P0例2.13假设xvO的区域为空气，x0的区域为电解质，电解质的介电常数为3 o，如果空气中的电场强度E! ax 4ay

14、 5az (V/m ),求电介质中的电场强度E2。解：在电介质与空气的界面上没有自由电荷，因而电场强度的切向分量连续，电位移矢量的法向分量连续。在空气中，由电场强度的切向分量 Eit 4ay 5ax，可以得出介质中电场强度的切向分量 E2t 4ay 5ax;对于法向分 量，用Din D2n，即oEixE2x，并注意Eix 3,3 o，得出E2x 1。将所得到的切向分量相叠加，得介质中的电场为E2ax 4ay 5az(V / m)例2.14 一个半径为a的导体球面套一层厚度为b-a的电解质，电解质的介电常 数为&，假设导体球带电q，求任意点的电位。解：在导体球的内部，电场强度为 0。对于电介质和

15、空气中的电场分布，用高斯定理计算。在电介质或空气中的电场取球面为高斯面，由D dS 4sr2Drq得出Drq4 r2电场为:Erq4 r2在介质中(arb )。电位为Edr2 dr 0rdr rq q (1 1)40b 4 r b(arb)例2.15真空中有两个导体球的半径都为a，两球心之间距离为 d，且da,试计算两个导体之间的电容解：因为球心间距远大于导体的球的半径,球面的电荷可以看作是均匀分布由电位系数的定义，可得1 1Pl2P22， Pl2P214 oa4 od让第一个导体带电q,第二个导体带电-q，则ipiiqpi2qq q4oa4 odP2iqP22qq4odq4 oa化简得C2

16、oadd a例2.i6球形电容器内，外极板的半径分别为 a,b，其间媒质的电导率为，当外加电压为U。时，计算功率损耗并求电阻。解：设内,外极板之间的总电流为Io，由对称性，可以得到极板间的电流密度为Jar2 rUo =从而_I_4 r2b Edr =arUoi 2ar单位体积内功率损耗为p=JU。总功率耗损为U 2由P=，得Rb 2P= p4 r dr =a4Uo 2b dr _.4 Uo211 2a r211abab1 i2 r a bR=例2.17 一个半径为a的导体球作为作为电极深埋地下,土壤的电导率为。略去地面的影响，求电极的接地电阻。解：当不考虑地面影响时，这个问题就相当于计算位于无

17、限大均匀点媒质中的导体球的恒定电流问题。设导体球的电流为I，则任意点的电流密度为I4 r2 ar导体球面的电位为（去无穷远处为电位零点）U= r=a 44 a接地电阻为例2.18如图2.7所示，平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分别为di和d2，介电常数分别为1和2，电导率分别为1和2，当外加电压Uo时，求分界面 上的自由电荷面密度。解:设电容器极板之间的电流密度为 J,则J1E1 2E2巳J，E2J1 2于是UoJd1Jd21 2即JUod1d21 2分界面上的自由面电荷密度为UosD2nD1n2 E21 Ei1 U1 did2Id1 1?1FJ1Id22 2, 2r图2.7例2.19在电

18、场强度E axy ayX的电场中把带电量为2q(C)的点电荷从点(2,1, 1)移到点(8,2, 1)，试计算电场沿下列路径移动电荷所做的功。(1) 沿曲线x 2y2 ；沿连接该两点的直线。解：本题要求电场力移动电荷所做的功，最直接的办法就是根据功 =作用力 x作用距离，由给出的电场强度确定电荷所受电场力， 再在对应的移动路径C上 进行线积分，即W F dl 2qE dl。但注意到题目给出的场强为静电场的CC电场强度，则可根据静电场为保守场，由静电力所做的功与电荷移动路径无关， 至于电荷运动起止点的电位差有关这一特点进行计算。方法一:axy ayX可得，电位(x, y,z) xyC，其中C为常

19、数。点(2,1, 1)到点(8,2, 1)之间的电位差U (2,1, 1)(8,2, 1)14故无论是沿曲线x 2y2还是沿连接该两点的直线,电场力移动电荷2q(C)E 0，此电场为静电场，电场力所做的功与电荷移动路径无关。所做的功W 2qU 28q(J)。方法二：电场力 F 2qE ax( 2qy) ay( 2qx)， 小，并求此最小电场强度。点(2,1,1)移到点(8,2, 1)变化的只是x和y，故有dlaxdx aydy， F dl 2qydx2qxdy(1)曲线C:2 / ”x 2y 有 dx 4ydycF(2)曲线C:cF2dl 1 ( 2qy 4ydy 2qdyy 11刚，即 x

20、6y 4，x 2 62dl 1 2qy 6dy 2qdy (6y2y2)有dx4)例2.20球形电容器内外导体球半径分别为U不变，试证明当内外导体球半径满足关系2 21 12qy2dy 28q(J)6dy21 ( 24qy 8q)dy 28q(J)a和b，如果保持内外导体间电位差a=b/2时，内导体球表面的电场最解：要求得内导体球表面的最小电场强度， 需先求出空间各点电场强度的分 布，再根据高等数学中函数最小值出现在函数一阶导数零点的知识，求出内导体球表面的电场强度最小值，并得到此时内外导体球半径之间的关系。由于内外导体球间存在电位差，故内导体球表面存在电荷，可设在内导体球 面上均匀分布有总量

21、为 Q的电荷，因此以导体球球心为坐标原点建立球坐标系，内导体球面为r a，外导体球面为r b。在a r b的区间包围原点做一个半径为r的闭合球面S,由于电荷和电场的分布满足球对称，在S上应用高斯定理，有SE dS20 0 Err2sin d dQ4 or2Er4 or2,Ear设外导体电位为0，则内导体电位为U，将点电荷从内导体表面搬到外导体上所需要的电场力所做功为:bU E dla2 dr a 4 or2-(-；)0 a b4 o ab故可反解出 Q -一U ， Eaa-U2 (a r b)b ab ar在内导体球表面r a，有Er bU 2Er (a, b)ab aEr bU (2a b)

22、2 2 ，a (ab a )0，即b 2a 0，a b/2时有Er的最值又a b/2时，旦 0 aa b/2时，一空0 ;故a b/2时有最小值。 a当内外导体球半径满足关系a=b/2时，内导体球表面的电场最小。实用标准此最小值为Emin ar 2U 可a b例2.21电场中一半径为a的介质球，已知球内、外的电位函数分布为:E0r cos-a3Eo-c, r a2 or文档A E0rcos ,2 0验证球表面的边界条件,并计算球表面的束缚电荷密度。解：题目给出的边界面，是介于介质和空气之间的球面，其法向为球的径向ar，切向则为a和a方向。要验证分界面上的边界条件，可以从电场矢量方面入手，根据题

23、目给出电位分布，求出电场强度的分布，得到在边界面E1tE2t ；也可以直接根据电位的边界条件,在r a的分界面上，得到12的结论。而要计算球面的束缚电荷密度，可根据PSP n来计算。1 )验证边界条件:方法一：直接利用电位的边界条件，有:a时，1E0acosaE0 cos2 0-E0r cos 2o12，边界条件成立方法二:EiE2ar(Eo cos3Eo2cos3) a ( Eo sinr宀3E2 o匕單T),rar分界面r0 - (ar Eo cos0a E0sin ), r aa 上, narE1t a ( E0 sinE0 sin ) a2 0- E0 sin E2t0EitEn，边界

24、条件成立计算球表面的束缚电荷密度:由上面可得Eiar (E0 cosE0 sin a3E。sin 、厂)，r a rE2(arE cos2 0Eo sin),0E F0)EF2o)Ei(0)ar(12a3厂)Ecosa (r3I a、3)Esin ,r a 0 r0)E20,例2.22有一半径为a，带电荷量为q的导体球，其球心位于两种介质的分界面 上，此两种介质的介电常数分别为 i和2，分界面可视为无限大的平面，求：(1) 球的电容量；储存的总静电能。解：此导体球为单导体系统，选无穷远点为零电位点，球的电容量可由C Q 求出，其中Q为导体球所带电荷量，即q ;为导体球表面电位与零电位点的电位差

25、。故求球的电容量，就需求导体球外电场强度的分布。同样，静电场的能量 也可由电场强度求出，故本题的核心在于求电场强度的空间分布。由图2.8所示，以导体球的球心为坐标原点建立球坐标系，电荷和电场分布 具有球对称特性。在r a处做同心的高斯闭合球面，有22D dS Dr1 2 r Dr2 2 r qS(1)在1和2的介质分界面上，有Eit E故有Dr1Er即 E1rE2rEr ,D1 r 1 E1 r2 r2 Dr2 2 r2dr1 Er， D2r 2E2r(1Er 2Er) 22Er ,We(注:2)r2qdra 2(12)r2q2 ( 12)rq2 a( 12)C2 a( i2a Er12qq4

26、 a( 12)也可计算为:We/2 2 12 21E r sin drd d/2 0 22 22E r sin drd d4 a( !2)第4章恒定磁场例4.1半径为a、高为L的磁化介质柱，如图4.1所示，磁化强度为Mo(M。为 常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流Jm和磁化面电流Jms。图4.1解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z= L处。此时，M azM 0，磁化电流为J mM(Maz)0在界面z=0 上,naz，J mSM n M0az (az)0在界面z=L 上,n az，J mSM n M 0az az0在界面r=a上，n ar，

27、J mSM n M0az arM0a例4.2内、外半径分别为a、b的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电流I，求 柱内、外的磁感应强度。解：使用圆柱坐标系。电流密度沿轴线方向为0,r aJazt12 ,a r b(b2 a2)0,r b由电流的对称性，可以知道磁场只有圆周分量。用安培环路定律计算不同区域的磁场。当ra时，磁场为0。当avrvb时,选取安培回路为半径等于r且与导电圆柱的轴线同心的圆。该回路包围的电流为I = J r2a2I r2a22 2 oI r a 由;B dl 2 rB o I，得 B =22c2 r b2 a2当ra时，Ha 2 r磁感应强度如下：r a 时，B-Irj ；

28、ra时，2IBa 2 r为了计算磁化电流，要求磁化强度：r a 时，Ma ( 11) Ir2，o2 aJ m1IMaz( 11)0ar a 时，M2Ia( 01)2r，J mM 0在r a的界面上计算磁化面电流时，可以理解为在两个磁介质之间有一个很薄的真空层。这样，其磁化面电流就是两个磁介质的磁化面电流之和，即J ms M1 nj M 2n2这里的ni和n2分别是从磁介质到真空中的单位法向如果设从介质1到介质2的单位法向是n，则有Jms M1 n M 2 n代入界面两侧的磁化强度，并注意 n ar，得J msaz(1)az(1)az(1)0例4.7空气绝缘的同轴线，内导体的半径为a，外导体的半

29、径为b，通过的电流 为I。设外导体壳的厚度很薄，因而其储蓄的能量可以忽略不计。计算同轴线单 位长度的储能，并有此求单位长度的自感。解：设内导体的电流均匀分布，用安培环路定律可求出磁场。IrIr a 时， H a 2 ； a r b 时， H a 2 a2 r单位长度的磁场能量为a 1Wm= 022h22 rdr+ a 川2 g；*故得单位长度的自感为L=，吒，其中的第一项是内导体的内自感例4.8 个长直导线和一个圆环(半径为a)在同一平面内,圆心与导线的距离是d，证明它们之间互感为 M 0(d . d2 a2)证明：设直导线位于z轴上，由其产生的磁场Bo12 x0 2 (d r cos )其中

30、各量的含义如图4.4所示。磁通量为Bds 0rdrd2 (d r cos )上式先对积分，并用公式dd a cos2d2a2所以互感为02 ra2)I (d . d2z 0的半无穷空求出H , B，Mrdr0 ,d2_例4.9 一根通有电流I的长直导线埋在不导电的均匀磁性介质中(1) 求出H , B，M及磁化电流分布；(2) 若将导线埋在介质分界面间，电流I沿z方向流动，在 间中充满导磁率为 的均匀介质，在z 0的半无穷空间为真空, 及磁化电流分布；x 0的半无穷空(3) 若将导线埋在介质分界面间，电流I沿z方向流动，在间中充满导磁率为 的均匀介质，在x 0的半无穷空间为真空,及磁化电流分布。

31、解：由安培环路定律，以导线为中心做闭合积分曲线，有:H dl H 2 r ICH ，即 H a 2 r2 r故: B H aHr，M(r 1)IB H ( 1)H a002 r(2)如图4.5(a)所示,以导线为中心做闭合积分曲线C，由安培环路定律有:CH dlH 2 r H a2r，则有:z 0:a 丄，M12 rBi(01)H(r 1)I2 r ，z 0: B2M 0， Jms M n Maraz-0H a，M20，Jm2 rJ ms0。C，由安培环路定律有:如图4.5(b)所示，以导线为中心做闭合积分曲线Hir H2 r对于分界面，x 0处a为法向，根据边界条件BinB2n，有 B1B2

32、 B，即:H1B，H2代入安培环路定律，有-解得B0_0 r_0 rJ，Hix 0:M,B0Hi ( r 1)已 a0 I0 rJ mM 0， Jms M n Ma 0 ；x 0:M2BH 20， J m0， Jms0。0ii zl r1h f -ft0X0u图 4.5(a)图 4.5(b)例4.10半径为a的无限长直圆柱形导线沿轴向通过电流I。如图4.6所示，取图中 2处为参考点，用拉普拉斯方程求导线外部的标量磁位。图4.6解：对磁标位来讲，它是和磁力线垂直的，而通电长直导线的磁力线是以电 流为圆心的同心圆，因此磁标位就应该是 r方向的射线，所以 m应该与r和z无关，拉普拉斯方程应该是:解出

33、来m C D代入已知条件2为参考点，有 m 2 C D再以导线为轴心在导线外做一个近似闭合的回路I，起点A和终点B在2的两侧，由于Hm,比照静电场中电场强度和电位之间的关系，B有 mA mB AH dl I， mA 0， mB 2 C D，则 2 C D I这样始终有两个未知量不能确定。于是又考虑2和0是同一点，那么参考点也可以看作是2 ，代入m C D中， 2时m D 0，故m C ，这就只有一个未知量了。B再做参考积分回路，则 mA mB 02 C AH dl I解得C 丄，故m C 2 2例4.11 一横截面为正方形的环形铁心上开有一空气隙，长度1mm，铁心内半径a 8cm，横截面边长b

34、 2cm，相对磁导率r 500。铁心上均有紧密绕有 线圈1000匝，如图4.6所示。忽略气隙附近的漏磁通，求此线圈的自感。解：由于0，忽略气隙附近的漏磁通，根据磁通连续性方程，可视将磁感应线只在磁环内流动，且垂直磁环截面，磁感应线穿过空气隙时仍均匀分布在截面上。设磁环上磁感应强度为B ，磁场强度为H;气隙中磁感应强度为Bo，磁场强度为H ，由安培环路定律有:cH dl H (2 r )H。NI，其中r a b 9cm对于空气与铁心的分界面,为法向，根据边界条件Bm B2n，有NI，解得BNI2 rBiB2B，可得 H ，H0BB故有 (2 r )0通过铁心截面的磁通量SB dSb2线圈的自感L

35、Nb2代入数据310 m，b 0.02m， r 0.09m500 0，N 1000，得Nb22r200 o 0.251(mH)第5章时变电磁场例5.1证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。 解：将JE代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有(E) ( E) 0由于： D ,( E) , E所以t0，(t)e例5.2设z=0的平面为空气与理想导体的分界面，z0 一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为 H(x,y,0,t) axH 0 si naxcos( t ay)，试求理想导体表面上 的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度。解:Js n H az axH0 sin axcos( t

36、ay)ayH 0sinaxcos( t ay)一S一 H 0 sin ax cos( t ay) aH 0sin axsin( t ay)t yaH。Ssin ax cos( t ay) c(x, y)假设t=0时，s 0,由边界条件n Ds以及n的方向可得例5.3试求一段半径为b，电导率为，载有直流电流I的长直导线表面的坡印aH0D(x, y,0,t)az -sin ax cos( tay)aH。E(x,y,0,t)az-sin axcos( tay)廷矢量，并验证坡印廷定理图5.1解：如图5.1，一段长度为I的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的 z轴重合,直流电流将均匀分布在导线的横截面上，于是有:1az 亏，EJIaz 2b2在导线表面H a真因此，导线表面的坡印廷矢量S E Har2b它的方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有S dSSSS ardSI2I2Ib2I 2R例5.4在两导体平板(z 0和z d)之间的空气中传播的电磁波，其电场强度矢量 E ayEoSin( /d)zcos( t kx)，其中 kx为常数。试求：(1) 磁场强度矢量H ;(2) 两导体表面上的面电流密度Js。解：(1)由麦克斯韦方程组得E ax( Ey/ z) az( Ey/ x) B