(完整)八下(2)勾股定理典型例题归类总结,推荐文档

1、勾股定理典型例题归类总结题型一：直接考查勾股定理例.在 dabc 中， c = 90 已知 ac = 6 ， bc = 8 求 ab 的长已知 ab = 17 ， ac = 15 ，求 bc 的长跟踪练习：1.在 dabc 中， c = 90 .（1）若 a=5,b=12,则 c=;（2）若 a:b=3:4,c=15,则 a=,b=.（3）若a=30，bc=2,则 ab=，ac=.2. 在 rtabc 中，c=90，a，b，c 分别对的边为 a，b，c，则下列结论正确的是( ) a、 b、 c、 d、3. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为() a、2、4、6b、4、6、8

2、c、6、8、10d、3、4、54. 等腰直角三角形的直角边为 2，则斜边的长为（）a、 b、 c、1d、25. 已知等边三角形的边长为 2cm，则等边三角形的面积为（）a、 b、 c、1d、6. 已知直角三角形的两边为 2 和 3，则第三边的长为.7.如图，acb=abd=90，ac=2，bc=1， ，则 bd=.8. 已知abc 中，ab=ac=10，bd 是 ac 边上的高线，cd=2，那么 bd 等于（）a、4b、6c、8d、9. 已知 rtabc 的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.(1)如

3、图，以 rtabc 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积 s1 、 s2 、 s3 之间有何关系？并说明理由。（2） 如图，以 rtabc 的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积 s1 、 s2 、 s3 之间有何关系？（3） 如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折 180，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）21 题型二：利用勾股定理测量长度例 1. 如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？跟踪练习：1. 如图（8），水池中离岸边 d 点 1.5

4、米的 c 处，直立长着一根芦苇，出水部分 bc 的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 b 恰好落到 d 点，并求水池的深度 ac.2. 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 5 米，消防车的云梯最大升长为 13 米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）a、12 米b、13 米c、14 米d、15 米3. 如图，有两颗树，一颗高 10 米，另一颗高 4 米，两树相距 8 米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）a、8 米b、10 米c、12 米d、14 米题型三：勾股定理和逆定理并用例 3. 如图 3，正方形 abcd 中，e 是 bc

5、边上的中点，f 是 ab 上一点，且 fb =角三角形吗？为什么？注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。跟踪练习：1 ab 那么def 是直41. 如图，正方形 abcd 中，e 为 bc 边的中点，f 点 cd 边上一点，且 df=3cf，求证：aef=90题型四：利用勾股定理求线段长度例 1. 如图 4，已知长方形 abcd 中 ab=8cm,bc=10cm,在边 cd 上取一点 e，将ade 折叠使点 d 恰好落在 bc 边上的点 f，求 ce 的长.跟踪练习：1. 如图，将一个有 45 度角的三角板顶点 c 放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上，另一个顶点 b 在纸带的另

6、一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30角，求三角板的最大边 ab 的长.2. 如图，在abc 中，ab=bc，abc=90，d 为 ac 的中点，dedf，交 ab 于 e，交 bc 于f，（1）求证：be=cf;（2）若 ae=3，cf=1，求 ef 的长.3. 如图，ca=cb,cd=ce,acb=ecd=90,d 为 ab 边上的一点.若 ad=1，bd=3，求 cd 的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例 1.有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5 米的墙上，任何东西只要移至 5 米以内，灯就自动打开，一个身高 1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯

7、刚好打开？跟踪练习：1. 如图，每个小正方形的边长都是 1，abc 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断abc 的形状，并说明理由.（1）求证：abd=90;（2）求的值2. 下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（）a、9，12，15b、7,24,25c、d、，3. 在abc 中，下列说法b=c-a； ；a:b:c=3：4：5；a:b:c=5:4:3； ：=1:2:3，其中能判断abc 为直角三角形的条件有（ ）a、2 个b、3 个c、4 个d、5 个4. 在abc 中，a、b、c 的对边分别是 a、b、c.判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个是直角？（1）a=26，

8、b=10，c=24;（2）a=5，b=7，c=9;（3）a=2， ，a、2 个b、3 个c、4 个d、5 个5. 已知abc 的三边长为 a、b、c，且满足，则此时三角形一定是（）a、等腰三角形b、直角三角形c、等腰直角三角形d、锐角三角形6.在abc 中，若 a= n2 -1，b=2n，c= n2 +1，则abc 是（）a、锐角三角形b、钝角三角形c、等腰三角形d、直角三角形7.如图，正方形网格中的abc 是（）a、直角三角形b、锐角三角形c、钝角三角形d、锐角三角形或钝角三角形8. 已知在abc 中，a、b、c 的对边分别是 a、b、c，下列说法中，错误的是（）a、如果c-b=a,那么c=

9、90b、如果c=90，那么c、如果（a+b）（a-b）=，那么a=90d、如果a=30，那么 ac=2bc9. 已知abc 的三边分别为 a，b，c，且 a+b=3，ab=1，求的值，试判断abc 的形状，并说明理由10. 观察下列各式：，根据其中规律， 写出下一个式子为 11. 已知，mn，m、n 为正整数，以，2mn，为边的三角形是三角形.12. 一个直角三角形的三边分别为 n+1，n-1，8，其中 n+1 是最大边，当 n 为多少时，三角形为直角三角形？题型六：旋转问题：3例题 6. 如图，p 是等边三角形 abc 内一点，pa=2,pb= 2,pc=4,求abc 的边长.跟踪练习1.如

10、图，abc 为等腰直角三角形，bac=90，e、f 是 bc 上的点，且eaf=45，试探究be2、f 2ef 2 间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例题 7.如图，矩形纸片 abcd 的边 ab=10cm，bc=6cm，e 为 bc 上一点，将矩形纸片沿 ae 折叠，点b 恰好落在 cd 边上的点 g 处，求 be 的长.跟踪练习1.如图，ad 是abc 的中线，adc=45，把adc 沿直线 ad 翻折，点 c 落在点 c的位置，bc=4,求 bc的长.(一)折叠直角三角形1. 如图，在abc 中，a = 90，点 d 为 ab 上一点，沿 cd 折叠abc，点 a 恰好落在 bc

11、 边上的a 处，ab=4，ac=3，求 bd 的长。2. 如图，rtabc 中，b=90，ab=3，ac=5将abc 折叠使 c 与 a 重合，折痕为 de，求 be 的长（二）折叠长方形1. 如图，长方形 abcd 中，ab=4，bc=5，f 为 cd 上一点，将长方形沿折痕 af 折叠，点 d 恰好落在bc 上的点 e 处，求 cf 的长。2. 如图，长方形 abcd 中，ad=8cm，ab=4cm，沿 ef 折叠，使点 d 与点 b 重合，点 c 与 c重合.（1） 求 de 的长;（2）求折痕 ef 的长.3. （2013常德）如图，将长方形纸片 abcd 折叠，使边 cd 落在对角线

12、 ac 上，折痕为 ce，且 d 点落在对角线 d处若 ab=3，ad=4，则 ed 的长为（）4. 如图，长方形 abcd 中，ab=6，ad=8，沿 bd 折叠使 a 到 a处 da交 bc 于 f 点.（1）求证：fb=fe（2） 求证：cabd（3） 求dbf 的面积7.如图，正方形 abcd 中，点 e 在边 cd 上，将ade 沿 ae 对折至afe，延长 ef 交边 bc 于点g,g 为 bc 的中点，连结 ag、cf. （1）求证：agcf;（2）求的值.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例 1、如图，公路 mn 和公路 pq 在 p 点处交汇，点 a 处有一所中学，ap=1

13、60 米，点 a 到公路 mn 的距离为 80 米，假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 mn 上沿 pn 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18 千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？mqpna例 2.一辆装满货物高为 1.8 米，宽 1.5 米的卡车要通过一个直径为 5 米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？跟踪练习：1. 某市气象台测得一热带风暴中心从 a 城正西方向 300km 处，以每小时 26km 的速度向北偏东 60方向移动，距风暴中心 200km 的范围内为受影响区域。试问 a 城是否受这次风暴

14、的影响？如果受影响， 请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。2. 一辆装满货物的卡车,其外形高 2.5 米,宽 1.6 米,要开进厂门形状如下图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?3. 有一个边长为 50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）4. 如图，铁路上 a，b 两点相距 25km，c，d 为两村庄，daab 于 a，cbab 于 b，已知da=15km,cb=10km，现在要在铁路 ab 上建一个土特产品收购站 e，使得 c，d 两村到 e 站的距离相等，则 e 站应建在离 a 站多少 km 处？题型九：关于最短性问题例

15、 1、如右图 119，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 a 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的 b 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线， 而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（ 取 3.14，结果保留 1 位小数，可以用计算器计算）例 2.跟踪练习：1. 如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方形，其边长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面 a 点沿表面爬行至右侧面的 b 点，最少要花几秒钟？

16、2. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm，3cm 和 1cm，a 和 b 是这个台阶的两个相对的端点，a 点上有一只蚂蚁，想到 b 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从 a 点出发，沿着台阶面爬到 b 点，最短线路是多少？a53b3. 一个长方体盒子的长、宽、高分别为 8cm，6cm，12cm,一只蚂蚁想从盒底的 a 点爬到盒顶的 b 点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？aab4. 如图将一根 13.5 厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为 4 厘米、3 厘米和 12 厘米的长方体无盖盒子中，能全部放进去吗？a3题型十：勾股定理与特殊角（

17、一） 直接运用 30或 45的直角三角形31. 如图，在abc 中，c = 90，b = 30，ad 是abc 的角平分线，若 ac= 2，求 ad 的长。2. 如图，在abc 中，acb = 90，ad 是abc 的角平分线，cdab 于 d，a= 30，cd=2，求 ab 的长。3. 如图，在abc 中，adbc 于 d，b= 60，,c= 45，ac=2，求 bd 的长。（二） 作垂线构造 30或 45的直角三角形（1） 将 105转化为 45和 601.如图，在abc 中，b= 45，a=105，ac=2，求 bc 的长。cd32. 如图，在四边形 abcd 中，a=c=45，adb=

18、abc=105,若 ad=2,求 ab 的长；若 ab+cd= 2+2，求 ab 的长。（2）将 75转化为 30和 4563. 如图，在abc 中，b= 45，bac=75，ab=，求 bc 的长。题型十一：运用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程1. 如图，在abc 中，c= 90，ad 平分cab 交 cb 于 d，cd=3,bd=5，求 ad 的长。2. 如图，在abc 中，adbc 于 d，且cad=2bad,若 bd=3，cd=8，求 ab 的长。(二)巧用“连环勾”列方程21. 如图，在abc 中，ab=5，bc=7，ac= 4,求 sdabc .2. 如图，在abc 中，a

19、cb= 90，cdab 于 d，ac=3，bc=4，求 ad 的长。3. 如图，abc 中，acb=90，cdab 于 d，ad=1，bd=4，求 ac 的长4. 如图，abc 中，acb=90，cdab 于 d，cd=3，bd=4，求 ad 的长题型十二：勾股定理与分类讨论（一） 锐角与钝角不明时需分类讨论1. 在abc 中，ab=ac=5，求 bc 的长2. 在abc 中，ab=15，ac=13，ad 为abc 的高，且 ad=12，求abc 的面积。（二）腰和底不明时需分类讨论3. 如图 1，abc 中，acb=90，ac=6，bc=8，点 d 为射线 ac 上一点，且abd 是等腰三角

20、形， 求abd 的周长.（三）直角边和斜边不明时需分类讨论1. 已知直角三角形两边分别为 2 和 3，则第三边的长为 2. 在abc 中，acb=90，ac=4，bc=2，以 ab 为边向外作等腰直角三角形 abd，求 cd 的长3. 如图，d(2,1),以od为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在 x 轴上的顶点坐标.题型十三： 或问题的证明1. 如图 1，abc 中，ca=cb，acb=90，d 为 ab 的中点，m、n 分别为 ac、bc 上一点，且dmdn. （1）求证：cm+cn=bd（2）如图 2，若 m、n 分别在 ac、cb 的延长线

21、上，探究 cm、cn、bd 之间的数量关系式。2. 已知bcd=，bad=，cb=cd.（1）如图 1，若 =90，求证：ab+ad=ac；（2）如图2， 若 =90， 求 证 ：ab-ad= ac；（3） 如 图 3， 若 =120，=60， 求 证 ： ab=ad=ac；（4）如图 3，若 =120，求证：ab-ad=ac；题型十四：问题的证明1. 如图，oa=ob，oc=od，aob=cod=90，m、n 分别为 ac、bd 的中点，连 mn、on.求证： mn=on.2. 已知abc 中，ab=ac，bac=90，d 为 bc 的中点，ae=cf，连 de、ef.（1）如图 1，若e、

22、f 分别在 ab、ac 上，求证：ef=de；（2）如图 2，若 e、f 分别在 ba、ac 的延长线上，则(1)中的结论是否仍成立？请说明理由3. 如图，abd 中，o 为 ab 的中点，c 为 do 延长线上一点，aco=135，odb=45探究od、oc、ac 之间相等的数量关系4. 如图，abd 是等腰直角，bad=90，bcad，bc=2ab，ce 平分bcd，交 ab 于e，交bd 于 h求证：（1）dc=da；（2）be= dh题型十五：勾股定理（逆定理）与网格画图1. 如图，每个小正方形的边长为 1，a、b、c 是小正方形的顶点，则abc 的度数为2. 如图，每个小正方形的边长

23、都是 1，在图中画一个三角形，使它的三边长分别是 3,2，且三角形的三个顶点都在格点上3. 如图，每个小正方形的边长都是 1，在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上4. 在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有 3 个5. 如图，在 4 个均匀由 16 个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这 4 个三角形中， 与众不同的是中的三角形，图 4 中最长边上的高为 6. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为 1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：（1）画一条线段 mn，使 mn=；（2）画abc，三边长分别为 3，2。

24、7. 如图，在 55 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，线段 ab 的端点在格点上（1） 图 1 中以 ab 为腰的等腰三角形有个，画出其中的一个，并直接写出其底边长（2） 图 2 中，以 ab 为底边的等腰三角形有个，画出其中的一个，并直接写出其底边上的高题型十六：利用勾股定理逆定理证垂直1. 如图，在abc 中，点 d 为 bc 边上一点，且 ab=10，bd=6，ad=8，ac=7，其求 cd 的长.2. 如图，在四边形 abcd 中，b=90，ab=2，cd=5，ad=4，求.3. 如图，在abc 中，ad 为 bc 边上的中线，ab=5,ac=13,ad=6，求 bc 的长

25、.4. 已知abc 中，ca=cb, acb=，点 p 为abc 内一点，将 cp 绕点 c 顺时针旋转 得到 cd，连ad（1） 如图 1，当 =60，pa= 10，pb=6，pc=8 时，求bpc 的度数（2） 如图 2，当 =90，pa=3，pb=1，pc=2 时，求bpc 的度数题型十七：勾股定理综合纯几何问题1. 已知，在 rtabc 中，c=90，d 是 ab 的中点，edf=90，de 交射线 ac 于e，df 交射线cb 于 f（1） 如图 1，当 ac=bc 时，、之间的数量关系为 （直接写出结果）；（2） 如图 2，当 acbc 时，试确定、之间的数量关系，并加以证明；（3） 如图 3，当 acbc 时，(2)中结论是否仍成立？2. 已知omn 为等腰直角，mon=90，点 b 为 nm 延长线上一点，ocob，且 oc=ob.（1） 如图 1，连 cn，求证：cn=bm;（2） 如图 2，作boc 的平分线交 mn 于 a，求证： （3） 如图 3，在(2)的条件下，过 a 作 aeon 于 e，过 b 作 bfom 于 f，ea、bf 的延长线交于p，请探究、之间的数量关系式题型十八：勾股定理综合（二）与代数结合1. 已知点 a 的坐标为（1，-3），oab=90，oa=ob.（1） 如图 1，求点 b 的坐标；（2） 如图 2，ady 轴