(完整)必修4__三角函数知识点归纳总结,推荐文档

1、【知识网络】三角函数应用三角函数的图像和性质任意角的三角函数诱导公式同角三角函数的基本关系式计算与化简证明恒等式弧长公式应用任意角的概念角度制与弧度制应用应用差角公式倍角公式和角公式已知三角函数值求角应用应用应用一、任意角的概念与弧度制1、将沿 x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为aa= a+ k a360(k z ) x轴上角：aa= k a180o(k z )y 轴上角：aa= 90o + k a180o(k z )3、第一象限角：a0 + k a360 a 90o + k a360(k z )第二象限角：

2、a90o + k a360 a 180o + k a360(k z )第三象限角：a180o + k a360 a 270o + k a360(k z )第四象限角：a270o + k a360 a 360o + k a360(k z )4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角第一象限角：a0 + k a360 a 90o + k a360(k z )锐角： a0 a 90o小于90o 的角：aa 0, y 0 第二象限： .x 0 第三象限： .x 0, y 0, y 0,cosa 0,tana 0, sina 0,cosa 0,tana 0, sina 0,cosa 0, sina 0

3、,tana 0,a 0)的性质：2a振幅： a ；周期： t = a ；频率： fa。= 1 = a ；相位：ax +a；初相：t2a3、周期函数：一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数t ，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f (x + t )= f (x)，那么函数 f (x)就叫做周期函数， t 叫做该函数的周期.4、 y = asin(ax +a)对称轴：令ax +a= ka+a，得 x =2aka+-a 2a对称中心：ax +a= ka，得 x =ka-a( ka-a z ) ；a ，a ,0)(k ka-a y = a cos(ax +a) 对称轴：令ax+a= k

4、a，得x =a；ka aaa+-a2ka+-a2对称中心：ax +a= ka+，得 x =， (,0)(k z ) ；2aa周期公式:2aa函数 y = asin(ax+a)及 y = acos(ax+a)的周期t =(a、a为常数，且aaa0).函数 y = a tan(ax +a)的周期t =(a、a为常数，且 a0).5、三角函数的图像与性质表格函 数性质y = sin xy = cos xy = tan x图像定义域rrax x ka+ 2 , k z 值域-1,1-1,1r最值a当x = 2ka+(k z )时，2ymax =1；a当x = 2ka-(k z )时，2ymin = -

5、1当 x = 2ka(k z )时，ymax = 1；当 x = 2ka+a(k z )时， ymin = -1既无最大值也无最小值周期性2a2aa奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性 aa在 -+ 2ka,+ 2ka22(k z )上是增函数；a3a在2 + 2ka, 2 + 2ka(k z )上是减函数在-a+ 2ka,2ka(k z )上是增函数；在2ka, 2ka+a(k z )上是减函数aa在 ka-ka+,22 (k z )上是增函数对称性对称中心(ka, 0)(k z )a对称轴 x = ka+ (k z )2对称中心 ka+ a 0 (k z ), 2对称轴 x = ka(k z )

6、 ka对称中心, 0 (k z ) 2无对称轴a3a6. 五点法作 y = asin(ax +a) 的简图，设t = ax +a，取 0、应 x 的值以及对应的 y 值再描点作图。7. y = asin(wx + j) 的的图像、a、 2a来求相228. 函数的变换：（1） 函数的平移变换 y = f (x) y = f (x a)(a 0) 将 y = f (x) 图像沿 x 轴向左（右）平移 a 个单位（左加右减） y = f (x) y = f (x) b(b 0) 将 y = f (x) 图像沿 y 轴向上（下）平移b 个单位（上加下减）（2） 函数的伸缩变换： y = f (x) y

7、 =1f (wx)(w 0) 将 y = f (x) 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的 倍（ w 1 缩短，w0 w 0)将 y = f (x) 图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 a 倍（ a 1 伸长， 0 a 1缩短）（3） 函数的对称变换： y =f (x) y = f (-x) ) 将 y = f (x) 图像绕 y 轴翻折 180（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于 x 轴对称） y =f (x) y = - f (x) 将y = f (x) 图像绕 x 轴翻折 180（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于 y 轴对称） y = f (x) y = f ( x )将 y = f

8、(x) 图像在 y 轴右侧保留，并把右侧图像绕 y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折） y = f (x) y = f (x) 保留 y = f (x) 在 x 轴上方图像， x 轴下方图像绕 x 轴翻折上去（局部翻动）四、三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1）sin(a+a)= sinacosa+sinacosa (2）sin(a-a)= sinacosa-sinacosa (3）cos(a+ a) = cosacosa- sinasin a (4）cos(a- a) = cosacosa+ sinasin a(5） tan(a+ a)=(6） tan(a- a)= tana

9、+ tan a 1 - tanatan atana- tana1 + tanatan atana+ tana= tan(a+a)(1- tanatana)tana- tana= tan(a-a)(1+ tanatana)(7)asina+bcosa= a2 + b2 sin(a+a) (其中,辅助角a所在象限由点(a, b) 所在的象ba2 + b2aa2 + b2限决定,sina=,cosa=,tana= ba1+ tanaa1- tanaa，该法也叫合一变形).(8)1- tana= tan( +a) 41+ tana= tan( -a) 42. 二倍角公式（1） sin 2a = 2si

10、n a cos a（2） cos 2a = cos2 a - sin2 a = 1 - 2sin2 a = 2cos2 a - 1tan 2a = 2 tan a（3）（3）1 - tan2 a3. 降幂公式：cos2 a = 1 + cos 2a（1）24. 升幂公式（1）1+ cosa= 2 cos2 a2（2） sin2 a = 1 - cos 2a2（2）1- cosa= 2 sin 2 a2aa)222（3）1 sina= (sin（5） sina= 2sin cos22aacos22（4）1 =sina+ cos aa5. 半角公式（符号的选择由 所在的象限确定）21 - cos

11、a2sin a = ，1 + cos a2cos a = ，（1）（3）2tan a = 2=sin a1 - cos a1 + cos a1 + cos a（2）2= 1 - cos asin a6. 万能公式:2 tan a1- tan2 a（1） sina=2 ,（2） cosa=2 ,1+ tan2 a22 tan a（3） tana=2 .1- tan2 a21+ tan2 a27. 三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。（1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加

12、、删除角的恒等变形（2） 函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：a2 + b2aa2 + b2ba2 + b2asina+ bcosa=sin(a+a)其中cosa=,sina=y = sin x +如：，比12 + ( 3)2312 + ( 3)23 cos x= 12 + (3)2 (1sin x +cos x)= 2( 1 sin x +3 cos x)aaa= 2(sin x cos+ cos xsin) = 2 sin(x +)22333（3）注意“凑角”运用：a= (a+ a)- a，2a= 1 (a+ a)- (a-a)a= a- (a-a)，例如：已知

13、a、a(3a3,a) , sin(a+ a)= -， sin(a- a12=) ，则45 )cos(a+ a = ?4413（4） 常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”可转化为“ sin 2a+ cos2a”（5） 幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：1 + cos a常用升幂化为有理式。（6） 公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。（7） 结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方

14、等。（8） 消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法（9） 思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。（10） 利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子： sin a + cos a ， sin a cos asin a - cos a ，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。8. 函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）： y = a sin x + b （或 a cos x + b) 型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论a2 + b2 y = a sin x + b cos x

15、型：引进辅助角化成 y =sin(x +a) 再利用有界性 y = a sin2 x + b sin x + c 型：配方后求二次函数的最值，应注意 sin x 1的约束a sin x + b y =c sin x + d型：反解出sin x ，化归为sin x 1解决 y = a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c 型：常用到换元法： t = sin x + cos x ，但须2注意t 的取值范围： t 。9. 三角形中常用的关系：sin a = sin(b + c) ，cos a = -cos(b + c) ，sin a = cos b + c ，22si

16、n 2 a = -sin 2(b + c) ，cos 2 a = cos 2(b + c)常见数据： sin15 = cos 75 = 6 -2,sin 75 = cos15 = 6 +，210.4433tan15 = 2 -, tan 75 = 2 +,“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can em