(完整)对数函数知识点总结,推荐文档

1、（一）对数对数函数1. 对数的概念：一般地，如果 a x = n (a 0, a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 n 的对数， 记作： x = log a n （ a 底数， n 真数， log a n 对数式）说明：1注意底数的限制 a 0 ，且 a 1；2 a x = n log na= x ；3 注意对数的书写格式两个重要对数：1 常用对数：以 10 为底的对数lg n ；2自然对数：以无理数e = 2.71828l为底的对数的对数ln n （二）对数的运算性质如果 a 0 ，且 a 1， m 0 ， n 0 ，那么：1 log a (m n ) = log a m loga n

2、；2log m = log m log n ；a naaaa3 log m n = n log m(n r) 注意：换底公式log b = logc b（ a 0 ，且 a 1； c 0 ，且c 1 ；alog cab 0 ）利用换底公式推导下面的结论（1） logbn = n logb ；（2） log b =1amma（二）对数函数alog ba1、对数函数的概念：函数 y = log a x(a 0 ，且 a 1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（0，+）注意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： y = 2 log2 x ， y = log x

3、5 5都不是对数函数，而只能称其为对数型函数2 对数函数对底数的限制： (a 0 ，且 a 1) 2、对数函数的性质：a10a0 得 x 0 ，函数 y = laog x 2 的定义域是x x 0；（2） 由4 - x 0 得 x 4 ，函数 y = log a (4 - x) 的定义域是x x 0 得-3 x 3 ，函数 y = loga(9 - x 2 ) 的定义域是x 1 1 x2 +1x - 3 x 3例 2求函数 y = - 2 和函数 y = + 2 (x -2) ； 1 x2 +1 5log1 (x - 2)22（2） = y - 2 f -1(x) = -(2 x ) 2例 4

4、比较下列各组数中两个值的大小：（1） log2 3.4 ， log2 8.5 ； （2） log0.3 1.8 ， log0.3 2.7 ； （3） loga 5.1 ， loga 5.9 .解：（1）对数函数 y = log2 x 在(0, +) 上是增函数，于是log2 3.4 log0.3 2.7 ；（3） 当 a 1 时，对数函数 y = loga x 在(0, +) 上是增函数，于是loga 5.1 loga 5.9 ，当o a loga 5.9 例 5比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1） log6 7 ， log7 6 ；（2） log3p， log2 0.8 ；（3）1.

5、10.9 ， log1.1 0.9 ， log0.7 0.8 ；（4） log53 ， log 63 ， log 37 解：（1） log6 7 log6 6 = 1，（2） log3p log3 1 = 0 ，(3）1.10.9 1.10 = 1，log7 6 log7 6 ；log2 0.8 log2 0.8 log1.1 0.9 log1.1 1 = 0 ，0 = log0.7 1 log0.7 0.8 log0.7 0.8 log1.1 0.9 （4）0 log3 5 log3 6 log6 3 log7 3 例 7求下列函数的值域：（1） y = log2 (x + 3) ；（2）

6、y = log 2 (3 - x2 ) ；（3）y = loga (x2 - 4x + 7) （ a 0 且 a 1）解：（1）令t = x + 3 ，则 y = log2 t ， t 0 ， y r ，即函数值域为 r （2）令t = 3 - x2 ，则0 1 时， y loga3 ， 即值域为loga 3, +) ，当0 a x 恒成立，故 f (x) 的定义域为(-, +) ，x2 +1x2 +1 - x( x2 +1)2 - x2x2 +11f (-x) = log2 (+ x)x2 +1x2 +1 + x= - log2= -log2= -log2- x = - f (x) ，所以，

7、f (x) 为奇函数。1例 9求函数 y = 2 log (x2 - 3x + 2) 的单调区间。3解：令u = x2 - 3x + 2 = (x - 3)2 - 1 在 3 , +) 上递增，在(-, 3 上递减，2422又 x2 - 3x + 2 0 ， x 2 或 x 0 ，32g(1-3) 0，解得2 - 2 a 2 ，所以， a 的取值范围为2 - 2 3, 2 3x - 2【例1】 (1)求函数y = log 1 2x - 1的定义域12(2)求函数y =(a0，且a1)的定义域 1 - loga (x + a)(3)已知函数f(x)的定义域是0，1，求函数y = flog 1 (

8、3x)的定义33x - 2 x - 1log203x - 2 101 2x - 1 2x - 12x - 13x - 212解 (1)由2x - 1 0 (3x - 2)(2x - 1)0 x 2 或x 3 1 x12x - 10x 12x 122122x 或 x x11233x22 所求定义域为x| 3 x1解(2)1loga(xa)0，loga(xa)1当 a1 时，0xaa，函数的定义域为(a，0)当 0a1 时，xaa，函数的定义域为(0，)解 (3)f(x)的定义域为0，1，函数y = flog 1 (3x)有意义，311必须满足0log 1 (3x)1，即log 11 log 1

9、(3x)log 1 3 ， 3 338x1，2x3338y = flog (3x)的定义域为2， 31 故函数3310x【例2】 已知函数y = 1 + 10x ，试求它的反函数，以及反函数的定义域和值域10x10x解 已知函数的定义域为r，y = 1 + 10x y1，由y = 1 + 10x 得(1y)10x = y，10x =y1 - y0 0y1，即为函数的值域1 - y由10x =y得x = lgy 1 - y，即反函数fx-1 (x) = lg1 - x反函数的定义域为(0，1)，值域为 yr【例 3】作出下列函数的图像，并指出其单调区间(1)y=lg(x)(2)y=log2|x1

10、|(3)y =|log 1 (x1)|，(4)ylog2(1x)2解(1)y=lg(x)的图像与 y=lgx 的图像关于 y 轴对称，如图 283 所示， 单调减区间是(，0)解(2)先作出函数 y=log2|x|的图像，再把它的图像向左平移 1 个单位就得ylog2|x1|的图像如图 284 所示单调递减区间是(，1) 单调递增区间是(1，)解 (3)把y = log 1 x的图像向右平移1个单位得到y = log 1 (x1) 的图像，保留其在 x22轴及 x 轴上方部分不变，把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到x轴上方，就得到y =|log 1 (x1)|的图像如图285 所示2

11、单调减区间是(1，2 单调增区间是2，)解 (4)函数 y=log2(x)的图像与函数 y=log2x 的图像关于 y 轴对称，故可先作 y=log2(x)的图像，再把 ylog2(x)的图像向右平移 1 个单位得到y=log2(1x)的图像如图 286 所示 单调递减区间是(，1)【例 4】图 287 分别是四个对数函数，y=logaxy=logbxy=logcxy=logdx 的图像，那么 a、b、c、d 的大小关系是 adcba babcdcbadc dbcad解 选 c，根据同类函数图像的比较，任取一个 x1 的值，易得 ba1dc【例 5】已知 loga3logb3，试确定 a 和

12、b 的大小关系解法一令 y1=logax，y2=logbx，logaxlogb3，即取 x3 时，y1y2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1)当 loga3logb30 时，由图像 288，取 x=3，可得 ba1 (2)当 0loga3logb3 时，由图像 289，得 0ab1(3)当 loga30logb3 时，由图像 2810，得 a1b0【例6】 若a2 ba1，则log a 、log b 、log a、log b的大小顺序是：a bb aba 解 a2 ba1，0a1b1，log a 0，log b ， ba0，0log a1，log b1由a2 ba1得aba b 1lo

13、gb ab log aba a 1，故得：log a log b log alog ba bb abab ab【例8】 已知函数f(x) = loga (x 1 + x2 )(a0，且a1)，判断其奇偶性 解法一 已知函数的定义域为 r，则xrf(x) = log a( 1 + x2 x)(= loga1+ x2 - x)(1 +x21 +x2+ x+ x)= loga= loga1 + x2 - x21 + x2 + x 11 + x2 + x1 + x2= -loga (f(x)是奇函数+ x) = -f(x)解法二已知函数的定义域为 r由f(x)f(x) = log a( 1 + x2

14、x)log( 1 + x2 x)1 +x21 +x2= loga (+ x)(- x)=loga1=0f(x)=f(x)，即 f(x)为奇函数单元测试一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）.1. 对数式log a-2 (5 - a) = b 中，实数a的取值范围是（）a (-,5)b(2,5)c (2,+)d (2,3) u (3,5)2. 如果lgx=lga+3lgb5lgc，那么（）3abab333a. x=a+3bcb x = 5cc x = c5dx=a+b c3. 设函数y=lg(x25x)的定义域为m，函数y=lg(x5)+lgx的定义域为n，则（）amn=rbm=ncm nd

15、m n4. 若a0，b0，ab1， log 1 a =ln2，则logab与log 1 a 的关系是（2）a. logab log 1 a2c logab log 1 a22b. logab= log 1 a2d. logab log 1 a25. 若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为r，则k的取值范围是（）a 0, 3 b 0, 3 c 0, 3 d (-,0 u 3 ,+4 4 4 46. 下列函数图象正确的是（）abcd7. 已知函数 g(x) = f (x) -1f (x)，其中log2f(x)=2x，xr，则g(x)（）a. 是奇函数又是减函数b是偶函数又是增函数c是奇函数

16、又是增函数d是偶函数又是减函数9. 如果y=log2a1x在(0，+)内是减函数，则a的取值范围是（）aa1ba2ca - 2d.1 a 5 log 1 10 3 1 00 1 b log 1 10 5 log3 43 1 0c log3 4 log 1 10 35d log 1 10 log3 4 35 log (2 - x )212二、填空题：（每小题 6 分，共 24 分）.11. 函 数 y =的定义域是，值域是.12方程 log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2 的解为.13. 将函数 y = 2 x 的图象向左平移一个单位，得到图象 c1，再将 c1 向上平移一个单位得到图

17、象 c2，作出 c2 关于直线 y=x 对称的图象 c3，则 c3 的解析式为.14函数y= log 1(x 2 + 4x -12)2的单调递增区间是.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分).x + 115（12分）已知函数 f (x) = log2 x - 1 + log2 (x - 1) + log2 ( p - x) .(1) 求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x)的值域.16（12分）设x，y，zr+，且3x=4y=6z.(1) 求证： 1 - 1 = 1 ; (2)比较3x，4y，6z的大小.zx2 y17（12分）设函数 f (x) = lg(

18、x +(1)确定函数f (x)的定义域； (2)判断函数f (x)的奇偶性；x 2 + 1) .(3) 证明函数 f (x)在其定义域上是单调增函数； (4)求函数 f(x)的反函数.118现有某种细胞100个，其中有占总数 的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成22个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010 个？（参考数据： lg 3 = 0.477, lg 2 = 0.301）.20（14 分）已求函数 y = log a (x - x 2 )(a 0, a 1) 的单调区间.必修 1 数学章节测试（7）第二单元（对数函数）一、dccabbdbda22二、11 (

19、- 1u 1,， 0,+)；120；13 y = log 2 (x -1) -1 ；14 (-,-2) ； 三、15 解：(1)函数的定义域为(1，p).(2)当p3时，f (x)的值域为(，2log2(p+1)2)； 当 1p 3 时，f (x)的值域为( ，1+log2(p+1).16 解：(1)设3x=4y=6z=t.x0，y0，z0，t1，lgt0，x = logt = lg t , y =3lg 3 lg t , z = lg tlg 4lg 6 1 - 1 = lg 6 - lg 3 = lg 2 = lg 4 = 1 .zxlg tlg tlg t2 lg t2 y(2)3x4y

20、6z.17解： (1)由x + x 2 + 1 0 得xr，定义域为r. (2)是奇函数.(3)设x1，x2r， x 2 + 1 0且x1x2，则 f (x ) - f (x ) = lg12x +2 11x 2 + 1x +x 2 + 122.令t = x +x + 1 ，则t1 - t2 = (x1 +x 2 + 1) - (x +x 2 + 1) .x 2 + 1 + x 2 + 112= (x1122x 2 + 1)2x 2 +11- x2 ) + (-2= (x1- x ) + (x1 - x2 )(x1 + x2 )= (x1- x )2( x 2 +1 1 + x 2 + 21

21、+ x + x12x 2 + 1 + x 2 + 112x x0，+ x1 0 ，+ x2 0 ，+ 0 ，x 2 + 11x 2 + 11x 2 + 12x 2 + 1212t1t20，0t1t2， 0 t1 1010 ，得 3 108 ，两边取以 10 为底的对数，得 x lg 8 ， 2 882 x 8，lg 3 - lg 2 x 45.45 .=lg 3 - lg 20.477 - 0.301 45.45 ，答：经过 46 小时，细胞总数超过1010 个.19. 解：（1）过a,b,c,分别作aa1,bb1,cc1垂直于x轴，垂足为a1,b1,c1， 则s=s梯形aa1b1b+s梯形b

22、b1c1cs梯形aa1c1c.=t 2 + 4t log 1 (t + 2)23= log (1+4)3t 2 + 4t（2）因为v= t 2 + 4t 在1,+) 上是增函数,且v 5,v = 1 + 4 在5. + )上是减函数，且10得0x1，所以函数 y = log a(x - x 2 ) 的定义域是(0,1)因为0 x - x 2 = - (x - 1 )2 + 1 1 ，244所以，当0a1时,alog(x - x 2 ) 1 a 4logaa 44a 函数 y = log a (x - x 2 ) 的值域为- , log 1 当0a1 时，函数 y = ,1log(x - x 2 ) 在