椭圆和双曲线练习题及复习资料解析

1、第二章圆锥曲线与方程一、选择题1 .设P是椭圆+= 1上的点，若Fl ,F2是椭圆的两个焦点，则1| + 2|等于（）A. 4B . 5C. 8D. 10解析：选D根据椭圆的定义知，1| + 2| = 2a= 2X 5= 10，故选D.2. 已知的顶点B, C在椭圆+ y2= 1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭 圆的另外一个焦点在边上，则的周长是 （）A. 2B. 6C. 4D. 12解析：选C由于的周长与焦点有关，设另一焦点为F,利用椭圆的定义，+ = 2,+= 2,便可求得的周长为 4.3. 命题甲：动点P到两定点A, B的距离之和+ = 2a（a0,常数）；命题乙：P点轨迹是椭圆.则命题

2、甲是命题乙的 （）A.充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件 D .既不充分又不必要条件解析：选B利用椭圆定义.若 P点轨迹是椭圆，则+= 2a（a0,常数）， 故甲是乙的必要条件.反过来，若+= 2a（a0,常数）是不能推出P点轨迹是椭圆的.这是因为：仅当2a时，P点轨迹才是椭圆；而当2a=时，P点轨迹是线段；当2av时，P点无轨迹，故甲不是乙的充分条件.综上，甲是乙的必要不充分条件.4 .如果方程+= 1表示焦点在x轴上的椭圆，贝V实数a的取值范围是（）A. （3 ,+） B . （ 8, 2） C . （ 8, 2） U （3 , +） D .（- 6, 2） U （3 , +

3、8）解析：选D由a2a+ 60，得错误！所以错误！，所以a3或6v av 2.5.已知P为椭圆C上一点，F1, F2为椭圆的焦点，且1F2I = 2,若1|与2|的等差中项为1F2I，则椭圆C的标准方程为()+ = 1+=1或+=1+=1+=1或+=1解析：选B 由已知2c =冋=2,得c =.由 2a= 1| + 2| = 2店2| = 4,得 a = 2.b2= a2- c2= 9.故椭圆C的标准方程是+= 1或+= 1.6椭圆以两条坐标轴为对称轴, 一个顶点是 (0,13) ,另一个顶点是 (-10,0) , 则焦点坐标为 ()A(13,0)B(0,10)C (0,13)D(0 ,)解析

4、：选D由题意知椭圆焦点在 y轴上，且a= 13, b= 10,则c= = ,故 焦点坐标为 (0，)7.已知椭圆 C:+= 1(ab0)的左、右焦点为 F1, F2,离心率为，过 F2 的直线I交C于A, B两点.若 1B的周长为4,则C的方程为()2+=1+y2=1+= 1+=1解析：选 A 由椭圆的性质知, 1| +2|=2a, 1| +2| =2a,又1B的周长=1| + 2| + 1| + 2| = 4,. a=.又 e=,. c = 1. .b2= a2 -c2= 2，.椭圆的方程为+=1.8已知椭圆+= 1 与椭圆+= 1 有相同的长轴,椭圆+= 1 的短轴长与椭圆 += 1 的短

5、轴长相等,则 ()2 2 2 2A a2= 25, b2= 16B a2= 9, b2= 25C a = 25, b = 9 或 a = 9, b = 25 D a = 25, b = 9解析：选 D 因为椭圆+= 1 的长轴长为 10,焦点在 x 轴上,椭圆+= 1 的 短轴长为 6,所以 a2= 25, b2= 9.9. 已知椭圆+ = 1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上，且丄x轴，直线交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是（）解析：选 D T = 2,二 | = 2|.又./,. = = ,即=,二e=.10. 过椭圆+ = 1（ab0）的左焦点Fi作x轴的垂线交椭圆于点

6、 P, F2为右焦点，若/ Fi2= 60,则椭圆的离心率为（）解析：选B法一：将x= c代入椭圆方程可解得点 P- c,，故i| =,又在 Fi2中/ Fi2= 60，所以2| =,根据椭圆定义得=2a,从而可得e=法二：设冋=2c,则在 Fi2中，i| = c, 2| = c. 所以 i| + 2| = 2c = 2a,离心率 e=.ii. 已知双曲线的a= 5, c= 7,则该双曲线的标准方程为（）-=i-=i-=i或=i-= 0 或=0解析：选C由于焦点所在轴不确定，.有两种情况又Ta= 5, c=乙：b2 = 72 - 52= 24.i2.已知m n R贝厂m- nv0”是“方程+=

7、 i表示双曲线”的（）A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件 D .既不充分也不必要条件解析：选C若方程+= 1表示双曲线，则必有 m- nv0；当m- nv 0时，方程+= 1表示双曲线.所以“ m- nv 0”是“方程+= 1表示双曲线”的充要条件.13. 已知定点A, B且=4，动点P满足一=3，则的最小值为 解析：选C如图所示，点P是以A, B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，最小，最小值为 a+ c= + 2 =.14. 双曲线一=1的两个焦点分别是 Fi, F2,双曲线上一点到焦点Fi的距离是12，则点P到焦点F2的距离是（）A. 17B. 7C. 7 或

8、17D. 2 或 22解析：选D依题意及双曲线定义知，i| 2= 10,即12 2|= 10,二2| = 2 或22，故选D.15. 焦点分别为（一2,0） ,（2,0）且经过点（2,3）的双曲线的标准方程为（）A. x2= 1 y2= 1C. y2= 1=1解析：选A由双曲线定义知，2a= = 5 3= 2,二a= 1.又c= 2,二b2= c2 a2= 4 1 = 3,因此所求双曲线的标准方程为x2=1.16. 下列双曲线中离心率为的是（）=1=1=1=1解析：选B由e=w e =，=，贝卩=,二=,即卩a = 2b.因此可知B正确.一个焦点在直线3x 4y + 12 = 0上的等轴17.

9、中心在原点，头轴在 x轴上，双曲线方程是（）A. x2 y2= 8B.x2-y2= 4C2 2 Q.y x = 8D. y2 x2= 4解析：选A令y= 0得，x= 4,二等轴双曲线的一个焦点坐标为（4,0）, 二 c = 4, a2= c2=x 16= 8，故选 A.18. （广东高考）若实数k满足0vkv5 ,则曲线一 =1与曲线 一=1的 （ ）A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析：选D由0v kv 5易知两曲线均为双曲线，且焦点都在x轴上，由于16+ 5 k= 16 k+ 5,所以两曲线的焦距相等.19. 双曲线+= 1的离心率e (1,2)，则k的取值范围是

10、()A. ( - 10,0)B. ( - 12,0)C. ( - 3,0)D. ( - 60,- 12)2 2 2解析：选 B 由题意知 kv 0,二 a = 4, b =- k.二 e = = = 1 .又 e (1,2)，二 1v 1-v 4，二一12v kv 0.20. (天津高考)已知双曲线=1(a0, b0)的一条渐近线平行于直线I : y = 2x+ 10,双曲线的一个焦点在直线I上，则双曲线的方程为()-=1 -= 1 -= 1 -= 1解析：选A由题意可知，双曲线的其中一条渐近线 y=x与直线y= 2x+ 10 平行，所以=2且左焦点为(5,0)，所以a2 + b2= c2=

11、25,解得a2 = 5, b2= 20,故 双曲线的方程为一=1.二、填空题21 .椭圆+= 1的焦距是2,则m的值是.解析：当椭圆的焦点在 x轴上时，a2 = m b2= 4, c2 = m-4，又2c = 2,二c=1. m- 4 = 1, m= 5.当椭圆的焦点在 y轴上时，a2 = 4, b2= m二c2= 4 m= 1,二m= 3.答案：3或522. 已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆 C的标准 方程为.解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为+= 1(ab0)，且可知左焦点为 F ( - 2,0).从而有错误！解得错误！又a2= b2 + c2,所以b2

12、= 12,故椭圆C的标准方程为+= 1.法二：依题意，可设椭圆 C的方程为+= 1(ab0)，则错误！解得b2 = 12 或b2 =- 3(舍去)，从而a2= 16.所以椭圆C的标准方程为+= 1.答案：+= 123. 椭圆的两焦点为Fi( - 4,0) , F2(4,0)，点P在椭圆上，若 1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为.资*源%库解析：如图，当P在y轴上时 1F2的面积最大，.X8 b= 12,二b=3.又I c= 4,二 a2 = b2 + c2 = 25.4二椭圆的标准方程为+=1.ph答案：+= 124. 与椭圆9x2 + 4y2= 36有相同焦点，且短轴长为 4的椭圆方

13、程是.解析：椭圆9X +=36可化为+= 1,因此可设待求椭圆为+= 1.又 b= 2,故 rn= 20,得+= 1.答案：+= 125. 椭圆+= 1的离心率为，则 m=.解析：当焦点在x轴上时，=? m= 3；当焦点在y轴上时，=? m=.综上， m= 3 或 m=.答案：3或26. 已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率为， 且过P( - 5,4), 则椭圆的方程为.解析：e= = ,. = = ,. 5a? 5b = a 即 4a? = 5b设椭圆的标准方程为+= 1(a0)，:椭圆过点 P 5,4),二+ = 1.解得a2 =45.二椭圆的方程为+= 1.答案：+= 127.

14、设m是常数，若点F(0,5)是双曲线一=1的一个焦点，贝U m=.解析：由点F(0,5)可知该双曲线一=1的焦点落在y轴上，所以m0，且m + 9 = 52，解得 m= 16.答案：1628. 经过点P 3,2)和Q 6, 7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程 是.设双曲线的方程为2 + 2= 1( V 0)，贝V错误！解得错误！故双曲线的标准方程为一=1.答案：=129. 已知双曲线的两个焦点 Fi( , 0) , F2( , 0) , P是双曲线上一点，且= 0, l| 2| = 2,则双曲线的标准方程为.解析：解析：由题意可设双曲线方程为一=1(a0, b0).由=0,得1丄2.根据勾

15、股定理得l| 2+ 2| 2= (2 C)2,即l| 2+ 2| 2= 20.根据双曲线定义有1| 2| =2a.两边平方并代入1| 2| = 2得20 2X2= 4a?，解得a = 4,从而b = 5 4 = 1,所以双曲线方程为一 y? = 1.答案：y2= 130. 若双曲线一=1的渐近线方程为y = x,则双曲线的焦点坐标是.解析：由渐近线方程为y = x = x,得m= 3,所以c=,又焦点在x轴上, 则焦点坐标为(土，0).答案：(土，0)31. 过双曲线一=1(a0, b0)的左焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线相 交于M N两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率

16、为.解析：由题意知，a + c =，即卩 a + = c a , c 2a = 0,二 e e 2= 0,解得e= 2或e= 1(舍去).答案：232. 双曲线一=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行于双曲线的一条 渐近线的直线与双曲线交于点B,则的面积为.解析：双曲线一=1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y = x.不妨设直线的方程为 y= (x 5)，代入双曲线方程整理，得 x2 (x 5)2= 9, 解得x =, y= ,所以.所以 S = = (c a) = x (5 3) x=.答案：.三、解答题33. 设F1, F2分别是椭圆C:+= 1(ab0)的左、右焦

17、点.设椭圆 C上一 点到两焦点Fi, F2的距离和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标.解：由点在椭圆上，得+=1,又2a= 4，所以椭圆C的方程为+= 1,焦点坐标分别为(一 1,0) , (1,0).34. 已知椭圆的两焦点为 F1( - 1,0) , F2(1,0) , P为椭圆上一点，且2=+ .(1) 求此椭圆的方程；资*源%库 若点P满足/ F12= 120,求厶1F2的面积.解：(1)由已知得=2, *源库二 + = 4 = 2a, a= 2.二b2 = a C = 4 1 = 3, 二椭圆的标准方程为+=1.(2) 在中，由余弦定理得 2 = + 2 2 120 ，即卩 4=2,

18、二 4= (2a)2 = 16，.= 12, SA 丘=120 =x 12X= 3.35. 在平面直角坐标系中，椭圆C的中心为原点，焦点F1, F2在x轴上，离 心率为，过点F1的直线I交椭圆C于A, B两点，且 2的周长为16,求椭圆C 的标准方程.解：设椭圆C的标准方程为+= 1(ab0).由6 =知=，故=，从而=,由厶2的周长为+ 2| + 2| = 1| + 2| +1| + 2| = 4a = 16,得 a= 4, b = 8.故椭圆 C的标准方程为+= 1.36. 椭圆+ = 1(ab0)的右顶点是 A(a,0)，其上存在一点 P,使/= 90, 求椭圆离心率的取值范围.资*源库

19、解：设Rx, y)，由/= 90知，点P在以为直径的圆上，圆的方 程是：2 + y2 =2，所以y2= x2.又P点在椭圆上，故+= 1.把代入化简， 得(a2 b2)x2 a3x+ a2b2 = 0,即(x a)( a2 b2)x 2 = 0,：x 工 a, x 工 0, x=，又 0 v x v a, 0vv a, 即 卩 2b2 v a2.由 b2= a2 c2,得 a2v 2c2，所以 e.又v 0v ev 1,v ev 1.即椭圆离心率的取值范围是.37. 已知与双曲线= 1 共焦点的双曲线过点,求该双曲线的标准方程.解：已知双曲线一=1.据 c2= a2 + b2,得 c2= 16

20、+ 9= 25,二c = 5.设所求双曲线的标准方程为=1(a0, b0).依题意，c= 5,二2 2 2 2 b = c a = 25 a ,故双曲线方程可写为一=1.点在双曲线上，二=1.化简，得4a4 129a2 + 125= 0,解得a = 1或a =.又当a =时，b2 = 25 a = 25 = v 0，不合题意，舍 去，故 a2= 1, b2= 24.二所求双曲线的标准方程为 x2= 1.38. 已知的两个顶点 A B分别为椭圆x2 + 5y2= 5的左焦点和右焦点，且 三个内角A, B, C满足关系式 B A= C(1) 求线段的长度；(2)求顶点C的轨迹方程.解：(1)将椭圆方程化为标准形式为+y