(完整版),高中数学圆锥曲线试题(含答案),推荐文档

1、理数圆锥曲线1. (2014 大纲全国,9,5 分)已知双曲线 c 的离心率为 2,焦点为 f1、f2,点 a 在 c 上.若|f1a|=2|f2a|,则第 18 页 / 共 20 页cosaf2f1=()a.b.cd解析 1.由题意得解得|f2a|=2a,|f1a|=4a,又由已知可得 =2,所以 c=2a,即|f1f2|=4a,cosaf2f1=.故选 a.答案 1.a2. (2014 大纲全国,6,5 分)已知椭圆 c:+=1(ab0)的左、右焦点为 f1、f2,离心率为,过f2 的直线 l 交 c 于 a、b 两点.若af1b 的周长为 4,则 c 的方程为()a. + =1b. +y

2、2=1c. + =1d. + =1 答案 2.a解析 2.由题意及椭圆的定义知 4a=4,则 a=,又 =,c=1,b2=2,c 的方程为 + =1,选 a.3. (2014 重庆,8,5 分)设 f1、f2 分别为双曲线- =1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点p 使得|pf1|+|pf2|=3b,|pf1|pf2|= ab,则该双曲线的离心率为()a. b. c. d.3答案 3.b解析 3.设|pf1|=m,|pf2|=n,依题意不妨设 mn0,于是mn=m=3n.a=n,b=nc=n,e=,选 b.4. (2014 广东,4,5 分)若实数 k 满足 0k9,则曲线-=1 与

3、曲线-=1 的()案 4.a解析 4.0k0,25-k0.-=1 与-=1 均表示双曲线,a.焦距相等b.实半轴长相等c.虚半轴长相等d.离心率相等答又 25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,它们的焦距相等,故选 a.5. (2014 福建,9,5 分)设 p,q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆+y2=1 上的点,则 p,q 两点间的最大距离是()a.5 b. + c.7+ d.6 答案 5.d解析 5.设 q(cos ,sin ),圆心为 m,由已知得 m(0,6),则|mq|= 故|pq|max=5+=6.6.(2014 山东,10,5 分)已知 ab0,椭圆 c1 的方

4、程为+=1,双曲线 c2 的方程为-=1,c1=5,与 c2 的离心率之积为,则 c2 的渐近线方程为()a.xy=0b.xy=0c.x2y=0d.2xy=0答案 6.a解析 6.设椭圆 c1 和双曲线 c2 的离心率分别为 e1 和 e2,则 e1=,e2=.因为 e1e2= ,所以 = ,即 = , = .故双曲线的渐近线方程为 y=x=x,即 x y=0.7.(2014 天津,5,5 分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为()a.-=1b.-=1c.-=1d.-=1答案 7.a解析 7.由题意得 =2

5、 且 c=5.故由 c2=a2+b2,得 25=a2+4a2,则 a2=5,b2=20,从而双曲线方程为-=1.8.(2014 山东青岛高三第一次模拟考试, 10) 如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点 ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点 ，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于（ ）abc d答案 8. b解析 8.由题意可得抛物线的轴为 轴，所以所在的直线方程为，在抛物线方程中，令可得，即从而可得， ，因为经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点 ， 所以直线的方程为 ，故选 b9.(2014 安徽合肥高三第二次质量检测

6、，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是 （ ）a. b.c.d.答案 9. d解析 9. 因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在 轴且为满足条件. 故选 d.答案 10.解析 10.设 a(x1,y1),b(x2,y2),则+=1,10. (2014 江西,15,5 分)过点 m(1,1)作斜率为-的直线与椭圆 c:+=1(ab0)相交于 a,b 两点,若 m 是线段 ab 的中点,则椭圆 c 的离心率等于.+=1.、两式相减并整理得=-.把已知条件代入上式得,-=-,=,故椭圆的离心率 e=.11. (2014 湖南,15,5 分)如图,正方形

7、 abcd 和正方形 defg 的边长分别为 a,b(a0)经过 c,f 两点,则 =.答案 11.1+解析 11.|od|=,|de|=b,|dc|=a,|ef|=b,故 c,f,又抛物线 y2=2px(p0)经过 c、f 两点,从而有即b2=a2+2ab,-2-1=0,又 1,12.(2014 安徽,14,5 分)设 f1,f2 分别是椭圆 e:x2+=1(0b1)的左、右焦点,过点 f1 的直线交椭圆 e 于 a,b 两点.若|af1|=3|f1b|,af2x 轴,则椭圆 e 的方程为.答案 12.x2+y2=1=1+.又|af1|=3|f1b|,由=3得 b,代入 x +2=1 得+=

8、1, 又 c =1-2b2,b2=.+y2=1.解析 12.不妨设点 a 在第一象限,af2x 轴,a(c,b2)(其中 c2=1-b2,0b0).故椭圆 e 的方程为 x213.(2014 浙江,16,4 分)设直线 x-3y+m=0(m0)与双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线分别答案 13.解析 13.由得 a,由得 b,交于点 a,b.若点 p(m,0)满足|pa|=|pb|,则该双曲线的离心率是.则线段 ab 的中点为 m.由题意得 pmab,kpm=-3,得 a2=4b2=4c2-4a2,故 e2=,e=.14. (2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12) 抛物线+1

9、2y=0 的准线方程是.答案 14. y=3解析 14. 抛物线的标准方程为：，由此可以判断焦点在 y 轴上，且开口向下，且15. (2014 大纲全国,21,12 分)已知抛物线 c:y2=2px(p0)的焦点为 f,直线 y=4 与 y 轴的交点为 p,与c 的交点为 q,且|qf|=|pq|.()求 c 的方程;()过 f 的直线 l 与 c 相交于 a、b 两点,若 ab 的垂直平分线 l与 c 相交于 m、n 两点,且a、m、b、n 四点在同一圆上,求 l 的方程.p=6，所以其准线方程为 y=3.答案 15.查看解析解析 15.()设 q(x0,4),代入 y2=2px 得 x0=

10、.所以|pq|=,|qf|=+x0=+.由题设得+=,解得 p=-2(舍去)或 p=2.所以 c 的方程为 y2=4x.(5 分)()依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m0).代入 y2=4x 得 y2-4my-4=0.设 a(x1,y1),b(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4.故 ab 的中点为 d(2m2+1,2m),|ab|=|y1-y2|=4(m2+1).又 l的斜率为-m,所以 l的方程为 x=-y+2m2+3. 将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+y-4(2m2+3)=0. 设 m(x3,y3),n(x4,y4),则 y3+y4

11、=-,y3y4=-4(2m2+3).故 mn 的中点为 e,|mn|=|y3-y4|=.(10 分)由于 mn 垂直平分 ab,故 a、m、b、n 四点在同一圆上等价于|ae|=|be|=|mn|,从而|ab|2+|de|2=|mn|2,即 4(m2+1)2+=.化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1.所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.(12 分)16. (2014 四川,20,13 分)已知椭圆 c:+=1(ab0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一()求椭圆 c 的标准方程;()设 f 为椭圆 c 的左焦点,t 为直线 x=-3 上任意一点,过 f

12、 作 tf 的垂线交椭圆 c 于点 p,q.(i)证明:ot 平分线段 pq(其中 o 为坐标原点);个端点构成正三角形.(ii) 当最小时,求点 t 的坐标.答案 16.查看解析解析 16.()由已知可得解得 a2=6,b2=2,所以椭圆 c 的标准方程是+=1.()(i)由()可得,f 的坐标是(-2,0),设 t 点的坐标为(-3,m).则直线 tf 的斜率 ktf=-m.当 m0 时,直线 pq 的斜率 kpq=,直线 pq 的方程是 x=my-2.当 m=0 时,直线 pq 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式.设 p(x1,y1),q(x2,y2),将直线 pq 的方程

13、与椭圆 c 的方程联立,得消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式 =16m2+8(m2+3)0.x1+x2=m(y1+y2)-4=.所以 pq 的中点 m 的坐标为.所以直线 om 的斜率 kom=-,所以 y1+y2=,y1y2=,又直线 ot 的斜率 kot=-,所以点 m 在直线 ot 上,因此 ot 平分线段 pq.(ii)由(i)可得,|tf|=,|pq|= .所以=.当且仅当 m2+1=,即 m=1 时,等号成立,此时取得最小值. 所以当最小时,t 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).17. (2014 广东,20,14 分)已知椭圆 c: + =1(ab0)的

14、一个焦点为(,0),离心率为.(1) 求椭圆 c 的标准方程;(2) 若动点 p(x0,y0)为椭圆 c 外一点,且点 p 到椭圆 c 的两条切线相互垂直,求点 p 的轨迹方程. 答案 17.查看解析解析 17.(1)由题意知 c=,e=,故椭圆 c 的标准方程为两切线为 l1,l2,+=1. (2)设当 l1x 轴或 l1x 轴时,l2x 轴或 l2x 轴,可知 p(3,2).当 l1 与 x 轴不垂直且不平行时,x03,设 l1 的斜率为 k,且 k0,则 l2 的斜率为-,l1 的方程为 y-y0=k(x-x0),与+=1 联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y

15、0-kx0)2-36=0,直线 l1 与椭圆相切,=0,即 9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,a=3,b2=a2-c2=4,(-9)k2-2x0y0k+-4=0,k 是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0 的一个根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0 的另一个根,k=,整理得+=13,其中 x03,点 p 的轨迹方程为 x2+y2=13(x3).检验 p(3,2)满足上式.综上,点 p 的轨迹方程为 x2+y2=13.18. (2014 江西,20,13 分)如图,已知双曲线 c: -y2=1(a0)的右焦点为 f,点 a,b 分别在 c

16、的两条渐近线上,afx 轴,abob,bfoa(o 为坐标原点).(1) 求双曲线 c 的方程;(2) 过 c 上一点 p(x0,y0)(y00)的直线 l:-y0y=1 与直线 af 相交于点 m,与直线 x=相交于点 n.证明:当点 p 在 c上移动时,恒为定值,并求此定值.答案 18.查看解析解析 18.(1)设 f(c,0),因为 b=1,所以 c=,直线 ob 的方程为 y=-x,直线 bf 的方程为 y=(x-c),解得 b.又直线 oa 的方程为 y=x,则 a,kab=.又因为 abob,所以 =-1,解得a2=3,故双曲线 c 的方程为-y2=1.(2)由(1)知 a=,则直

17、线 l 的方程为-y0y=1(y00),即 y=.因为直线 af 的方程为 x=2,所以直线 l 与 af 的交点为 m;直线 l 与直线 x=的交点为 n,则 = .因为 p(x0,y0)是 c 上一点,则-=1,代入上式得 = = = , 所求定值为=.19. (2014 陕西,2017,13 分)如图,曲线 c 由上半椭圆 c1:+=1(ab0,y0)和部分抛物线c2:y=-x2+1(y0)连接而成,c1 与 c2 的公共点为 a,b,其中 c1 的离心率为.()求 a,b 的值;直线 l 与 c1,c2 分别交于点 p,q(均异于点 a,b),若 apaq,求直线 l 的方程.()过点

18、 b 的解析 19.()在 c1,c2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 a(-1,0),b(1,0)是上半椭圆 c1 的左,右顶点.设 c1 的半焦距为 c,由 =及 a2-c2=b2=1 得 a=2.a=2,b=1.答案 19.查看解析()解法一:由()知,上半椭圆 c1 的方程为+x2=1(y0).易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k0),代入 c1 的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点 p 的坐标为(xp,yp),直线 l 过点 b,x=1 是方程(*)的一个根.由求根公式,得 xp=,从而 yp=,点 p 的坐

19、标为.同理,由得点 q 的坐标为(-k-1,-k2-2k).=(k,-4),=-k(1,k+2).apaq,=0,即k-4(k+2)=0,k0,k-4(k+2)=0,解得 k=-.经检验,k=-符合题意,故直线 l 的方程为 y=-(x-1).解法二:若设直线 l 的方程为 x=my+1(m0),比照解法一给分.20.(2014 江苏,17,14 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,f1、f2 分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,顶点 b 的坐标为(0,b),连结 bf2 并延长交椭圆于点 a,过点 a 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 c,(1)若点 c 的坐标(2)若 f1cab,求

20、椭为,且 bf2=,求椭圆的方程;圆离心率 e 的值.连结 f1c.答案 20.查看解析解析 20.设椭圆的焦距为 2c,则 f1(-c,0),f2(c,0).(1)因为 b(0,b),所以 bf2=a.又 bf2=,故 a=.因为点 c在故所求椭圆的方程椭圆上,所以+=1,解得 b2=1.为+y2=1.(2)因为 b(0,b),f2(c,0)在直线 ab 上, 所以直线 ab 的方程为+=1. 解方程组得所以点 a 的坐标为.又 ac 垂直于 x 轴,由椭圆的对称性,可得点 c 的坐标为.()求 c1 的方程;()椭圆 c2 过点 p 且与 c1 有相同的焦点,直线 l 过 c2 的右焦点且

21、与 c2 交于 a,b 两点,若以线段 ab 为直径的圆过点 p,求 l 的方程.因为直线 f1c 的斜率为=,直线 ab 的斜率为-,且 f1cab,所以=-1.又 b2=a2-c2,整理得 a2=5c2.故 e2=.因此 e=.21.(2014 辽宁,20,12 分)圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 p(如图),双曲线 c1:-=1 过点 p 且离心率为.答案 21.查看解析解析 21.()设切点坐标为(x0,y0)(x00,y00),则切线斜率为-,切线方程为 y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐

22、标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 s=.由+=42x0y0 知当且仅当 x0=y0=时 x0y0 有最大值,即 s 有最小值,因此点 p 的坐标为(,).由题意知解得 a2=1,b2=2,故 c1 的方程为 x2-=1.()由()知 c2 的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设 c2 的方程为+=1,其中 b10.由 p(,)在 c2 上,得+=1,解得=3,因此 c2 的方程为+=1.显然,l 不是直线 y=0.设 l 的方程为 x=my+,点 a(x1,y1),b(x2,y2),由得(m2+2)y2+2my-3=0,又 y1,y2 是方程的根,因此由 x1=my1+,x2=my2+,

23、得因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).所以 x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.将,代入式整理得2m2-2m+4-11=0,由题意知 =0,解得 m=-1 或 m=-+1. 因此直线 l 的方程为x-y-=0 或 x+y-=0.22.(2012 太原高三月考，20,12 分)已知曲线 c:x2+ =1.()由曲线 c 上任一点 e 向 x 轴作垂线,垂足为 f,动点 p 满足:=3,求 p 点的轨迹方程,并讨论其轨迹的类型;()如果直线 l 的斜率为,且过点 m(0,-2),直线 l 与曲线 c 交于 a、b 两点,又=- ,求曲线 c 的方程.答案 22.(

24、)设 e(x0,y0),p(x,y),则 f(x0,0),=3,(x-x0,y)=3(x-x0,y-y0),代入曲线 c 中得 x2+=1 为所求的 p 点的轨迹方程.(2 分)当 = 时,p 点轨迹表示:以(0,0)为圆心,半径 r=1 的圆;(3 分)当 0 时,p 点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的椭圆;(5 分)当 2 或 0,且 +20,(8 分)解得 =-14,(11 分)曲线 c 的方程是 x2-=1.(12 分)22.23.(2012 山西大学附中高三十月月考，21，12 分）设椭圆的离心率 ，右焦点到直线的距离为坐标原点.（i） 求椭圆的方程；（ii）过点 作两条

25、互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点，证明：点为定值，并求弦长度的最小值.到直线的距离答案 23.（i）由题意得， .由题意得椭圆的右焦点到直线即的距离为椭圆 c 的方程为（ii）设，直线 ab 的方程为则，直线 ab 的方程与椭圆 c 的方程联立得消去得整理得则是关于 的方程的两个不相等的实数根， ， ，整理得， ，o 到直线 ab 的距离，又，,即弦 ab 的长度的最小值是即 o 到直线 ab 的距离定值. 8 分，当且仅当 oa=ob 时取“=”号.23.24.(2012 广东省“六校教研协作体”高三 11 月联考,20，14 分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.（）求椭圆的方程；（）已知动直线与椭圆相交于 、 两点，若线段中点的横坐标为，求斜率 的值；已知点，求证：为定值.答案 24.（1）由题意得2 分解得 ，所以椭圆 c 的