难点4导数的运算法则与基本公式应用

1、难点34导数的运算法则及基本公式应用导数是中学限选容中较为重要的知识，本节容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导难点磁场()已知曲线 C： y=x解法一：设 y=f ( i), i =、v , v=x2+1,则=f (厂)2x=?xhfE解法二：y = f ( . x2 1 ) =f ( , x2 1 ) ( x2 1 ) 3xFT22(1 x ) cos x32(2)解：y= 口 , 口 =ax bsin w x, 口 =av byv=x, y=sin y y = w xy =(3)，=3|i2 (1 =3|i2(av by)，22

2、=3 i (av by )=3 1 (av by y ) 2=3(ax bsin w x) (a bw sin2 w x)+2x,直线 I: y=kx,且 I 与 C切于点(xo, yo)( xo 丰 0), 求直线I的方程及切点坐标.案例探究例1求函数的导数：(i)y1 X(1 x2)cosx(2)y (ax bsin2 x)3 (3)yf(、x21)命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法， 以及抽象函数求导的思想方法这是导数中比较典型的求导类型，属于级题目知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件， 将问题转化为基本函数的导数错解分

3、析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导(1)解：y(1 x) (1 x2)cosx (1x)( 1 x2)cosx(1 x2 )2 cos2 x222(1 x )cosx (1x)(1 x ) cosx (1 x )(cosx)T722(1 x ) cos x2 2(1 x )cosx (1 x)2xcosx (1 x )sin x2 2 2 (1 x ) cos x2 2(x 2x 1) cosx (1x)(1 x )sin x=f ( x21 ) -(X2+1) 2 (X2+1)21

4、=f，( x2 1) 1 (X2+1)2 2X例2利用导数求和2n 一 1*(1)S=1+2x+3x+nx (xm 0, n N)(2) S=Cn+2Cn+3C3+nCn,( n N)命题意图：培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力属级题目知识依托：通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维.由求导公式（xn） =nxn1,可联想到它们是另外一个和式的导数关键要抓住数列通项的形式结构错解分析：本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想技巧与方法：第（1）题要分X=1和XM 1讨论，等式两边都求导.解：（1）当X=1时1S=1+2+3+n= n( n+1)；2

5、(X+X2+X3+Xn)，=(x xn1当x m 1时，23.n 1n X XT X+X +X + +X =,1 X两边都是关于X的函数，求导得即 $=1+2x+3x2+nxn -1=1_2T(1 x)2/ (1 + x)n=1+C；x+c2x2+Cn xn,两边都是关于X的可导函数，求导得n(1+ x) nT=C： +2 x+3C3 x2+nC； xn一1令 x=1 得，n 2n一 1=C1+2C2+3C3+nC：,即 $=C； +2C2+nC； =n 2“一1锦囊妙计1. 深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数丄 表示函数的平均改变量，它是 A x的函数，而 f（X。）表示一个数值，即

6、f X(x)= lim y，知道导数的等价形式：lim f(xx) f(x)x 0 xx 0limf(x)f(x0)gXx0x X2. 求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极 限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键3. 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.4. 复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环 须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关

7、系歼灭难点训练一、选择题1.( ) y=esin xcos(sin x),则y (0)等于()C. 1D.22. ( )经过原点且与曲线y=相切的方程是()x 5A. x+y=0 或+y=025B. x y=0 或+y=025C.x+y=0 或y=025二、填空题D.x y=0 或y=0253.( )若 f (xo)=2.f(x k) f(x) 4. ( 三、解答题5. ( 方程.6. ( 22x(1) y=(x 2x+3) e ;limk 02k)设 f (x)=x(x+1)( x+2)(x+n),则 f (0)=)已知曲线C:y=x2与C2:y=(x 2)2,直线I与G、C2都相切，求直线

8、)求函数的导数-、2xA.0B.1(2)y=31xx3 m/s7. ( )有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.22222n 1*8. ( )求和 S=1 +2x+3x+nx,( x工 0, n N).参考答案难点磁场解：由 I 过原点，知 k=W(xo丰 0),点(xo,yo)在曲线 C上，yo=xo3 3xo2+2xo, X。-匹=xo2 3x0+2X。2 2y =3x 6x+2, k=3xo 6xo+2又 k=-y , - 3xo2 6xo+2=xo2 3xo+2 xo232xo 3xo=O,

9、Xo=O 或 Xo=由x丰o,知xo= 2 yo=( )A 3 , 3)或耳15,),从而得y 3( 3)2+22 2Xo 4133 I 方程 y= _ x 切点(，一_ )428歼灭难点训练一、1.解析：y =esinx cosxcos(s in x) cos xs in(sin x) ,y (o)= e(1 o)=1 答案：B2.解析：设切点为(xo, yo),则切线的斜率为k=-y ,另一方面，y =( -9 )= 笃 x0x 5 (x 5)2y (xo)= k,即(xoxo92 (1) (2)或 xo +18xo+45=o 得 xo() = 3, yo XoXo(Xo 5)15,对应有

10、yo(1)=3, yo(2)=9393 ,因此得两个切点15 551 及 y (B)=415 5)21,由于切线过原点，故得切线:25l a: y= x或 l b: y=答案:X25A二、3.解析:根据导数的定义:f (xo)=limf(xo ( k)f(xo)(这时 xk 0k)k) f(xo)k)f(xo)1 f (Xo21 f (xo)2f (Xo lim - k o1 lim -2 k o答案：14.解析：设 g(x)=( x+1)( x+2)(x+n),(o)= g(o)+o g(o)= g(o)=1 2 n=n!答案：n!三、5.解：设l与C相切于点P(X1,X12),与G相切于

11、QX2, (X2 2)2)lim k 0f (xok) f (xo)2k则 f(x)= xg(x),于是 f (x)=g(x)+xg (x), f 2x 2x+3)+2xX-X2),对于C: y =2x,则与G相切于点P的切线方程为y x/=2x1(x x,即 y=2x1X X1=(1 x)3对于G2：y = 2(x 2),与G2相切于点Q的切线方程为y+(X2 2) = 2(X2 2)(2即 y= 2(X2 2) X+X2 42 2两切线重合， 2X1= 2(X2 2)且一X1 =X2 4,解得 X1=0,X2=2 或 X1=2, X2=0 直线I方程为y=0或y=4x 46.解：(1)注意

12、到y 0,两端取对数，得22xIn y=ln( x 2x+3)+In e =ln(y(x22x3)yx22x322(xx2)yx22x32x 2X2 2x22(x2 x 2)x2 2x 32( x2x 2)2x2x 3(x22x 3) e2x2(x2 x 2) e2x(2)两端取对数，得1X|),ln| y|= (In| x| ln|13两边解x求导，得1 13 x(1 x)1 13 x(1 x) y7.解:设经时间t秒梯子上端下滑 s米,则s=5 ,25 9t2 ,当下端移开1.4 m时,又 s = 1 (25 9t2)152- 12 ( 9 2t )=9t ,所以 S (to)=9 XJ25 9t27=0.875(m /s)157 2：25 9 (15)8.解：(