(完整版)人教版初中数学数与式版块基础知识点与例题分析,推荐文档

1、-一、数与式板块1 有理数正数：像 0.05,3 这样大于 0 的数叫正数。负数：像-3，-0.45 这样在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数。0 既不是正数也不是负数正整数、0、负正数统称为整数；正分数、负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数。数轴：在数学中可用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.有理数大小的比较（1） 正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；（2） 两

2、个负数，绝对值大的反而小。倒数：乘积是 1 的两个数互为倒数有理数乘方的运算的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0 的任何正数次幂都是零。科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 a10n 的形式（其中 a 大于或者等于1 且小于 10，n 是正整数），这样的记数的方法叫科学记法。（必考）考点 1：实数的相关概念例 1 在数 0,2，-3，-1.2 中属于负整数的是（ ）a0b2c -3d-1.2解析：0 既不是正数也不是负数2 属于正整数-3 是负整数 故选 c-1.2 是负数但不是负整数，故错误。-考点 2：绝对值（和相反数选考其中之一，选择或填空）

3、典例 2（2013.云南）-6 的绝对值是（ ）a-6b 6c6d- 16分析：根据绝对值的性质，当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数-a.根据绝对值的性质|-6|=6考点 3：相反数（每年必考，选择题） 典例 3（晋江中考）化简-（-2）=解析：负数的相反数是正数，故-（-2）=2例 4 (2012 昆明)5 的相反数是a.1 5b.- 5c.- 15d.5解： 正数的相反数是负数，绝对值要相等，所以 5 的相反数是-5，故选 b例 5(2014 昆明) 1 的相反数是（）2a. 1 2b. - 1 2c.2d.- 2解析：根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，进行求

4、解解：1 的相反数是 1 22故选 b考点 4 正负数的应用例 5（济宁中考）一运动员某次跳水的最高点离跳台 2m，记作+2m，则水面离跳台 10m 可以记作 （ ）a.-10mb.-12mc. +10md.+12m解析：最高点到跳台的方向和水面到跳台的方向是相反的，已知最高点到跳台的距离为 2m，记作+2m，所以反方向距离记作负数，即水面离跳台 10m,记作- 10m.例 6（2011 昆明）昆明小学 1 月份某天的气温为 5，最低气温为1，则昆明这天的气温差为（ ）a、4b、6 c、4d、6解析：温差为最高气温减去最低气温，所以温差等于 5-（-1）=6 度。考点 5：科学记数法。（每年必

5、考，填空题） 类型 1，要表示的数大于 1，且无单位换算例 7（2014.昆明）据报道，2014 年 4 月昆明库塘蓄水量为 58500 万立方米，将58500 万立方米用科学计数法表示为 （）万立方米。分析：科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|0， b 0，且| a | n ，下列不等式不一定成立的是（ ）a m + 2 n + 2b 2m 2ncm nd m2 n 222解析：由不等式的性质 1（不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。）和不等式的性质 2（不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变）。可知 a,b,c 都是正确的，但 d 项不

6、一定成立，如 m=0,n=-1,则m2 n 2 不成立，所以选 d.例 2（2012 广州）已知a b ，若 c 是任意实数，则下列不等式中总是成立的是a a + c b - ccac bc解析：由不等式的性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。可得 b 正确，而 a 选项变了不等号的方向，c,d 无法断定是否正确， 因为 c 的正负无法判定，它也有可能是 0，所以选 b.考点 2，一元一次不等式的解法例 3，（2016 金华）不等式 3x+1-2 的解集是（ ）解：移向，3x-2-1合并同类项得，3x-3 系数化为 1，得 x-1例 4，解不等式2x - 3 x + 1

7、 ，3解：去分母，得 3（ 2x - 3) x + 1去括号，得6x - 9 x + 1移项、合并同类项，得5x 10系数化为 1，得 x 2所以原不等式的解集为 x 3(x-1)4x x + 72解：2x+53(x-1)4x x + 72解得 x1所以不等式组的解集为 1x8考点 4，一元一次不等式及不等式组的应用例 6，（福州中考）某次知识竞赛共 20 道题，每一题答对得 5 分，答错或不答扣三分（1） 小明考了 68 分，那么小明答对多少道题？（2） 小亮获得二等奖（70-90 分），请你算算小亮答对了几道题？解：（1）设小明答对了 x 道题依题意得 5x-3(20-x)=68解得 x=

8、16 (2)设小亮答对了 y 道题，依题意得5y-3(20-y)705y-3(20-y)70因此解得不等式组的解集为因为 y 是正整数所以 y 等于 17，或者 181316xn）a 0 = 1(a 0) （即任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1）平方差公式(a + b)(a - b) = a 2-b 2 （即两个数的差的积，等于这两个数的平方差）完全平方公式(a b)2 = a 2 2ab + b 2 （两个数的和（差）的平方，等于他们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。因式分解：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分

9、解因式。因式分解的方法：（1）提公因式法（2）公式法（3）形如 x 2 + ( p + q) + pq 型式子的因式分解整式的乘法：（1） 单项式与单项式相乘的法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式（2） 单项式与多项式相乘的法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。（3） 多项式与多项式相乘的法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。考点 1：同底数幂的乘法典例 1（晋中中考）计算： 2x 3.x 2 等于a 2b x5c 2 x5d

10、2x6解析： 2x3.x 2 = 2.x3+2 = 2x5 （同底数幂相乘，底数不变指数相加） 故选 c考点 2：幂的乘方典例 2（广州中考）计算(m3 n)2 的结果是（ ）a m6nb m6n 2c m5n 2d m3n 2解析： (m3 n)2 = m32 n 2 （即幂的乘方，底数不变，指数相乘）故选 b考点 3：平方差公式典例 3，计算：10298；解析：平方差公式(a + b)(a - b) = a 2-b 2 （即两个数的差的积，等于这两个数的平方差）此题中要用拼凑法构造平方差公式解：原式=（100+2）（100-2）=1002 - 22 =10000-4=9996考点 4：平方

11、差公式；多项式乘以多项式典例 4， (y + 2)(y - 2)- (y - 1)( y - 5)解析：原式= y 2 - 22 - ( y 2 + 4 y - 5)= y 2 - 4 - y 2 - 4 y + 5=-4 y + 1考点 5：因式分解中的提公因式典例 5 分解因式： x 2 + xy解析原式= x(x + y) （两式中的公因式为 x ）考点 6：因式分解中的公式法典例 6 分解因式： 3a 2 - 12ab + 12b 2 =解原式=3 (a 2 - 4ab + 4b 2=3 (a - 2b)2考点 7：多项式乘以多项式典例 7 计算(x + 2 y)(3x - 4 y)

12、=解析：原式= x.3x - x.4 y + 2 y.3x - 2 y.4 y= 3x 2 - 4xy + 6xy - 8 y 2= 3x 2 + 2xy - 8 y 29 分式分式的概念：一般地，如果 a、b 表示两个整式，并且 b 中含有字母，那么式子， a 叫做分式，分式 a 中，a 叫做分子，b 叫分母。bb分式的基本性质：分式的分子分母同乘（或者除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。分式的运算乘法法则：分式乘分式，用分子的乘积作为积的分子，分母的积作为分母。除法法则：分式除以分式，把除式的分子分母颠倒位置后与被除式相乘。加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减异分母分

13、式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程。增根：使最简公分母为 0 的根叫做分式方程的增根。检验分式方程解的方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是分式方程的解。考点 1：分式有意义的条件例 1（2014 昆明）要使分式1x -10有意义，则 x 的取值范围是.解析，根据分式有意义的条件（即分母不能等于 0）可以求出 x 的取值范围 解：由分式有意义的条件得： x -10 0x 10故填 x 10例 2（2016 上海）函数 y =3x - 2的定义域是（）3解，函数的定义域要

14、使函数有意义，即使分式等于 0，即 x-20，所以 x2x - 2有存在的意义，所以分母不能考点 2：分式的性质例 3（2015 丽水）分式-11 - x可变形为（）a -1x -1b1x +1c -1x +1d1x - 1解析：由分式的基本性质：分式的分子分母同乘（或者除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。此题可以理解为分子分母同时乘以-1，故选 d考点 3：分式加减例 4（天津中考）计算 x + 1 - 1 的结果为xxa 1b xc 1d x + 2解析： x + 1 - 1 = x + 1 - 1 = x = 1xx xxxx轻松做出)。故选 a (该题只要掌握了分式加减的法则就

15、能考点 4：分式的加减，增根的定义(使最简公分母为 0 的根)例 5（鸡西中考）分式方程 xx -1- 1 =m(x - 1)(x + 2)有增根，则 m 的为（ ）a 0 和 3b 1c 1 和-2d 3解析： xx -1- 1 =m(x - 1)(x + 2)x.(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = m方程两边同时乘以最简公分母(x - 1)(x + 2)整理得 m = x + 2 因为方程有增根，所以方程的解使最简公分母(x - 1)(x + 2) 为 0，所以 x = -2 或者 x = 1将 x 的值代入中得m = x + 2 = -2 + 2 = 0 或者m = x

16、 + 2 = 1 + 2 = 3 故选 a考点 5：分式的应用列分式方程解决实际问题时列方程前，应先弄清问题中已知数与未知数，以及他们之间的数量关系，用含未知数的式子表示相关量，然后再用题中的主要相等关系列出方程，求出解后，必须进行检验，既要检验是否是分式方程的解， 又要检验是否符合题意。例 6，（2016昆明）八年级学生去距学校 10 千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，20 分件后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达己知汽车的速度是骑自行车学生速度的 2 倍设骑车学生的速度为 x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）a 10 - 10 = 20b 10 -10 = 20c 1x0

17、- 210x = 1d2x10 -x10 = 1 x2x32xx3解析：此题在理清题意之后要注意题目中时间单位的换算，此题列关系式的根本是两者二者的时间差的关系。骑车的学生花的时间为10 ，而乘汽车的学生花x的时间为 10 ，二者之间的时间差为 1 ，所以选 c 选项。2x3例 7（2013昆明）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用 360 元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多 10 本（1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？解析：设打折前售价为 x，则打折后售价为 0.9x，表示出打折前购买的数量及打折后购买的数量，再由打折后购买的数量比打

18、折前多 10 本，可得出方程，解出即可；解：设打折前售价为 x，则打折后售价为 0.9x，由题意得，360 +10= 360x0.9x解得：x=4，经检验得：x=4 是原方程的根，答：打折前每本笔记本的售价为 4 元10、二次根式a二次根式：一般地，我们把形如（ a 0 ）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。二次根式有意义的条件：被开方数大于等于 0.（必考） 二次根式的性质：a(a 0)a 2（1）=| a |=0(a = 0)- a(a 0) 。即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行

19、合并。二次根式概念的意义：判断一个根式是否是二次根式，一定要满足被开方数大于或者等于零，根指数是 2，当被开方数是字母时，要根据字母的取值进行讨论。考点 1：二次根式有意义的条件x - 2例 1（2012 昆明）函数 y =的自变量 x 的取值范围是.解：要使函数有意义，则二次根式中的被开方数要大于等于 0，即 x-20,x2x -1例 2（苏州中考）若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）2ax 1bx 0 时，一元二次方程ax 2 + bx + c = 0(a 0) 有两个不相等的实-b+ b2 -4ac-b- b2 -4ac数根。即 x1 =2a， x2 =2a。2a 当=

20、b 2 - 4ac =0 时，一元二次方程ax 2 + bx + c = 0(a 0) 有两个相等的实数根 。 x1 = x2 = -b 。 当= b 2 - 4ac 0 时，一元二次方程ax 2 + bx + c = 0(a 0) 有两个不相等的实数-b+ b2 -4ac根。即 x1 =2a， x2-b- b2 -4ac 。则有：=2abx1 + x2 = - acx1 .x2 = a每年必考考点 1：根的判别式例 1（2013昆明）一元二次方程 2x25x+1=0 的根的情况是（）a 有两个不相等的实数根b 有两个相等的实数根c 没有实数根d 无法确定解析：一元二次方程根的情况与判别式的关系即： 当= b 2 - 4ac 0 时，一元二次方程ax 2 + bx + c = 0(a 0) 有两个不相等的实-b+ b2 -4ac-b- b2 -4ac数根。即 x1 =2a