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1、七年级第一章有理数1、 有理数：整数和分数统称为有理数。有理数包括有限小数或无限循环小数。整数：正整数、0、负整数；分数：正分数、负分数。2、 数轴：（1）四要素：直线、原点、正方向、单位长度。（2）正数在原点的右边，负数在原点的左边，数轴上右边的数总大于左边的数。3、 相反数：只有符号相同的两个数叫做互为相反数。（1）如果 a、b 互为相反数，那么a+b=0。（2）互为相反数的两数位于数轴上原点的两侧，且到原点的距离相等。4、 绝对值：表示数 a 的点与原点的距离叫数 a 的绝对值。（1）正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。（2）两个负数，绝对值大的反而小。5

2、、 有理数的加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加和为 0。 一个数与 0 相加，仍得这个数。 运算律：交换律 a+b=b+a。结合律(a+b)+c=a+(b+c)。6、 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。7、 化简规则：同号结合；同分母的结合；互为相反数的结合；凑整结合。8、 乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数同 0 相乘，都得 0。 乘积是 1 的两个数互为倒数。 几个不为 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积

3、是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 运算律：交换律 ab=ba；结合律(ab)c=a(bc)；分配律 a(b+c)=ab+ac。9、 除法法则： 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。10、 有理数的乘方： an 中，a 叫底数，n 叫指数，整个结果叫幂。 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0.11、 运算顺序： 先乘方，再乘除，最后加减。 同级运算，从左到右进行。 有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号依次进行。12、科学

4、计数法： a 10n ，1 a ”、“ 0)第十四章 一次函数1. 画函数图象的一般步骤：一、列表（一次函数只用列出两个点即可，其他函数一般需要列出 5 个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值，二、描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点，三、连线（依次用平滑曲线连接各点。2. 根据题意写出函数解析式：关键找到函数与自变量之间的等量关系，列出等式，既函数解析式。3. 若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y=kx+b(k0)的形式,则称 y 是 x 的一次函数(x 为自变量,y(2)(3)(1)为因变量)。特别地,当 b

5、=0 时,称 y 是 x 的正比例函数。k 0b 0b = 0b. 0b 0 时，直线 y=kx 经过第一、三象限, y 随x 的增大而增大，当 k0时,y随x的增大而增大;当kn).2. 在应用时需要注意以下几点:法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a0.任何不等于0的数的0次幂等于1,即a 0 = 1(a 0) ,如100 = 1 ,(-2.50=1),则00无意义.a - p = 1任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即a p ( a0,p是正整数), 而(-2)-2 = 10-1,0-3都是无意义的;当a0时,a-p的值一定

6、是正的; 当a0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如4 , (-2)-3 = - 18运算要注意运算顺序.7. 整式的除法1单项式除法单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；2多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。8. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别

7、和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 分解因式的一般方法：1. 提公共因式法1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如: ab + ac = a(b + c)2. 概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma + mb - mc = m(a + b - c)3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错; (2)公因式是

8、否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.2. 运用公式法1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.2. 主要公式:(1)平方差公式: a 2 - b2 = (a + b)(a - b) (2)完全平方公式: a 2 + 2ab + b2 = (a + b) 2 a 2 - 2ab + b2 = (a - b)23. 易错点点评:因式分解要分解到底.如 x4 - y 4 = (x2 + y 2 )(x2 - y 2 ) 就没有分解到底.4. 运用公式法:(1)平方差公式:应是二项式或视作二项式的多项式;

9、二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;二项是异号. (2)完全平方公式:应是三项式;其中两项同号,且各为一整式的平方;还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的 2 倍.3. 因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.4. 分组分解法:1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如: am +

10、 an + bm + bn = a(m + n) + b(m + n) = (a + b)(m + n)2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3. 注意: 分组时要注意符号的变化.5. 十字相乘法:1.对于二次三项式ax2 + bx + c ,将 a 和 c 分别分解成两个因数的乘积, a = a1 a2 , c = c1 c2 , 且满足a1c1 c2b = a c + a c ,往往写成 a21 22 1的形式,将二次三项式进行分解.如 : ax2 + bx + c = (a x + c )(a x

11、 + c )11221a1b2. 二次三项式 x2 + px + q 的分解:p = a + bq = abx2 + px + q = (x + a)(x + b)3. 规律内涵:(1) 理解:把 x2 + px + q 分解因式时,如果常数项 q 是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数 p 的符号相同.(2) 如果常数项 q 是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数 p 的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数 p.4. 易错点点评:(1) 十字相乘法在对系数分解时易出错;(2) 分解的结果与原式不等,这时通常采用多项

12、式乘法还原后检验分解的是否正确. a = a cbb c第十六章分式1. 分式的定义：如果 a、b 表示两个整式，并且 b 中含有字母，那么式子a 叫做分式。bb ca = a cb分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。ac =ac ;a c=a d=adbdbdbdbcbc（ c 0 ）3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式4. 分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘

13、。( a )nb = anaba b acadbcad bcbn分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。=, = cccbdbdbdbd分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分， 变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于 1， 即 a0 = 1(a 0) ；当 n 为正整数时， a -n = 1an6. 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂(m,n 是整数)（1（ 同底数的幂的乘法： am an = am+n ；（2（ 幂的乘方： (am )n = a

14、mn ;（3（ 积的乘方： (ab)n = anbn ；（4（ 同底数的幂的除法： am an = am-n ( a0)；a n = an（ a 0)（5（ 商的乘方： ( )()；(b0)bbn7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母，把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。解分式方程的步骤 ：(1) 能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根增根应满足两个条件：一是其值应使最简

15、公分母为 0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题 (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法 (3)工程问题 基本公式：工作量=工时工效 (4)顺水逆水问题v 顺水=v 静水+v 水v 逆水=v 静水-v 水 8.科学记数法：把一个数表示成a 10

16、n 的形式（其中1 a 0k0 时，函数图像的两个分支分别性质在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。x 的取值范围是 x 0， y 的取值范围是 y 0；当 k0 。21.2 二次根式的乘除1. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即 （ 0， 0）。说明：（1）法则中 、 可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围， 、 都是非负数；（2） （ 0， 0）可以推广为（ 0， 0）； （ 0，0， 0，0）。（3）等式 （ 0， 0）也可以倒过来使用，即 （ 0， 0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简

17、。2. 二次根式的除法两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即 （ 0， 0）。说明：（1）法则中 、 可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围， 0， 在分母中，因此0；（2） （ 0， 0）可以推广为 （ 0， 0， 0）；（3（ 等式 （ 0， 0）也可以倒过来使用，即 （ 0， 0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。3. 最简二次根式（1（ 被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式；（2（ 被开方数中不含分母。21.3 二次根式的加减1. 同类二次根式注：判断几个二次根式是否为同类二次根式，关键是先把二次根式准确地化成最简二次根

18、式，再观察它们的被开方数是否相同。（2）合并同类二次根式：合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似，系数相加减，二次根号及被开方数不变。2. 二次根式的加减（1（ 二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。（2（ 二次根式的加减法与多项式的加减法类似，首先是化简，在化简的基础上去括号再合并同类二次根式，同类二次根式相当于同类项。一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：i）将每一个二次根式都化简成最简二次根式ii）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组iii）合并同类二次根式3. 二次根式的混合运算二次根式的混合运算可以说是二次根式乘

19、法、除法、加、减法则的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：（1（ 观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数的运算顺序一样，先乘方， 后乘除，最后加减，有括号先算括号内的。（2（ 在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”。（3（ 观察式中二次根式的特点，合理使用运算律和运算性质，在实数和整式中的运算律和运算性质， 在二次根式的运算中都可以应用。4. 分母有理化（1（ 我们在前面的学习中研究了分母形如 形式的分式的分母有理化综合起来，常见的有理化因式有： 的有理化因式为 ， 的有理化因式为 ，的有理化因式为，的有理化因式为， 的有理