(完整版)高中数学导数题型总结(2),推荐文档

1、导数经典例题剖析考点一：求导公式。例 1. f (x) 是 f (x) = 1 x3 + 2x +1 的导函数，则 f (-1) 的值是。3考点二：导数的几何意义。例 2.已知函数 y = f (x) 的图象在点 m (1，f (1) 处的切线方程是 y = 1 x + 2 ，则2f (1) + f (1) =。例 3.曲线 y = x3 - 2x2 - 4x + 2 在点(1，- 3) 处的切线方程是 。考点三：导数的几何意义的应用。例 4.已知曲线 c： y = x3 - 3x 2 + 2x ，直线l : y = kx ，且直线l 与曲线 c 相切于点(x0 , y0 ) x0 0 ，求直

2、线l 的方程及切点坐标。考点四：函数的单调性。例 5.已知 f (x)= ax3 + 3x 2 - x + 1在 r 上是减函数，求 a 的取值范围。例 6. 设函数 f (x) = 2x3 + 3ax2 + 3bx + 8c 在 x = 1 及 x = 2 时取得极值。（1） 求 a、b 的值；（2） 若对于任意的 x 0，3 ，都有 f (x) 0b. a 0c. a = 1d. a = 1311. 在函数 y = x3 - 8x 的图象上，其切线的倾斜角小于p 的点中，坐标为整数的点的个数4是（d）a3b2c1d0yy = f (x)baox12. 函数 f (x) 的定义域为开区间(a

3、, b) ，导函数 f (x) 在(a, b) 内的图象如图所示，则函数f (x) 在开区间(a, b) 内有极小值点（ a）a1 个b2 个c3 个d 4 个（二） 填空题13. 曲线 y = x3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x = 2 所围成的三角形的面积为 。14. 已知曲线 y = 1 x3 + 4 ，则过点 p(2, 4) “改为在点 p(2, 4) ”的切线方程是3315. 已知 f (n) (x) 是对函数 f (x) 连续进行 n 次求导，若 f (x) = x6 + x5 ，对于任意 x r ， 都有 f (n) (x) =0，则 n 的最少值为。16. 某公司

4、一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x =吨（三） 解答题17. 已知函数 f (x)= x3 + ax 2 + bx + c ，当 x = -1时，取得极大值 7；当 x = 3 时，取得极小值求这个极小值及 a, b, c 的值18. 已 知 函 数 f (x) = -x3 + 3x 2 + 9x + a.（1） 求 f (x) 的单调减区间；（2） 若 f (x) 在区间2，2.上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值.19. 设t 0 ，点 p（ t ，0）是函数 f (x) =

5、 x3 + ax与g(x) = bx 2 + c 的图象的一个公共点， 两函数的图象在点 p 处有相同的切线。（1） 用t 表示 a, b, c ；（2） 若函数 y = f (x) - g(x) 在（1，3）上单调递减，求t 的取值范围。20. 设函数 f (x)= x3 + bx2 + cx(x r) ，已知 g(x) =（1） 求b 、c 的值。（2） 求 g(x) 的单调区间与极值。f (x) - f (x) 是奇函数。21. 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1， 问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？22. 已

6、知函数 f (x) = 1 x3 + 1 ax2 + bx 在区间-1，1) ， (1，3 内各有一个极值点 32（1）求 a2 - 4b 的最大值；（1） 当 a2 - 4b = 8 时，设函数 y = f (x) 在点 a(1，f (1) 处的切线为l ，若l 在点 a 处 穿过函数 y = f (x) 的图象（即动点在点 a 附近沿曲线 y = f (x) 运动，经过点 a 时， 从l 的一侧进入另一侧），求函数 f (x) 的表达式强化训练答案：1.a 2.b 3.d 4.a 5.d 6.d 7.a 8.a 9.a 10.a 11.d 12.a（四） 填空题813.14.3y - 4x

7、 + 4 = 015. 716. 20（五） 解答题17. 解： f (x)= 3x 2 + 2ax + b 。据题意，1，3 是方程3x 2 + 2ax + b = 0 的两个根，由韦达定理得- 1 + 3 = - 2a3- 1 3 = b3 a = -3, b = -9 f (x)= x3 - 3x 2 - 9x + c f (- 1)= 7 ， c = 2极 小 值 f (3)= 33 - 3 32 - 9 3 + 2 = -25极小值为25， a = -3, b = -9 ， c = 2 。18. 解：（1） f (x) = -3x 2 + 6x + 9. 令 f (x) 0 ，解得

8、x 3,所以函数 f (x) 的单调递减区间为(-,-1),(3,+).（2）因为 f (-2) = 8 + 12 - 18 + a = 2 + a,f (2) = -8 + 12 + 18 + a = 22 + a,所以 f (2) f (-2). 因为在（1，3）上 f (x) 0 ，所以 f (x) 在1，2上单调递增，又由于 f (x) 在2，1上单调递减，因此 f (2) 和 f (-1) 分别是 f (x) 在区间- 2,2上的最大值和最小值.于是有 22 + a = 20 ，解得 a = -2.故 f (x) = -x3 + 3x 2 + 9x - 2.因 此 f (-1) =

9、1 + 3 - 9 - 2 = -7,即函数 f (x) 在区间- 2,2上的最小值为7.19. 解：（1）因为函数 f (x) ， g(x) 的图象都过点（ t ，0），所以 f (t) = 0 ，即t 3 + at = 0 .因为t 0, 所以 a = -t 2 . g(t) = 0,即bt 2 + c = 0, 所以c = ab.又因为 f (x) ， g(x) 在点（ t ，0）处有相同的切线，所以 f (t) = g (t).而 f (x) = 3x 2 + a, g (x) = 2bx, 所以3t 2 + a = 2bt.将 a = -t 2 代入上式得 b = t.因此 c =

10、ab = -t 3. 故 a = -t 2 ， b = t ， c = -t 3.（2） y = f (x) - g(x) = x3 - t 2 x - tx 2 + t 3 , y = 3x 2 - 2tx - t 2 = (3x + t)(x - t) .当 y = (3x + t)(x - t) 0 时，函数 y = f (x) - g(x) 单调递减.由 y 0,则- t3 x t ；若t 0,则t x - t . 3由题意，函数 y = f (x) - g(x) 在（1，3）上单调递减，则(-1,3) (- t , t)或(-1,3) (t,- t ). 所以t 3或- t 3.即t

11、 -9或t 3.333又当- 9 t 3时，函数 y = f (x) - g(x) 在（1，3）上单调递减.所以t 的取值范围为(-,-9 3,+).20. 解：（1） f (x)= x3 + bx2 + cx ， f (x)= 3x2 + 2bx + c 。从而g(x) = f (x) - f (x) = x3 + bx2 + cx - (3x2 + 2bx + c) x3 + (b - 3)x2 + (c - 2b)x - c 是 一个奇函数，所以 g(0) = 0 得 c = 0 ，由奇函数定义得b = 3 ；（2）由（）知 g(x) = x3 - 6x ，从而 g(x) = 3x2 -

12、 6 ，由此可知，(-, - 2) 和( 2, +) 是函数 g(x) 是单调递增区间；(- 2, 2) 是函数 g(x) 是单调递减区间；222g(x) 在 x = -时，取得极大值，极大值为 4， g(x) 在 x =时，取得极小值，极小值为2-4。21. 解：设长方体的宽为 x （m），则长为 2x (m)，高为h = 18 -12x = 4.5 - 3x(m) 0 x 3 .4故长方体的体积为2 v (x)= 2x 2 (4.5 - 3x)= 9x 2 - 6x3 (m3 ) 0 x 3 2 从而v (x) = 18x - 18x 2 (4.5 - 3x) = 18x(1 - x).令

13、v (x)= 0 ，解得 x = 0 （舍去）或 x = 1，因此 x = 1.3当 0 x 0 ；当1 x 时，v (x) 0 ，2故在 x = 1处v (x)取得极大值，并且这个极大值就是v (x)的最大值。从而最大体积v = v (x)= 9 12 - 6 13 (m3 )，此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m.答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为3m3 。22. 解：（1）因为函数 f (x) = 1 x3 + 1 ax2 + bx 在区间-1，1) ， (1，3 内分别有一个极值点，所以32f (x) = x2 + ax +

14、b = 0 在-1，1) ， (1，3 内分别有一个实根，a2 - 4b设两实根为 x ，x （ x x ），则 x - x =，且 0 x - x 4 于是12122121a2 - 4b0 4 ， 0 a2 - 4b 16 ，且当 x1= -1x2 = 3 ，即 a = -2 ， b = -3 时等号成立故 a2 - 4b 的最大值是 16（2） 解法一：由 f (1) = 1+ a + b 知 f (x) 在点(1，f (1) 处的切线l 的方程是y - f (1) = f (1)(x -1) ，即 y = (1+ a + b)x - 2 - 1 a ，32因为切线l 在点 a(1，f (

15、x) 处空过 y = f (x) 的图象，f (x) -(1+ a + b)x - 2 - 1所 以 g(x) =x = 1 不是 g(x) 的极值点a 在 x = 1 两边附近的函数值异号，则32而 g(x) = 1 x3 + 1 ax2 + bx - (1+ a + b)x + 2 + 1 a ， 且3232g(x) = x2 + ax + b - (1+ a + b) = x2 + ax - a -1 = (x -1)(x +1+ a) 若1 -1- a ，则 x = 1 和 x = -1- a 都是 g(x) 的极值点所以1 = -1- a ，即 a = -2 ，又由 a2 - 4b

16、= 8 ，得b = -1，故 f (x) =21解法二：同解法一得 g(x) =f (x) -(1+ a + b)x -a321 x33- x2- x = 1 (x -1)x2 + (1+ 3a )x - (2 + 3 a) 322因为切线l 在点 a(1，f (1) 处穿过 y = f (x) 的图象，所以 g(x) 在 x = 1 两边附近的函数值异号，于是存在 m1，m2（ m1 1 m2 ）当 m1 x 1时， g(x) 0 ，当1 x 0 ； 或当 m1 x 0 ，当1 x m2 时， g(x) 0 23a 3a 22设 h(x) = x + 1+ x - 2 + ，则当 m1 x

17、0 ，当1 x 0 ； 或当 m1 x 1时， h(x) 0 ，当1 x m2 时， h(x) 0 3a由 h(1) = 0 知 x = 1 是 h(x) 的一个极值点，则 h(1) = 2 1+1+= 0 ，2所以 a = -2 ，又由 a2 - 4b = 8 ，得b = -1，故 f (x) =1 x33- x2- x “”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant