(完整版)圆与方程知识点整理,推荐文档

1、关于圆与方程的知识点整理一、标准方程(x - a)2 + (y - b)2 = r 21. 求标准方程的方法关键是求出圆心(a, b)和半径 r待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 p119 例 2 利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2. 特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件方程形式圆心在原点x2 + y2 = r 2 (r 0)过原点(x - a)2 + (y - b)2 = a2 + b2 (a2 + b2 0)圆心在 x 轴上圆心在 y 轴上圆心在 x 轴上且过

2、原点圆心在 y 轴上且过原点与 x 轴相切与 y 轴相切(x - a)2 + y2 = r 2 (r 0)x2 + (y - b)2 = r 2 (r 0)(x - a)2 + y2 = a2 (a 0)x2 + (y - b)2 = b2 (b 0)(x - a)2 + (y - b)2 = b2 (b 0)(x - a)2 + (y - b)2 = a2 (a 0)与两坐标轴都相切(x - a)2 + (y - b)2 = a2 (a = b 0)二、一般方程x2 + y2 + dx + ey + f = 0 (d2 + e2 - 4f 0)1. ax2 + by2 + cxy + dx

3、+ ey + f = 0 表示圆方程则a = b 0 a = b 0c = 0 c = 0 d 2 e 2 - 4 f 0d2 + e2 - 4 af 0 + a a a2. 求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材 p122 例 r 43. d2 + e2 - 4f 0 常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1. 判断方法：点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系d r 点在圆外2. 涉及最值：（1） 圆外一点 b ，圆上一动点 p ，讨论 pb 的最值minmaxbn =pb=pb=bm =bc - r bc + r（2） 圆内一点 a ，圆上一动点 p ，讨论 pa 的最值pa

4、=minpa=maxan = r - ac am = r + ac思考：过此 a 点作最短的弦？（此弦垂直 ac ）四、直线与圆的位置关系1. 判断方法（ d 为圆心到直线的距离）（1） 相离 没有公共点 d r（2） 相切 只有一个公共点 d = 0 d = r（3） 相交 有两个公共点 d 0 d r 2 0000第一步：设切线l 方程 y - y0 = k (x - x0 )第二步：通过 d = r k ，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对 k 存在有效，当 k 不存在时，应补上千万不要漏了！ 如：过点 p (1, 1)作圆 x2 + y2 - 4x - 6 y +12 = 0

5、的切线，求切线方程.答案： 3x - 4 y +1 = 0 和 x = 1ii） 点在圆上1） 若点(x0，y0 )在圆 x2 + y2 = r 2 上，则切线方程为 0x x + 0y y = r 2会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.2222） 若点(x0，y0 )在圆(x - a) + (y - b) = r 上，则切线方程为(x - a)(x - a)+ (y - b)(y - b)= r 200碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.cp 2 - r 2求切

6、线长：利用基本图形， ap 2 = cp 2 - r 2 ap = ac = rk求切点坐标：利用两个关系列出两个方程 ac kap= -13. 直线与圆相交(1+ kx + x- 4x x2) ()2121 2 （1） 求弦长及弦长的应用问题垂径定理及勾股定理常用1+ k 2弦长公式： l =x - x =（暂作了解，无需掌握）12（2） 判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3） 关于点的个数问题例：若圆(x - 3)2 + (y + 5)2 = r 2 上有且仅有两个点到直线4x - 3y - 2 = 0 的距离为 1，则半径 r 的取值范围是.答案

7、： (4, 6)4. 直线与圆相离会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、对称问题1.若圆 x2 + y2 + (m2 -1)x + 2my - m = 0 ，关于直线 x - y +1 = 0 ，则实数 m 的值为 .答案：3（注意： m = -1时， d2 + e2 - 4f 0).答案： c -1（数形结合和参数方程两种方法均可！）2x = r cosl l y = r sinl ， 为参数(x - a)2 + (y - b)2 = r 2 (r 0) x = a + r cosl l y = b + r sinl， 为参数八、相关应用1.若直线 mx + 2ny - 4 =

8、 0 （ m ， n r ），始终平分圆 x2 + y2 - 4x - 2 y - 4 = 0 的周长，则 m n 的取值范围是.2.已知圆c ： x2 + y2 - 2x + 4 y - 4 = 0 ，问：是否存在斜率为 1 的直线l ，使l 被圆c 截得的弦为 ab ，以 ab 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.1+ k 2提示： x x + y y = 0 或弦长公式 d =x - x.答案： x - y +1 = 0 或1 21 212x - y - 4 = 03.已知圆c ： (x - 3)2 + (y - 4)2 = 1，点 a(0,1)， b (

9、0, 1)，设 p 点是圆c 上的动点， d = pa 2 + pb 2 ，求 d 的最值及对应的 p 点坐标.4.已知圆c ： (x -1)2 + (y - 2)2 = 25 ，直线l ： (2m +1)x + (m +1) y - 7m - 4 = 0 （m r ）（1） 证明：不论 m 取什么值，直线l 与圆c 均有两个交点；（2） 求其中弦长最短的直线方程.1- y25. 若直线 y = -x + k 与曲线 x = -恰有一个公共点，则 k 的取值范围.6. 已知圆 x2 + y2 + x - 6 y + m = 0 与直线 x + 2 y - 3 = 0 交于 p ， q 两点，

10、o 为坐标原点， 问：是否存在实数 m ，使op oq ，若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.九、圆与圆的位置关系1. 判断方法：几何法（ d 为圆心距）（1） d r1 + r2 外离（2） d = r1+ r2 外切（3） r1- r2 d r1 + r2 相交（4） d = r1- r2 内切（5） d r1 -r2 内含2. 两圆公共弦所在直线方程圆c ： x2 + y2 + d x + e y + f = 0 ，圆c ： x2 + y2 + d x + e y + f = 0 ，11112222则(d1 - d2 )x + (e1 - e2 ) y + (f1 - f2 )=

11、 0 为两相交圆公共弦方程.补充说明：若c1 与c2 相切，则表示其中一条公切线方程；若c1 与c2 相离，则表示连心线的中垂线方程. 3 圆系问题（1） 过两圆c ： x2 + y2 + d x + e y + f = 0 和c ： x2 + y2 + d x + e y + f = 0 交点11112222的圆系方程为 x2 + y2 + d1 x + e1 y + f1 + l(x2 + y2 + d2x + e2y + f2)= 0 （l -1 ）说明：1）上述圆系不包括c2 ；2）当l= -1 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2） 过直线 ax + by + c = 0 与圆

12、 x2 + y2 + dx + ey + f = 0 交点的圆系方程为x2 + y2 + dx + ey + f + l(ax + by + c )= 0（3） 有关圆系的简单应用（4） 两圆公切线的条数问题相内切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线； 相离时，有四条公切线十、轨迹方程（1） 定义法（圆的定义）：略（2） 直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式轨迹方程.例：过圆 x2 + y2 = 1外一点 a(2, 0)作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析： op2+ ap 2 = oa 2（3） 相关点法

13、（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动动点 主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.例 1.如图，已知定点 a(2, 0)，点q 是圆 x2 + y2 = 1上的动点， aoq 的平分线交 aq 于m ，当q 点在圆上移动时，求动点 m 的轨迹方程. 分析：角平分线定理和定比分点公式.例 2.已知圆o ： x2 + y2 = 9 ，点 a(3, 0)， b 、c 是圆o 上的两个动点， a 、 b 、c 呈l逆时针方向排列，且bac =l，求dabc 的重心g 的轨迹方程.33法 1：qbac =， bc 为定长且等于33 x = xa + xb + xc = 3

14、 + xb + xc设g (x, y )，则3 3 y = ya + yb + yc = yb + yc33 3 3 3 33 取 bc 的中点为 xe -, ， ye -, 2 4 42 222q oe + ce= oc x 2+ y 2 = 9ll（1） xe = xb + xc，x + xee= 2x4x = 3 + 2xe xe = 3x - 32 ybce32，y + y+ y= 2 y2 y3 y = bc bce y =e y =y e2 3x - 3 23 3292 e23 故由（1）得： + y = (x -1) + y2 = 1 x 0, y -3 , 12 24法 2：（

15、参数法）设 b (3cosl, 3sinl)，由boc = 2bac =2l2l33c 3cosl+, 3sin l+设g (x, y )，则2l ，则32 23 + 3cosl+ 3cosl+ 2lx + x + x3 2l x = abc = = 1+ cosl+ cosl+l(1)333 3sinl+ 3sin2ly + y + y=l+3 = sinl+ sin l+ 2lll(2)y = a3bc l33 l4l22223 , ，由(1)-1) + (2) 得： (x -1) + y = 1 x 0, y - 3 , 1 33 2 2参数法的本质是将动点坐标(x, y )中的 x 和

16、 y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出 x ， y 的范围.（4） 求轨迹方程常用到得知识 x = xa + xb + xc x = x1 + x2重心g (x, y )， 3中点 p (x, y )， 2 y = ya + yb + yc y = y1 + y2 32bdcdabac内角平分线定理：=am定比分点公式：mb=l，则 xm= xa + lxb ， y1+ lm= ya + lyb1+ l韦达定理.“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people

17、 who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, c